2026 山西省晋城市部分学校中考二模九年级数学试卷（含解析）中考模拟

这是一份2026 山西省晋城市部分学校中考二模九年级数学试卷（含解析）中考模拟，共10页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 在实数，，，中，最小的数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵，
∴最小的数是．
2. 为践行“人与自然和谐共生”理念，推动社会可持续发展。下列倡导环保的图案中，是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】中心对称图形为：
．
3. 下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂除法法则、完全平方公式、积的乘方法则，逐一计算各选项即可判断正误．
【详解】解：选项A：∵，∴A错误．
选项B：∵根据同底数幂除法法则，，∴B错误．
选项C：∵根据完全平方公式，，∴C错误．
选项D：∵根据积的乘方法则，，与等式一致，∴D正确．
4. 如图为公园中一款休闲桌的示意图，则它的俯视图是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】它的俯视图是：
．
5. 春节假期，太原市旅游市场繁荣火爆，主要景区、博物馆、公园等门票（营业）收入约为11500万元．将数据11500万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案．
【详解】解：11500万．
6. 如图，转盘分为灰、白两种扇形。山山进行多次重复转盘试验后，记录到指针指向灰色区域的频率稳定在左右，由此估算白色扇形区域的圆心角度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出白色区域的频率，再运用频率即可求解．
【详解】解：∵指针指向灰色区域的频率稳定在左右，
∴指针指向白色区域的频率稳定在左右，
∴指针指向白色区域的概率在左右，
∴估算白色扇形区域的圆心角度数是：．
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
【详解】原式
故选B．
本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键．
8. 如图，用一根细绳把物体悬挂起来，其中细绳的一端固定在垂直于地面的墙面上，当物体静止后对其进行受力分析，细绳对物体的拉力分别为和，物体所受重力方向竖直向下，若，，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先据题意得，求出的值，再根据周角性质即可求解．
【详解】如图，
∵据题意得，，，
∴，即，
∵，，
∴．
9. 直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据函数经过的象限，判断出的取值范围，再进行判断即可．
【详解】选项A，如图在中，，在中，，即，，前后不矛盾，故A符合题意；
选项B，如图在中，，在中，，即，，前后矛盾，故B不符合题意；
选项C，如图在中，，在中，，即，，前后矛盾，故C不符合题意；
选项D，如图在中，，在中，，即，，前后矛盾，故D不符合题意．
10. 利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。
下列说法正确的是（ ）
A. 甲同学所作与不一定全等
B. 乙同学所作与不一定全等
C. 丙同学所作与不一定全等
D. 甲、乙、丙三位同学所作都与全等
【答案】C
【解析】
【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可．
【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意；
选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故选项B不符合题意；
选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵缺少条件证明，故选项C符合题意；
选项D，综上各个选项，选项D不符合题意．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式进行计算．
【详解】解：．
12. 将矩形纸片沿剪掉一个角，得到了如图所示的图形①和图形②两部分，则得到图形①的内角和是图形②内角和的________倍．
【答案】
【解析】
【分析】先观察图形分辨图①、图②的形状，再分别求出两个图形的内角和即可得到答案．
【详解】如图，图②为三角形，其内角和为，图①为五边形，其内角和为，
∵，
∴图形①的内角和是图形②内角和的倍．
13. 如图，已知一钟表的分针长为，若该钟表的分针从到，则分针顶端经过的路径长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分针每分钟旋转，结合题意求出分针共旋转的度数，再运用弧长公式即可求解．
【详解】∵分针每分钟旋转，分针从到共走分钟，
∴分针共旋转，
∵分针长为，
∴分针顶端经过的路径长为：．
14. 已知点，，在反比例函数的图象上，若时，，则当时，与的大小关系为________．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据时，判断k的正负与点A，B所在的象限，根据得出点C所在的象限，从而根据反比例函数的增减性求解即可．
