2026年山西省运城市部分学校中考第三阶段九年级数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年山西省运城市部分学校中考第三阶段九年级数学试题（含解析）中考模拟，共12页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并将正确选项填在答题卡的相应位置上）
1. 下列实数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵，
∴最小的数是．
2. 中国科技企业聚力创新，从芯片、终端到新能源，以硬核技术擦亮中国制造名片．下列企业的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，依次判断各选项即可求解．
【详解】解：A、B、C都不是轴对称图形，因为它们都不能沿某条直线折叠，使直线两旁的部分互相重合，
D选项中的图形是轴对称图形，对称轴如图所示．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
4. 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点重合，
∴，
∵，，
∴．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
．
6. 如图，在矩形中，对角线相交于点，延长到点，使，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形的性质得，，证明四边形是平行四边形得，进而可证B正确，无法证明A，C，D正确．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，故B正确；
无法证明，，，故A，C，D不一定正确．
7. 小美计划为其经营的咖啡店增设外卖配送服务，现有A、B两家配送平台可供选择．为选择更合适的合作平台，小美对两家平台的配送稳定性展开调研．她随机记录了同一天内，两家平台分别完成同一地点5单外卖的送达时间（从顾客下单到送达的时间）．具体数据如下：
单位：分钟
若从中选择配送时间比较稳定的外卖平台，则选择的是（ ）
A. 平台AB. 平台BC. 两家都一样D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】判断配送时间稳定性需要比较两组数据的方差，方差越小，数据波动越小，配送越稳定，先计算两组数据的平均数与方差，再比较方差大小得出结论．
【详解】解： ， ，

，

，
，
平台A的配送时间波动更小，更稳定．
8. 在绘制反比例函数常数，且的图象时，所列表格的一部分如下，根据表格信息，判断的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象位于第二，四象限，当时，随的增大而增大．
又∵，对应函数值分别为，
∴．
9. 生物学中，植物生长所需水分与生长时间存在一定关联．某研究小组观察某种幼苗，发现其在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．部分实验数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 该一次函数的表达式为
B. 当生长时间为38天时，吸收水分为9.5毫升
C. 吸收的水分随生长时间的增加而减少
D. 当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升
【答案】B
【解析】
【分析】利用待定系数法求出解析式后依次判断即可求解．
【详解】解：设解析式为（），
将和代入解析式得：
，
解得：，
∴解析式为，A选项不正确；
令，解得，B选项正确；
由可知，y随x的增加而增大，C选项不正确；
题目记录的是在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系，故当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升不符合题意，D选项不正确．
10. 如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将空白部分分成一个扇形与一个三角形，先计算空白部分面积，再利用进行计算即可．
【详解】解：记的中点为点O，
连接和，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴以为直径的半圆的面积为，
过O点作于E，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴扇形的面积，
∴
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：依题意，
故答案为：
