2026年云南楚雄彝族自治州武定县初中学业水平考试数学测试卷（二模）（含解析）

这是一份2026年云南楚雄彝族自治州武定县初中学业水平考试数学测试卷（二模）（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，四象限．，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数，用正数和负数表示两种具有相反意义的量，由此求解即可，理解具有相反意义的量是解此题的关键．
【详解】解：如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作，
故选：D．
2. 2025年一季度，丽江市接待游客约20076000人次，增长．20076000用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的形式为，满足，为整数，的值等于原数的整数位数减1．
【详解】解：．
3. 三角板和直尺摆放如图所示，三角板顶点在直尺下沿线上，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平角的定义求得，进而根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
∵三角板顶点在直尺下沿线上，，
∴
∵直尺的两边平行，
∴
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的基本运算，需要利用同底数幂除法、完全平方公式、合并同类项、幂的乘方的运算法则逐一判断选项．
【详解】解：A、根据同底数幂的除法法则，，故此选项错误；
B、根据完全平方公式，，故此选项错误；
C、根据合并同类项法则，，故此选项错误；
D、根据幂的乘方法则，，故此选项正确．
5. 如果反比例函数的图象过点，那么这个函数的图象应在（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的图象性质，先根据点的坐标求出比例系数的值，再根据的符号判断函数图象所在象限．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
根据反比例函数的性质，当时，函数的图象在第二、四象限．
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. 三棱柱B. 圆锥C. 长方体D. 圆柱
【答案】B
【解析】
【详解】解：主视图和左视图均为三角形，表明该几何体为锥体，
俯视图为圆且中心有一点，表明该几何体的底面为圆，
故该几何体是圆锥．
7. 正九边形的一个内角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题利用多边形内角和公式求解正九边形的单个内角度数，正多边形所有内角相等，用内角和除以边数即可得到结果.
【详解】解：∵边形内角和公式为，正九边形的边数，
∴正九边形内角和为，
∵正九边形每个内角相等，
∴正九边形的一个内角为．
8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，相交于点，点都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，相似三角形的性质是解题的关键．
根据图示可得，得到相似比为，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
9. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数是非负数，分式分母不为0，列不等式求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴需同时满足二次根式有意义和分式分母不为0的条件，
∴ ，解得 ．
10. 下列几何图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：图1不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
图2不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
图3既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
图4是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
符合题意的只有图3
故选：D．
中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，熟练地掌握概念是解决本题的关键．
11. “樱云织诗笺少年拾春行”，2025年3月，昆明市第三中学举办“樱”为有你春日校园创意文化活动．小明随机调查了学校30名初中同学制作书笺的数量，数据如下表所示：
则制作书笺数量的中位数和众数分别是（ ）
A. 4，10B. 2，4C. 4，4D. 3，4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查众数和中位数，根据中位数和众数的定义求解即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：第和第个数据分别为和
则中位数是：
出现的次数最多，则众数是
故选：D．
12. 若有一组按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第个多项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多项式的规律探索，根据前几个多项式找到规律是解题的关键；
根据前几个多项式的构成可以发现：第个多项式的第1项是，第2项是，即可得到答案.
【详解】解：因为第1个多项式是，
第2个多项式，
第3个多项式是，
第4个多项式是，
…，
可以发现：第个多项式的第1项是，第2项是，
则第个多项式是；
故选：C.
13. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意，得
即，
故选：B．
14. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理可得，再由余弦的定义计算即可得出结果．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴．
15. 如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，．
∵四边形是的内接四边形，
∴，
，
，
，
故选：D
二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤，注意分解要彻底．
17. 云南省曲靖市罗平县是闻名全国的“油菜花之乡”，这里盛产的油菜花菜在国内外都享有盛誉．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，统计近三年这三个品种油菜花的亩产量平均数和方差如表：
现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择_______品种（填“甲”“乙”或“丙”）．
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查了平均数与方差的运用，理解平均数，方差表示的意义是关键．
根据平均数判定选择乙、丙，再根据方差选择乙即可．
【详解】解：∵甲的平均数小于乙、丙，
∴选择乙、丙，
∵乙的方差小于丙的方差，即乙的稳定性比甲的稳定性好，
∴应选择乙品种，
故答案为：乙 ．
18. 妈妈生日快到了，小明想亲手制作一个圆锥形的生日帽送给妈妈．经测量，要制作的生日帽底面直径为，母线长为，则制作这个生日帽最少需要材料______cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥展开图是扇形，结合扇形面积公式直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵生日帽底面直径为，母线长为，
∴，
故答案为：；
本题考查圆锥展开图侧面是扇形及扇形公式：．
19. 如图， 已知，的垂直平分线交于点D，则_______ 度．
【答案】30
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，
先根据“等边对等角”求出，再根据线段垂直平分线的性质得，然后结合“等边对等角”求出，则此题可解．
【详解】解：∵，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：30．