【详解】解：∵时，，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，即，且点在第二象限，点在第四象限，
∵，
∴点在第二象限，
∵反比例函数中，，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴．
15. 如图，在中，，点D是外一点，连接，，，交于点E，且，若，，则的长为________．
【答案】##
【解析】
【分析】解法一：延长，交于点F，根据勾股定理求出．根据，结合，得到，得到，根据三角形的内角和定理得到，因此根据“三线合一”得到，进而，，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
解法二：过点作，分别交，于点，，则，根据“三线合一”得到，由得到，根据相似三角形的性质求出，．证明，利用直角三角形斜边上的中线的性质得到，由得到，根据相似三角形的性质求出，再在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：解法一：
延长，交于点F，
∵在中，，，
．
∵，
∴，
∴，，
∵，
，
，
∵，，
∴，
∴，则垂直平方，
，
，
∴在中，，
∴．
∵，，
∴，
，即，
∴．
解法二：
∵在中，，，
．
过点作，分别交，于点，，
∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
．
∵
∴，
，即，
解得，
∴在中，．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算与解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
，
或，
解得：，．
17. 如图，在中，，连接并延长，与过点的切线相交于点．已知，求和的度数．
【答案】，
【解析】
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得，证明是等边三角形，可得，如图，连接，根据切线的性质得，根据圆内接三角形的性质、全等三角形的性质及等边对等角得，，根据，最后由可得答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
如图，连接，，
∵与相切于点，
∴，
由题意知：内接于，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 晋城翠绿茶是一种品质优良的绿茶，以其色泽翠绿、香气清雅、味道爽口等特点著称．某翠绿茶加工厂为提高分装效率，计划增购一台包装机，现有A，B两台不同型号的包装机可供选择．试用时，从A，B两台包装机已包装好的产品中各随机抽取10袋测得每袋的实际质量（单位：），设定每袋的标准质量为，将所得数据进行收集整理，部分信息如下：
信息一：A，B两台包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量折线统计图
信息二：A，B两台包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量统计表
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中________，________；
（2）由统计图可知，________包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定（填“A”或“B”）；
（3）若B包装机试用时共包装了600袋翠绿茶，估计其中质量为标准质量的有________袋；
（4）综合以上信息，你认为哪台包装机包装翠绿茶的情况较好？请说明理由．
【答案】（1）500，501
（2）B （3）240
（4）①B型号包装机包装翠绿茶的情况较好，理由见解析；②A型号包装机包装翠绿茶的情况较好，理由见解析；（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）将A型号中的数据排列，然后即可求出中位数，B型号中的数据出现了5次且最多，即可求出众数；
（2）由统计图可知，B型号包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定；
（3）答案不唯一，视角不同，结果不同，从稳定角度看，B种更好，从平均数角度看，A型号更好．
【小问1详解】
解：A型号中的数据排列为：498，498，499，499，500，500，501，502，502，502，
故中位数；
B型号中的数据出现了5次且最多，故众数；
【小问2详解】
解：从折线统计图的波动来看：A包装机的质量数据波动幅度更大，偏离标准质量的情况更多；B 包装机的质量数据波动幅度更小，整体更集中在附近．因此，B包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定．
【小问3详解】
解：由折线统计图可知，B型包装机抽取的10袋样品中，质量为标准质量的共有4袋．
∴600袋中质量为标准质量的袋数为：（袋）
答：估计其中质量为标准质量的有240袋．
【小问4详解】
①B型号包装机包装翠绿茶的情况较好，理由如下：