12. 近年来我省新能源产业蓬勃发展，风电场作为新能源发电的重要载体，发电量持续稳步提升．某风电场2月份发电量为万千瓦时，3月份比2月份增长，预计4月份的发电量将比3月份增长，则该风电场4月份的发电量预计将达到_________万千瓦时．（用含的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】首先根据2月份发电量和3月份的增长率求出3月份发电量，再根据3月份发电量和4月份的增长率求出4月份的预计发电量，整理即可得到所求代数式．
【详解】解：由题意得，2月份发电量为万千瓦时，
3月份发电量为万千瓦时，
4月份预计发电量为万千瓦时．
13. 如图，边长为2的正方形在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，将正方形绕点按顺时针方向旋转，则点的对应点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先画出旋转后的B点对应点D点，构造直角三角形求出 和的长即可求解．
【详解】解：如图，连接并将绕点按顺时针方向旋转，B点对应点为D
∵正方形边长为2
∴，，
过D点作轴于点E，
∴，
∴，
∴，
∴点的对应点的坐标为．
14. 为传承中华优秀传统文化，某班准备举办“赓续文脉，厚植家风”主题班会，现场设置一个“随机抽选”环节，一个不透明的袋中共有3张质地、大小完全相同的卡片，分别写着家风讲解、家训分享、家谱简介．各小组各派一名代表随机抽取一张卡片进行相应的展示，一个小组抽完以后将卡片放回，洗匀后另一个小组再随机抽取．小明和小颖作为小组代表抽取卡片，他们抽到同一项展示内容的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图，用符合条件的情况数除以所有可能发生的情况数即可．
【详解】解：记“家风讲解”“家训分享”“家谱简介”三张卡片分别为A，B，C，
根据题意，画树状图如下：
由表可知，共有种等可能的结果，其中小明和小颖抽到同一项展示内容的结果有种．
所以他们抽到同一项展示内容的概率是．
15. 如图，在四边形中，连接对角线．若，则边的长度为_________．
【答案】
【解析】
【分析】延长与，交于点E，先求出，再求出，再在与中利用勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：延长与，交于点E，过A点作于点F，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即A点在的垂直平分线上，
∴，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 如图，已知的边上有一点，以点为圆心的圆经过的顶点，与边相切于点，与边交于点，过点作的平行线与的延长线交于点．
（1）判断与的数量关系，并说明理由；
（2）若，直接写出的长．
【答案】（1）．理由如下：
如图，连接．
与边相切于点，
．
．
为的直径，
．
．
，
．
．
，
．
．
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用切线的性质和直径所对圆周角为直角可证明，且，由与平行可得，即可求解；
（2）证明，得到，接着求出与，得到，再利用勾股定理建立方程即可求解．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去）
18. 2026年3月21日是第26个世界睡眠日，主题为“优质睡眠，美好生活”．某校特别关注九年级学生的睡眠健康状况，在世界睡眠日期间开展了“每日实际睡眠时长”的抽样调查．以下是调查报告（不完整），请仔细阅读并完成相应任务．

任务：
（1）本次调查的学生人数是_________；扇形统计图中“”选项所在扇形的圆心角度数为_________；请补全条形统计图．
（2）若该校九年级学生共有400人，请估计该校九年级学生中每日睡眠时长未达到9小时（即）的人数．
（3）根据以上调查结果，请你向学校或学生提出一条合理建议，并说明理由．
【答案】（1）80，144，
（2）该校九年级学生中每日睡眠时长未达到9小时（即）的人数约为300
（3）建议：建议学校适当推迟早晨到校时间，或减少课后作业量，以保证学生睡眠时长达到9小时．
理由：本次调查中，有的学生睡眠不足9小时，其中约四成学生的睡眠时间只有小时，长期如此会影响学生的身心健康和学习效率．
【解析】
【分析】（1）先根据“”的人数和占比估计总人数，再用和“”选项的占比计算圆心角度数，用总人数减去其余各项的人数，即可求出“”选项的人数，继而补全统计图；
（2）先计算每日睡眠时长未达到9小时的人数占比，乘以总人数即可；
（3）根据计算可知有的学生睡眠不足9小时，其中约四成学生的睡眠时间只有小时，长期如此会影响学生的身心健康和学习效率，因此学校适当推迟早晨到校时间，或减少课后作业量，以保证学生睡眠时长达到9小时．
【小问1详解】
解：本次调查的学生人数：（人），
“”选项所在扇形的圆心角度数：，
“”选项的学生人数： ，
补全条形统计图，略．
【小问2详解】
解： ，
（人）．
答：该校九年级学生中每日睡眠时长未达到9小时（即）的人数约为300人．
【小问3详解】
