2026年高考数学一轮复习第八章平面解析几何第02讲两条直线的位置关系(专项训练)(学生版+解析)

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
\l "__x0001_ 01" 题型01 直线的交点及其应用
\l "__x0001_02" 题型02 两条直线平行及其应用
\l "__x0001_03" 题型03 两条直线垂直及其应用
\l "__x0001_ 04" 题型04点到直线间的距离公式的应用
\l "__x0001_05" 题型05 两条平行直线间的距离公式的应用
\l "__x0001_06" 题型06 与距离有关的最值问题
\l "__x0001_ 07" 题型07 点、直线的对称问题
\l "__x0001__1" 02 核心突破提升练
\l "__x0001__2" 03 真题溯源通关练
01 直线的交点及其应用
1．已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参.
【详解】直线与直线的交点为，
又因为与直线平行，所以设直线为：，
代入得，所以，
所以直线的方程为.
故选：A.
2．设直线与轴的交点的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，可得，再用累乘法计算.
【详解】令，可得，
所以
．
故选：C．
3．如图，矩形中，，，、、、分别是矩形四条边的中点，且都在坐标轴上，、、是线段的四等分点，、、是线段的四等分点，直线与、与、与的交点、、都在以下哪条曲线上（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出点、、的坐标，设曲线的方程为，将这三点的坐标代入曲线方程，求出、的值，即可得出曲线的方程.
【详解】由已知得、、、，
因为、、是线段的四等分点，则、、，
因为、、是线段的四等分点，则、、，
，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立这两直线方程，解得，，即点，
同理可得点、，
设、、在曲线上，
则，解得，
因此，点、、都在曲线.
故选：D.
4．已知两直线.
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
(2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；
（2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案.
【详解】（1）联立方程，解得；
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
（2）设点关于直线对称的点为，
则，解得，即；
则,
故的最小值为.

