2026年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用重难点培优15导数解答题题型全归纳(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用重难点培优15导数解答题题型全归纳(复习讲义)(学生版+解析)，共17页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 6
\l "_Tc16555" 题型一 利用导数研究具体函数的单调性 （★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 6
\l "_Tc7141" 题型二 利用导数研究含参函数的单调性（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 7
\l "_Tc26803" 题型三 极值问题（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 8
\l "_Tc13512" 题型四 最值问题（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 10
\l "_Tc3897" 题型五 恒成立和有解问题（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 11
\l "_Tc326" 题型六 零点问题（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 13
\l "_Tc11957" 题型七 极值点偏移问题（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 14
\l "_Tc17557" 题型八 隐零点问题（★★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 16
\l "_Tc28054" 题型九 导数与不等式证明（★★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 18
\l "_Tc8991" 题型十 导数中其他双（多）变量问题（★★★★） PAGEREF _Tc8991 \h 20
\l "_Tc24465" 题型十一 导数结合数列（★★★★） PAGEREF _Tc24465 \h 21
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 25
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 25
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 30
一、恒成立、能成立问题
1、设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
注：（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
2、分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
3、其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
4、其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5、其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
二、极值点偏移问题
①极值点偏移
1、极值点偏移定义
极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移
2、极值点偏移的原理
函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样
3、极值点偏移的图形定义
①左右对称，无偏移，如二次函数；若，则
②左陡右缓，极值点向左偏移；若，则
③左缓右陡，极值点向右偏移；若，则
②极值点偏移的判断
根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现等条件而求证不等式成立的时候，即可视为极值点偏移考察
③答题模板（对称构造）
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，
故，
又因为，且在上单调递减，
从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
④其他方法
1、比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2、对数均值不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
3、指数不等式
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
三、指对同构
1、积型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
2、商型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
3、和差型
对数化:令，得
指数化:令，得
比如令，得．
四、切线放缩
1、指数函数的切线不等式
①；②．
2、对数函数的切线不等式
①；②；③．
3、三角函数的切线不等式
①当时， ；当时， ；
②当时， ；当时， ．
③切线与割线相结合的形式：当时， ．


题型一 利用导数研究具体函数的单调性
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数
(1)求的单调区间；
2．（2025·江西·模拟预测）已知．
(1)当时，讨论的单调性；
3．已知函数．当时，求的单调减区间.
4．（2025·海南·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间与极值点；
5．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；

题型二 利用导数研究含参函数的单调性
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，．
(1)若在处的切线方程为，求实数m的值；
(2)讨论的单调性.
2．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
3．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程.
(2)讨论的单调性.
4．已知函数，讨论的单调性.
5．（24-25高三上·广东潮州·月考）已知函数．
(1)若，求的极值点；
(2)讨论的单调性．
6．（2025·湖北武汉·三模）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.

题型三 极值问题
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数在点处的切线与轴垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值.
2．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数
(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；
(2)若在处有极值，求a与b的值.
3．（24-25高三上·江西·期中）设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若存在极值M，求证：.
4．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围.
5．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
(1)当时，求单调区间
(2)讨论极值点的个数.
6．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数.
(1)若函数在点处的切线与轴平行，求的值；
(2)当时，设的极大值为，求证：.
7．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知函数，其中．
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围．
8．（2025·重庆·三模）已知函数
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.
9．（24-25高三下·山东聊城·月考）已知函数.
(1)判断函数在上是否存在极值点.若存在极值点，求出极值；若不存在极值点，说明理由.
(2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围.
10．（2025·广东佛山·三模）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值；
(2)若存在两个极值点，求的取值范围．

题型四 最值问题
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)求在上的最小值．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
3．（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值．
4．（2025·山东烟台·三模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，且，求的最大值．
5．（25-26高三上·贵州·月考）已知函数．
(1)若，当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的极大值存在最小值，求实数a的取值范围.

题型五 恒成立和有解问题
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·陕西咸阳·月考）设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
2．（23-24高三上·河南·月考）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
3．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数在处取得极值.
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
4．（2025·河北·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若不等式对恒成立，则实数的最小值.
5．已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)若在单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
6．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论函数的极值点情况；
(2)设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围.
9．（2025·山西晋中·三模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
10．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围．

题型六 零点问题
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三上·河南·期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
2．（2025·广东广州·三模）已知函数.
(1)当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数.
(1)时，求在处的切线．
(2)求函数的极值；
(3)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
4．已知函数的导函数为.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若有三个不同的零点，求实数的取值范围.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，讨论的零点个数；
6．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数零点的个数．

题型七 极值点偏移问题
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，，则．
2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且，证明：，且．
3．已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．
4．已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.
5．（24-25高三上·四川成都·月考）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
6．已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：

题型八 隐零点问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·四川乐山·三模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)令，若存在，使得成立，求整数的最小值．
2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围．
4．设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由.
5．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值．
(2)求在上的零点个数．
(3)证明：在上存在两个零点，且．
6．已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，．

题型九 导数与不等式证明
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·北京·月考）已知函数．
(1)求的零点及；
(2)求的极值；
(3)求证：．
2．（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求实数的值
(2)证明：．
3．（2025·广东揭阳·三模）已知函数
(1)求的极值；
(2)证明：.
4．（2025·甘肃白银·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若，证明：当时，．
5．（24-25高三下·江苏常州·月考）设函数．
(1)若不等式恒成立，求的取值范围；
(2)当时，求证：．
6．已知函数．
(1)判断的单调性，并说明理由；
(2)证明：．（证明时可使用下列结论：当时，成立）．
7．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
(2)若函数在区间上单调递增．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：，．
8．（2025·辽宁·三模）已知函数．
(1)当时，求的零点；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围；
(3)证明：．
9．（2025·山西·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数极值点的个数，并说明理由；
(3)证明：当时，都有．