建议：建议学校适当推迟早晨到校时间，或减少课后作业量，以保证学生睡眠时长达到9小时．
理由：本次调查中，有的学生睡眠不足9小时，其中约四成学生的睡眠时间只有小时，长期如此会影响学生的身心健康和学习效率．
19. 为解决老旧小区居民“上楼难”问题，山西省将既有住宅自愿加装电梯列入年民生实事工程．某小区加装电梯，在享受政府补贴后，居民需自筹剩余资金，其中加装台型电梯所需的自筹资金比台型电梯多万元；万元自筹资金可以加装的型电梯数量恰好是加装型电梯数量的倍．求加装台型电梯各需自筹资金多少万元？
【答案】加装台型电梯需自筹资金万元，加装台型电梯需自筹资金万元．
【解析】
【分析】设加装台型电梯需自筹资金万元，则加装台型电梯需自筹资金万元，根据题意得，然后解方程并检验即可．
【详解】解：设加装台型电梯需自筹资金万元，则加装台型电梯需自筹资金万元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：加装台型电梯需自筹资金万元，加装台型电梯需自筹资金万元．
20. 项目学习
项目背景：周末，小宁和小静前往大剧院观看杂技表演．当高空吊环升至最高表演位置时，小宁惊叹道：“好高啊！真想知道它距离地面有多高．”小静说：“受舞台遮挡和观众席限制，我们无法到达吊环正下方，也不能直接测量观测点到吊环正下方的水平距离，但可以用学过的知识测算出吊环最高点到地面的垂直高度．”为此，她俩围绕“吊环最高位置的高度测量与计算”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算吊环最高点到地面的距离的长（结果精确到1米，参考数据：）．
【答案】吊环最高点到地面的距离的长为18米
【解析】
【分析】过点作于点，易得四边形是矩形，设米，则米，在中，，在中，，再根据，列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
又，
∴四边形是矩形，
米，．
根据题意得，，
设米，则米，
在中，，
（米），
在中，，，
（米），
，
，
解得，
（米）．
答：吊环最高点到地面的距离的长为18米．
21. 阅读与思考
下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定属于等对角线四边形的是_________（填序号）；
（2）补全小博同学的证明过程；
（3）如图，已知，求作：等对角线四边形，使与的夹角为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：作出一个即可）．

【答案】（1）；
（2）∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
（3）
【解析】
【分析】根据“等对角线四边形”即可求解；
过点作交的延长线于点，又，则四边形是平行四边形，所以，，再证明，则有，
以为边作等边三角形，然后过作，交于点，然后以为圆心，长为半径作圆，交于点，连接，，则等对角线四边形即为所求．
【小问1详解】
解：平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不属于等对角线四边形，不符合题意；
矩形的对角线相等，属于等对角线四边形，符合题意，
菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，不属于等对角线四边形，不符合题意；
正方形的对角线一定相等，属于等对角线四边形，符合题意；
综上可得：一定属于等对角线四边形的是，
故答案为：；
【小问2详解】
略；
【小问3详解】
解：以为边作等边三角形，然后过作，交于点，然后以为圆心，长为半径作圆，交于点，连接，，则等对角线四边形即为所求，
理由：由作图可知是等边三角形，，，
∴，
∴，即与的夹角为，
∴四边形是等对角线四边形，
∴等对角线四边形即为所求．
22. 综合与实践
问题情境：
春风和煦，风景怡人．某公园景区准备对入口景观进行绿化升级，计划对一处抛物线型铁艺拱门进行美化改造，包括花艺布置、宣传横幅安装、钢架结构加固等工程．请你与他们共同设计方案．
实验数据：
经实地测量，该拱门左右两端均落在地面水平线上，拱门的地面总跨度为12米（如图1），拱门最高点距离地面高度为8米（拱门的厚度忽略不计）．
数学建模：
（1）将该拱门的形状抽象为抛物线，其顶点为，以拱门左侧端点为坐标原点，地面水平线所在直线为轴，过点作地面水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．请直接写出抛物线顶点的坐标，并求该抛物线对应的函数解析式．
问题解决：
（2）横幅设计规划：景区准备在拱门内侧水平悬挂一条长的矩形宣传横幅（如图矩形，其中点在抛物线上）．为保障游客和车辆通行安全，横幅下沿离地高度不得少于4.5米．请你帮忙计算：该宣传横幅的最大宽度可设计为多少米？
（3）钢架加固设计：如图2，为增强拱门的抗风稳定性，景区规划在拱门两侧加装倾斜角为的枝撑杆，底端固定在地面上，要求支撑杆与抛物线型拱门恰好贴合（每根支撑杆与拱门有且仅有一个交点）．请你直接写出两根支撑杆底端之间的水平距离．