02 两条直线平行及其应用
5．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系.
【详解】若，则直线，直线，此时平行，
若平行，则即，
当时，平行，
当时，直线，直线，此时也平行，
故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件，
故选：A.
6．已知直线．若，则实数的值为 ．
【答案】2
【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果.
【详解】因为，所以，解得或.
当时，，符合题意.
当时，，两直线重合，不合题意.
综上，.
故答案为：2.
7．已知两直线和．若，则 ．
【答案】
【分析】利用两条直线平行求出参数，再验证得解.
【详解】由直线，得，则，解得，
又0，则，即，因此．
所以当时，．
故答案为：
8．已知直线与直线互相平行，等差数列的公差为，且，，令，则的值为 ．
【答案】52
【分析】利用两直线平行可求得，再结合和求出首项，得到数列通项公式，最后逐项代入求解即可.
【详解】由题意知，因为两直线平行，所以，解得，
由，解得或，
又，则，
由，解得，
故，
则
故答案为：52
03 两条直线垂直及其应用
9．设曲线在处的切线与垂直，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】先对曲线进行求导，将代入导函数中求出切线斜率，在根据切线与已知直线垂直的关系列出方程求解即可.
【详解】因为，所以，
所以曲线在处的切线斜率为：，
由直线的斜率为：，
又因为曲线在处的切线与垂直，
所以，
所以，
故选：C.
10．已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线垂直的充要条件可求解.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B.
11．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，双曲线的渐近线方程为，其与直线垂直，可得，再根据双曲线中的关系，即可求解.
【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，
所以渐近线为，且，所以，
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
12．已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导，确定切线斜率，再结合垂直关系即可求解.
【详解】由，得，
所以在处的切线斜率为：，
由垂直关系可得：，
所以，
故选：A
04 点到直线间的距离公式的应用
13．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．1C．3D．9
【答案】C
【分析】法一：求出渐近线方程，利用点到直线距离公式进行求解；法二：利用结论“双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长”直接得到答案.
【详解】法一：双曲线的渐近线方程为，焦点，
焦点到渐近线的距，
法二：利用结论“双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长”得，.
故选：C．
14．圆上的点到直线距离的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为.
【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径.
直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为：
.
因为，那么圆与直线相离.
因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即：
故选:A.
15．已知曲线E:+=1，是曲线E上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论可得曲线轨迹，利用可看成是点到直线的距离的两倍，当点在椭圆上时距离最大，利用三角代换可求最大值.
【详解】由，当时，方程为，
当时，方程为，当时，方程为，
如图，曲线在第二、四象限是双曲线的一部分，在第一象限是椭圆的一部分，
可看成是点到直线的距离的两倍.
由图可知，点在椭圆上时，距离最大.
设，
则，其中，则.
故选：C.
16．已知三条直线：，，，且与间的距离是，
(1)求 的值；
(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由
【答案】(1)；
(2)存在点.
【分析】（1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解；
（2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可.
【详解】（1），
与间的距离为，
即 ，
，
；
（2）假设存在，设点，
由条件知，点在与平行的直线上，
且，
或，
或，
由条件知，，
，即或，
因为点在第一象限，，舍，
或
解得（舍），，
所以存在点同时满足①②③．
05 两条平行直线间的距离公式的应用
17．若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】A
【分析】首先根据导数的几何意义求切线的方程，再代入平行线的距离，即可求解.
【详解】设直线与曲线切于点，直线的斜率为4，
由导数的几何意义可知，，得，则，
所以直线，即，
所以直线与之间的距离为.
故选:A
18．已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
作圆关于轴对称的圆，其圆心
因此，
当且仅当是线段与轴的交点时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
19．已知是曲线上的一个动点，则点到直线的最小距离为 ．
【答案】
【分析】设与相切与点Q，求得切线方程，再利用两直线间的距离求解.
【详解】因为，所以，
设与相切与点Q，
则，令，解得，则切点为，
代入，得，即直线方程为，
所以直线与直线间的距离，
即为到直线的最小距离.
故答案为：.
20．已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ．
【答案】
【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离.
【详解】由题意，直线，则且，所以.
所以：与直线：之间的距离.
故答案为：.
06 与距离有关的最值问题
21．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径.
因为到直线的距离，
当且仅当时，等号成立，
所以直线与该圆相离，
所以的最小值为.
故选：C.
22．对任意的实数， 圆上一点到直线的距离的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据直线方程先求出直线所过的定点，然后考虑直线经过圆心，圆心与定点的连线垂直直线，结合直线与圆的位置关系确定出的取值范围.
【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，
直线方程可化为，
令解得，所以直线过定点，
显然当直线与圆相切或相交时，取最小值且，
不妨令直线过原点，将代入，此时，
设圆心到直线的距离为，当直线与垂直时，取得最大值，下面证明：
当与直线垂直时，记为直线，
当不与直线垂直且直线不经过时，记为直线，
过作交于点，如下图所示，
由图可知为直角三角形，且为斜边，所以，
所以取最大值时，与直线垂直时，
故，，
但此时的方程为，即为，
此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，
所以，
故答案为：
23．在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意计算化简得出点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，将看作是点与点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系求得的取值范围，即可得解.
【详解】由动点到点距离的平方和为10，得，
则点的轨迹方程为，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，
可看作是点与点连线的斜率，
设直线，即，则圆心到直线的距离，
由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离，整理得，解得或，
所以的取值范围为．
故答案为：
24．函数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】记点、、，则，数形结合可得出的最小值，当时，设，结合函数的基本性质可得出，综合可得出的取值范围.
【详解】，
记点、、，
利用几何意义，根据两边之差小于第三边，
又注意到、、三点共线时可以取到最小值，
故，如下图所示：
又因为，则，
当时，，此时；
当时，设，
则，
此时.
综上所述，函数的取值范围是.
故答案为：.
25．已知，满足，则点到直线的距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先判断直线恒过定点，再将距离的最大值转化为两点间的距离.
【详解】，直线恒过定点，
所以点到直线的距离的最大值为点和两点间的距离
.
故答案为：
07 点、直线的对称问题
26．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】C
【分析】延长、交于点，由光学性质分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得的值.
【详解】由椭圆，则，长轴长.
如图，在平面直角坐标系中，
延长交于点，连接，
由题意可知，又因为，
则为的中点，且，
所以，
又因为为的中点，则为的中位线，
则.
故选：C.
27．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ．
【答案】
【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可.
【详解】设点关于直线的对称点为，则解得
所以．又点，
所以，直线的方程为，
由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为．
故答案为：.
28．如图在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则线段的长度是 ；直线的斜率为 .