题型十 导数中其他双（多）变量问题
1．（23-24高三上·广东广州·月考）设函数的两个极值点分别为，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
2．已知函数．
(1)若在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；
(2)若的极值点为，设，且证明：．
3．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)若关于的方程有两个根和，求证：．
4．已知函数.
(1)设函数，若恒成立，求的最小值；
(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.
5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：．
6．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（i）证明：；
（ii）若，且，证明：.
7．已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．

题型十一 导数结合数列
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三上·安徽·月考）设函数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）.
2．定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
(1)若是上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（i）证明：是上的“好函数”．
（ii）设，证明：．
3．（23-24高三上·上海黄浦·期中）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知，.
(1)求函数的单调区间
(2)若数列（为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围
(3)数列满足，，.证明：对任意的，.
4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足，函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)探究数列的单调性并说明理由；
(3)证明；．
5．（24-25高三下·重庆北碚·月考）已知一系列函数.
(1)讨论在上的单调性；
(2)证明：；
(3)记为的最小值，，证明：.
6．已知函数．
(1)若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)证明：对任意的正整数n，不等式都成立．
7．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数．
(1)求曲线过点的切线方程；
(2)设，曲线在点处的切线与轴，轴围成的三角形面积为，记，求；
(3)设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围．

题型十二 导数中的新定义问题
1．（2025·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．
(1)已知函数，求曲线在点处的曲率；
(2)已知函数，求曲线的曲率的范围．
2．（23-24高三上·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．

已知函数，．
(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若，求的取值范围．
3．对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
(1)若的极小值小于，求的取值范围；
(2)当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
4．（24-25高三上·山东临沂·月考）若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界， 是的一个下界．
(1)求函数的下界的取值范围；
(2)判断是否是下界为的函数，并说明理由；
(3)若函数，是的一个整数下界，求的最大值．（参考数据：，）
5．（24-25高三下·河南·月考）若函数在开区间I内满足：，在处的切线的斜率均为，则称为I内的“缘分函数”．
(1)判断是否为内的“缘分函数”，并说明理由；
(2)若为内的“缘分函数”，求实数a的取值范围；
(3)证明：不是内的“缘分函数”．
6．（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：；
(3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”.
7．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
(1)判断函数的凹凸性；
(2)若，令，求的最小值；
(3)为（2）问所得结果，证明不等式：．
8．（2025·福建三明·三模）若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线.
(1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程；
(2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由；
(3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·广东湛江·二模）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若，讨论的单调性．
2．（2025·广东江门·一模）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的极值．
3．（2025·陕西汉中·三模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数的最小值为1，求实数的值．
4．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值;
(2)设有两个不同的零点，求的取值范围.
5．已知函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
6．（2025·浙江杭州·二模）已知函数（）.
(1)若，求的极小值；
(2)当时，求的单调递增区间；
(3)当时，设的极大值为，求证：.
7．已知函数
(1)求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若是的两个极值点，且，求a的最大值．
9．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围．
10．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：对恒成立．
11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的取值范围.
12．（2025·甘肃白银·三模）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(3)若，证明函数有两个零点．
13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：．
14．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数在时取得极值，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在实数，使得成立，求整数的最小值．
15．（2025·安徽池州·二模）已知.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)设，是否存在，使得曲线与关于原点对称？若存在，求；若不存在，说明理由；
(3)证明：对任意，存在，使得有两个不同的零点.
16．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)求证：.
17．设整数，且，函数．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，证明：．
18．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数.
(1)若x轴是曲线的一条切线，求实数a的值；
(2)若在上恒成立，求a的最小值；
(3)证明：（且）.
19．（2024·四川德阳·二模）已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.
20．已知函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)证明:中任意两个之积的绝对值不小于1.
21．已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.
22．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
(3)设，数列的前n项和为．证明：．
23．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设函数在区间上有定义，若，，，，则称是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递减．
(1)若函数是定义在上的凹函数，求实数的取值范围；
(2)已知函数是定义在上的凹函数，证明：对于任意的，，，若，则；
(3)已知函数，若对于，都有，求实数的取值范围．
24．（24-25高三上·江苏扬州·月考）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和，若且处的“柯西曲率”相同，求的最小值.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·河北保定·期末）已知正项数列的前项和为，首项.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若函数，.正项数列满足：.
（i）讨论单调性;
（ii）证明：；
（iii）证明：.
2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，设，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当曲线经过点时，有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于的实数，若关于方程恰有三个不同的实根，则.
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若当时，关于的方程：有两个不同的根：且，
（i）求的范围；
（ii）当最小时，求的值．
4．（23-24高三下·湖南娄底·月考）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若，
（i）证明：函数有三个不同的极值点；
（ii）记函数三个极值点分别为，且，证明：.
5．（23-24高三上·辽宁·开学考试）设方程有三个实数根.
(1)求的取值范围；
(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.
①证明：；
②证明：.
6．（2025·江苏·模拟预测）已知函数.
(1)当时，设的一个极值点为．
（i）判断是否成立，并说明理由；（已知）
（ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：；
(2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
已知：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
利用导数求函数单调性，解题的思路是：
1、利用导数求函数单调区间的基本步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间．
或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．
2、含参数单调性讨论：（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
1、含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
2、一般性技巧
（1）导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
（2）若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
（3）若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
1、求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
1、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
利用导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方．
一、常规方法
1、和型（或）问题的基本步骤：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，
得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
2、积型问题的基本步骤：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
二、其他方法
1、比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2、对数均值不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
3、指数不等式
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
1、隐零点的处理思路
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
2、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
利用导数证明或判定不等式问题
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.