【答案】（1）解：顶点的坐标为，抛物线解析式为
（2）该宣传横幅的最大宽度可设计为1.5米．
（3）米
【解析】
【分析】（1）根据题意得出顶点的坐标为，设出顶点式解析式，将点代入解析式后即可求解；
（2）设，代入解析式求出m后即可求解；
（3）设直线的解析式为，代入后，与抛物线解析式联立，令根的判别式值为零求出p后即可求解．
【小问1详解】
解：∵拱门的地面总跨度为12米，以拱门左侧端点为坐标原点，
∴顶点横坐标为6米，，
∵拱门最高点距离地面高度为8米，
∴顶点纵坐标为8米，
∴顶点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式得：，
∴，
∴该抛物线对应的函数解析式为．
【小问2详解】
解：由，顶点的坐标为，可设，
将代入解析式得：，
∵为保障游客和车辆通行安全，横幅下沿离地高度不得少于4.5米，
∴该宣传横幅的最大宽度可设计为米；
【小问3详解】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，其中O点为坐标原点，所在直线为x轴，
∵景区规划在拱门两侧加装倾斜角为的枝撑杆，底端固定在地面上，支撑杆与抛物线型拱门恰好贴合（每根支撑杆与拱门有且仅有一个交点），
∴，
过点G作轴于H，则其必过A点，
∴，
∴，
∴，
同理，，
设，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立和，得，
整理得，
∵支撑杆与拱门有且仅有一个交点，
∴根的判别式，
解得：，
∵，
∴，
答：两根支撑杆底端之间的水平距离为米．
23. 综合与探究
问题情境：
如图1，在中，，将边绕点按顺时针方向旋转（）得到线段，连接，分别是线段的中点，连接．
猜想验证：
（1）当时，判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）①如图2，当时，连接，求证：；
②在图（1）的基础上，，当时，连接，请直接写出线段的长度．
【答案】（1）四边形为菱形．理由如下：
分别是的中点，
．
∴四边形为平行四边形．
由旋转得，
．
为菱形．
（2）①证明：如图，连接．
在中，，
∴
∵在中，是的中点，
．
是等边三角形．
．
∵四边形为菱形，，
∴四边形为正方形．
．
．
．
．
．
②线段的长度为或;
【解析】
【分析】（1）利用三角形的中位线定理和菱形的判定求解．
（2）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，得出即可求解；②分两种情况作出图形，构造直角，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
①略
②理由：当顺时针旋转时，如图所示，过M点作于G，
由，
得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴；
当顺时针旋转时，如图所示，过M点作于G，
由，
得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴．
本题考查了三角形的中位线定理、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形等知识，解题关键是构造全等三角形与直角三角形求解．平台
单号
1
2
3
4
5
A
28
30
32
29
31
B
15
20
45
38
32
…
1
2
3
…
…
…
生长时间天
10
15
20
30
吸收水分毫升
2.5
3.75
5.0
7.5
调查主题
调查某校九年级学生每日实际睡眠时长情况
调查方式
抽样调查
收集数据
设计调查问卷（如下），并采用合理的抽样方法进行调查．
关于睡眠时长的调查问卷
你平时每日的实际睡眠时间（单位：）大约为（ ）
A． B． C． D． E．
整理与描述数据
收回全部有效数据后，绘制了如下不完整的统计图：

调查结论
……
项目主题
吊环最高位置的高度测量与计算
驱动问题
如何测量吊环最高点到地面的距离？
活动过程
方案说明
如图为测量方案示意图，图中是吊环最高点，为水平地面，为观众席，其中点在同一水平地面上，均与水平地面垂直，图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量
在观众席的点处分别测得点的仰角为和；观众席的垂直高度为3米，水平长度为10米．
计算
……
关于等对角线四边形的探索
研究对象：等对角线四边形
研究方法：类比三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形的研究方法，从特例探索入手，结合图形的相关元素，通过观察（测量、实验）——猜想——推理证明，得到一般结论．
研究内容：
【一般概念】对角线相等的凸四边形叫做等对角线四边形．如图1，四边形是等对角线四边形，其中．

【特例研究】如图，四边形是等对角线四边形，且．测量发现．下面是小博同学证明的部分过程：
证明：如图，过点作交的延长线于点，
又∵，
∴四边形是平行四边形，