从折线统计图可以看出，B型号包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量波动小于A型号包装机，则B型号包装机包装的翠绿茶每袋的质量更稳定，
∴B型号包装机包装的翠绿茶的情况较好；
②A型号包装机包装翠绿茶的情况较好，理由如下：
从平均数来看，A型号包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量的平均数为，B型号包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量的平均数为，
∵设定每袋的标准质量为，
∴A型号包装机包装的翠绿茶平均每袋的质量更接近标准质量，
∴A型号包装机包装翠绿茶的情况较好．
19. 山西碳普惠平台“晋碳行”以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分．西西每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下：
方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步；
方式二：步行4200步．
已知，西西用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个．
（1）求每获得1个碳积分需要步行多少步；
（2）西西当月工作22天，每日上下班任选一种方式出行，每月需累计至少2000个碳积分才能兑换心仪权益，则当月最多选多少次方式一出行．
【答案】（1）60步 （2）21次
【解析】
【分析】(1)根据“方式一积分比方式二少50个”这一 等量关系，设每获得1个碳积分需要步行x步，列出分式方程求解；
(2)先根据第(1)问的结果计算出两种出行方式单次获得的积分，再根据“每月需累计至少2000个碳积分”列出一元一次不等式，求出方式一出行次数的最大值．
【小问1详解】
解：设每获得1个碳积分需要步行x步．
根据题意，得，
解得 ，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每获得1个碳积分需要步行60步；
【小问2详解】
解：由(1)得，方式一每次获得的积分为(个) ，
方式二每次获得的积分为(个) ，
西西每月总出行次数为(次) ，
设当月选m次方式一出行，则选次方式二出行．
根据题意，得，
解得．
∵m为整数，
∴m的最大值为21．
答：当月最多选21次方式一出行．
20. 大同古城东南邑“丝路塔”（如图①）的屏幕单元可随精密指令优雅展开、重组，打破了建筑的静态轮廓．如图②是某校“综合与实践”活动小组为测量顶层两块屏幕单元展开时点之间的距离，绘制的塔体部分截面图（该截面图为轴对称图形），其中塔身横杆，四边形为矩形，屏幕单元．，展开状态下斜撑杆，，且，图中各点都在同一竖直平面内．请求出点之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】点之间的距离为．
【解析】
【分析】本题可通过解直角三角形求出 、 的长度，再利用矩形性质与轴对称图形特征，结合线段和差关系计算的长度．解题关键是构造直角三角形，利用三角函数求出对应线段长．
【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
，，
在中，，则，
在中，，，
，
，
同理，由轴对称性质可得：cm，
四边形是矩形，cm，且，
四边形是矩形，
．
21. 阅读与思考
下面是小贾同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）①特殊位置一中________；
②特殊位置二分析过程中的依据是________；
（2）补全思路分析二中的求解过程；
（3）如图⑤，P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F，连接，，，若，则阴影部分的面积为______
【答案】（1）①3；②角平分线上的点到角两边的距离相等
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）①因为P是等边三角形三条高线交点，即中心，所以可利用等边三角形三线合一性质，直接计算、、的长度再求和；
②因为题目中由角平分线和到两边的垂线得出，所以回忆角平分线的相关定理来确定依据．
（2）因为要将一般位置转化为特殊位置，所以先借助已有的矩形性质，再利用特殊位置二中的全等结论，通过线段的等量代换推导的值．
（3）考虑利用特殊位置，并结合等边三角形面积公式求解．
【小问1详解】
解：① 当是等边三角形三条高线交点时，分别是三边中点，等边三角形边长为，
∴，和为．
② 是的角平分线，，得，
依据是：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【小问2详解】
解：接题干过程继续推导： 同理可得，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴．
因为在等边的角平分线上，，，
和特殊位置二同理可得，且满足．
又，，
代入变形： ，
所以最终可推得对任意点P都有．
【小问3详解】
解：如图③，，，，，
，
所以边长为2的等边三角形的面积为，
利用特殊化思想，将点移动到顶点处，此时阴影部分面积等于面积的一半；
对任意点，阴影面积都为原三角形面积的一半，因此阴影面积为​​．
22. 综合与实践
项目主题：确定实现火龙果亩利润最大化的最佳每日补光时长