三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别运算，再相加减即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
21. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 平行线的性质，由线段的和差关系可得出，由平行线的性质可得出，即可得出．
【详解】解：∵，
∴，
即：，
∵
∴
在和中，
∴．
22. 随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？

【答案】原计划平均每天制作个摆件．
【解析】
【分析】设原计划平均每天制作个，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原计划平均每天制作个，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作个摆件．
本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23. 为推进开展学校科学教育，某校组织学生开展了“科技创新月”活动，计划进行以下四项实验活动：A：马德堡半球；：塑料袋火箭；：色彩爆炸；D：火山爆发（要求全校学生都必须参加）．张老师将代表这四项实验活动的字母A、B、C、D分别写在四个大小相同的小球上，并将小球装在不透明的布袋中，参加活动的同学从布袋中随机摸出一个小球并记下小球上的字母，然后将小球放回，再去做对应的实验．甲抽到的实验结果记为，乙抽到的实验结果记为．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的概率．
【答案】（1）图见解析，16种；
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率及简单的概率计算，理解题意是解题的关键．
（1）画树状图得出所有等可能的结果数；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及计算甲、乙两名同学所做实验恰好相同的概率，先统计符合条件的可能数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知共有16种等可能的结果；
【小问2详解】
解：由树状图可知，该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的结果有4种，
∴该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的概率为．
24. 如图，平行四边形的周长为，的平分线交边于点，交对角线于点，点在上，，过点作于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据平行四边形的性质得出，证明，可得四边形ABFE是平行四边形，根据进而根据菱形的判定得出即可；
（2）延长交于点，根据已知求得，进而证明，根据相似三角形的高之比等于相似比，进而得出，再根据菱形的性质求得面积，即可求解．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，即，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
如图，延长交于点，
∵，
∴，
∵四边形是菱形；
∴，
∵平行四边形的周长为，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∴，
∴四边形的面积为
25. 某智慧社区计划推广垃圾分类，需采购两种智能设备，智能垃圾桶（T 型）：自动分类 可回收物；垃圾分拣机器人（R 型）：精准分拣有害垃圾．若购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；若购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元．
（1）求每台T 型设备和每台R 型设备的单价；
（2）若社区需采购两种设备共20台（均需采购），且T型设备数量不超过R型数量的， 为 使总费用最低，应分别采购T 型和R 型设备多少台?最低总费用为多少元?
【答案】（1）每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元
（2）采购 T 型 设 备 5 台 和 R 型 设 备 15 台 时 ， 总 费 用 最 低 ， 为 9250元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组，不等式组和函数关系式是解题的关键．
（1）设每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元，根据购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元建立方程组求解即可；
（2）设购买R 型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元，根据题意列出W关于m的一次函数关系式，再根据T型设备数量不超过R型数量的，列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的现在求解即可．
【小问1详解】
解：设每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元，
由题意得，
解得，
答：每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元；
【小问2详解】
解：设购买R 型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元，
由题意得，
∵T型设备数量不超过R型数量的，
∴，
∴，且m为整数，
∵，
∴W随m增大而增大，
∴当时，W有最小值，最小值为，此时，
答：采购 T 型 设 备 5 台 和 R 型 设 备 15 台 时 ， 总 费 用 最 低 ，最低 为 9250元．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为，点，点，点．
（1）若抛物线经过点，，，求抛物线的表达式．
（2）对于抛物线，若，，．当抛物线与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）的取值范围是或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，再分三种情况：当抛物线的顶点在线段上时；当抛物线经过点时；当抛物线经过点时；分别计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：将，，代入，得，
解得．
该抛物线的表达式为．
【小问2详解】
解：对于抛物线，若，，，则抛物线．
抛物线的顶点坐标为．
①当抛物线的顶点在线段上时，
可得．
．此时抛物线的顶点坐标为，即点；
②当抛物线经过点时，
可得，
解得，．
又抛物线与线段有且只有一个公共点，
；
③当抛物线经过点时，
可得，
解得，．
又抛物线与线段有且只有一个公共点，
．
综上所述，的取值范围是或．
27. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的值；
（3）证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，角平分线的定义得到，再利用圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）延长至点，使得，连接、，利用圆内接四边形得到，证明，再证明是等腰直角三角形，即可求解；
（3）连接，证明，推出，再证明，得到，即可证明．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
为的直径，
．
是的平分线，
，
，
，
，
，
为半径，
直线是的切线；
【小问2详解】
解：延长至点，使得，连接、，如图，
是的平分线，
，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
在和中，
，
，，
是直径，
，
，
即：，
是等腰直角三角形，
．
，
．
【小问3详解】
证明：连接，如图，
是的平分线，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
即，
．
本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，圆的切线的判定定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
人数
书笺数量（张）
统计量
品种
甲
乙
丙
亩产量平均数
505
520
520
方差
5.5
5.5
7.8