【答案】 2
【分析】根据已知，利用对称性､重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，可得，
所以直线的方程为的重心的坐标为，
设点分别是点关于直线和轴的对称点，
连接，所以，设，
则有，解得，所以，
由光的反射原理可知，四点共线，所以，即，
解得，此时，
所以，直线的方程为，
联立直线的方程与的方程有：，解得，即，
所以直线的斜率为.
故答案为：；2.
1．(多选)已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：．
【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况：
直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：，
化简得：．
直线过且经过中点，因为中点，
所以直线方程：．
综上所述：直线方程为： 和．
故选:AD．
2．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k.
【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心，
所以点关于直线对称的点在圆上，
又点关于直线对称的点在圆上，
所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为（舍去第四象限的点），
所以与两点所在直线，与垂直，故.
故选：D.
3．已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将题设转化为的图象和的图象有两个交点，求出直线和相切时的值以及直线过点时的值，结合图象即可求解.
【详解】关于直线的对称直线为，
则题设等价于函数的图象和的图象有两个交点．
令等价于，
设直线和相切，
由，解得或（舍），
又当直线过点时，解得，
所以k的取值范围是.
故选：A．
4．若抛物线上恒有关于直线对称的两点A，B，则p的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线上，代入后求其横坐标，然后由AB的中点在抛物线内部列不等式求得实数p的取值范围．
【详解】设，是抛物线上关于直线对称的两点，则
①
②
①-②得，
整理得，
所以，即
所以
设AB的中点为，则
又M在直线上，所以
则
因为M在抛物线内部，所以
即，解得
所以p的取值范围是
故选：C
5．（多选）已知点，且点在直线上，则（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．的最小值为
D．若，则的最小值为2
【答案】BCD
【分析】分类讨论可得不存在这样的点点，使得判断A；设，由已知可得方程有解判断B；设关于直线的对称点为，求解可判断C；利用二次函数的配方法求得最小值判断D.
【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，
与不垂直，同理时与不垂直，
当且时，
若，则，
去分母整理得，方程无解，故与不垂直，故A错误；
对于B：设，若，
则，即，
由，所以方程有解，
则存在点，使得，故B正确；
对于C：如图设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
当且仅当三点共线时取等号（在线段之间），故C正确：
对于D，因为，
当时等号成立，所以的最小值为2，故D正确.
故选：BCD.
6．如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为 .

【答案】3
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，将代入直线的方程，并用向量的坐标表示出，和上式联立，即可得出，最后求出等边三角形的边长.
【详解】设等边三角形边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
直线的斜率为：，方程为：，
设，因为在上，所以，
且，依题意，，所以，解得（负的舍去），即等边三角形的边长为3.

故答案为：3.
7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值是 .
【答案】10
【分析】根据题意，由分析可得两条动直线所过定点即的坐标，利用勾股定理以及两点间距离公式计算可得答案.
【详解】解：易知，又直线与互相垂直，所以，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及两点间的距离公式，关键分析出两条直线所过定点的坐标.
1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
2．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.

故选：C
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

5．（上海·高考真题）已知常数、、、满足：，，，则的最大值为
【答案】/
【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可.
【详解】设点，，，，
由，，，
可得A，B两点在圆上，且，
即有，即三角形OAB为等边三角形，，
所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和，
故设，则，
所以
，
其中，
所以最大值为，当且仅当时，可取最大值.
故答案为：
6．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
故答案为：