项目背景：在白天正常日照下，通过“分段式补光技术”在夜间给火龙果进行补光会提高成花蕾率，但每日夜间补光时长过长或过短都会使花蕾数量降低．现该基地需通过数学建模分析每日补光时长与花蕾数量的关系，并制定兼顾产量与成本的优化方案．
数据收集：该基地栽培时期无阴雨天气下花蕾数量（）、电费成本（）与每日补光时长（）的相关数据如下：
模型构建：
（1）根据表中信息可知，与符合_______填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”）关系，并求出与的函数关系式；
（2）经过研究发现，与成二次函数关系，且其函数关系式为，请求出与的函数关系式，同时描述随着的增加如何变化；
模型应用：
（3）在一个生长周期内，每个花蕾后期可产约果实，除电费成本外，维护等其他固定成本为元/亩，已知火龙果售价为元（全部售出），求每亩取得最大利润时的每日补光时长．（每亩总利润每亩总收入每亩电费成本每亩固定成本）
【答案】（1）一次函数，；
（2），见解析；
（3）小时．
【解析】
【分析】（1）根据表格中数据呈线性增长，且过原点，判断与关系，再用待定系数法求函数式；
（2）代入数据求，分析随的增减性；
（3）列利润函数，利用顶点公式求最大值对应值．
【小问1详解】
解：表格中的数据呈线性增长，且过原点，符合一次函数的性质；
设与的函数关系式为，
把，代入，得，解得，
∴与的函数关系式为；
【小问2详解】
解：把，代入，得，
解得，
与的函数关系式为，
∴，
∴函数图象开口向下，又对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴当每日补光时长时，火龙果花蕾数量随着每日补光时长的增加而增加，当每日补光时长时，火龙果花蕾数量随着每日补光时长的增加而减少；
【小问3详解】
解：设每亩总利润为元，
依题意可得，，
∵，，
∴当时，有最大值，
∴每日补光时长为小时时，每亩取得最大利润．
23. 综合与探究
问题情境：有一条对角线与一组对边相等的平行四边形，称为双等腰四边形．以下对该图形的性质、判定和应用逐一进行探究．
探究性质：
（1）如图①，若四边形为双等腰四边形，其中，，判断与的数量关系，并说明理由；
探究判定：
（2）如图②，用两个全等的含角的直角三角形和直角三角形拼出一个矩形，固定，将沿的方向平移，使与交于点，与交于点．当时，求证：四边形是双等腰四边形；
探究应用：
（3）如图③，在矩形中，分别为边上的点，连接，若四边形为双等腰四边形，且，直接写出的值．
【答案】（1），见解析
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（）先根据双等腰四边形和的条件，推出中，判定为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的边长关系，得到；
（）由平移性质证四边形是平行四边形，借助直角三角形边长关系证得它是菱形，再推出等边三角形，最终证出四边形为双等腰四边形；
（）结合矩形和平行四边形性质推出，根据双等腰四边形分两种情况，利用等腰三角形三线合一与矩形边长关系，算出的值为或．
【小问1详解】
解：；
理由如下：
∵四边形为双等腰四边形，，
，
为等腰直角三角形，
；
【小问2详解】
证明：由平移的性质可知，，，
∴四边形是平行四边形，，，
，
，
在中，
，，
，
，
∴平行四边形是菱形，
，
如图①，连接，
∵，
∴是等边三角形，
，
∴四边形是双等腰四边形；
【小问3详解】
解：的值为或．
解：∵四边形为矩形，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
∵四边形为双等腰四边形，
∴有以下两种情况：①当时，如图②，过点作于点，
，，
为的中点，
，
∵在矩形中，，
，
∴四边形为矩形，
，
又，
，
，
，
；
②当时，如图③，过点作于点，
，
为的中点，，，
设，则，
，
，
在矩形中，，
，
，
，
，由可得，
，
．
综上所述，的值为或．同学
甲
乙
丙
参照三角形



作图步骤
第一步：作；第二步：作；第三步：作．
统计量
平均数
中位数
众数
A包装机
500.1
a
502
B包装机
500.4
500.5
b
利用“特殊化”思想解决较复杂的几何问题
面对某些较复杂的几何问题，我常常会束手无策，并不是我对几何概念、性质掌握不够，而是不知道怎么入手解决这些问题．今天，我又拿着一道题去问老师，这次我不仅要学会老师的解题过程，还要看他是怎么一步一步分析问题的．
问题：如图①，P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F，若，则________．
【老师的思维路径】
思路分析一：动点P在哪些特殊位置时，的值更好求出？
特殊位置一：如图②，当P为等边三角形三条高线所在直线的交点时，________．
特殊位置二：如图③，当点P在等边三角形的边的高上时，分析过程如下：
如图③，连接，∵为等边三角形，，
，
，
（依据），，
，，
，，
．
思路分析二：图①的一般位置如何转化成容易求解的特殊位置，分析过程如下：
如图④，过点A作于点G，交于点H，过点H作于点I，过点P分别作于点J，于点K，
，
∴四边形是矩形，
，
…
【回顾反思】
面对部分几何问题时，由于某些因素（如形状、位置等）不确定，使得问题有多种情形时，此时可考虑限制引起变化的因素，采用从特殊到一般的方式逐步分析规律，解决问题．
每日补光时长
花蕾数量（个/亩）
电费成本（单位：元/亩）