数学：辽宁省2024-2025学年高二下学期5月期中考试试题（解析版）

这是一份数学：辽宁省2024-2025学年高二下学期5月期中考试试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则的值为（ ）
A. -1B. 3C. 8D. 16
【答案】C
【解析】根据题意，，则，
由导数的定义知，．
故选：C．
2. 已知数列满足，，则（ ）
A. 14B. 13C. 12D. 11
【答案】B
【解析】由，，可得，，
故选：B.
3. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，令，得，
即该运动员在时的瞬时速度为.
故选：C.
4. 已知等比数列，且，，，则（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】A
【解析】由条件可知，，且，，
所以，.
故选：A
5. 已知函数，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以在上单调递增，
所以，
故选：D
6. 随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（ ）
A. 17万条B. 16万条C. 15万条D. 14万条
【答案】C
【解析】设收益为y元，则，
，当时，；当时，，
所以函数y在上单调递增，在上单调递减，
即当收集的数据量为15万条时，该软件能获得最高收益.
故选：C.
7. 若数列满足（且），，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，可得：
，累计可得：，故选：D.
8. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设切点为，由可得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，
由点切线上代入可得，
即三次方程有三个不同的实数根，
令，则，所以极值点为和，
又极值点处函数值为，三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号，所以，解得.故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增B. 函数至少有2个极值点
C. 函数在上单调递减D. 函数在处取得极大值
【答案】ABC
【解析】
根据的图象可知：函数在上单调递增，故A正确；
根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点，
而是不是导函数的变号零点，故函数有2个极值点，故B正确；
根据的图象可知：在时，，所以函数在上单调递减，
故C正确；
根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点，
而是不是导函数的变号零点，故函数在处无极值，故D错误；
故选：ABC．
10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】A.定义域为，，，故A正确.
B.定义域为，，，故B正确.
C.定义域为，，，故C正确.
D.定义域为，，，当时，，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（ ）
A.
B. 数列的前n项和为
C.
D. 实数k的最小值为
【答案】AD
【解析】由，得，又，
所以数列是首项为2，公比为4等比数列，
所以，即，故A正确；
数列的前n项和为，故B错误；
因为，所以，故C错误；
由，得，令，
所以，，
，所以数列单调递减，
当时，的最大值为，
所以，即实数k的最小值为，故D正确，
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的极小值点为________．
【答案】
【解析】由可得，
令可得，即，解得，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以是的极小值点.
故答案：
13. 设为等差数列的前n项和，且，，则________．
【答案】
【解析】因为为等差数列的前n项和，则成等差数列，
且，，则，则其公差为，
所以，所以.
故答案为：
14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】，设，则，所以，，所以，
因为与的图象若恰有3组对称点，
所以有三组解，可得即有三个解，
令，即函数与的图象有3个不同的交点，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
所以，，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
解：（1）在等差数列中，，，公差，
所以数列的通项公式为；
在等比数列中，，由，得，
解得，，而，因此，
所以数列的通项公式是.
（1）由（1）知，
.
16. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的极值与最值．
解：（1）由，得，
所以．
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
所以，即，解得．
（2）由（1）得，
令，解得，或．
当变化时，的变化情况如下表所示：
因此，当时，有极小值，且极小值为，
当时，有极大值，且极大值为．
又，
所以函数在区间上的最大值为12，最小值为．
17. 已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）由，又，
可得数列是首项、公比均为3的等比数列，
故，
（2）由（1）可得，
则，
所以，
两式相减得，
所以
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：对且，都有．
（1）解：因为，定义域为，
所以．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，恒成立，所以函数在上单调递增．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：不妨设，则，
要证对，都有，
只需证，即需证．
构造函数，
则要证，需证函数在上为增函数，
因为，
所以函数在上为增函数成立，
所以当时，对且，都有．
19. 定义：已知数列的前n项和为，若对任意正整数n，存在，使得，则称数列为“和完全平方数列”．
（1）若数列满足判断是否为“和完全平方数列”．
（2）若数列的前n项和（，且），那么是否存在λ，使得数列为“和完全平方数列”？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．
（3）若等差数列是“和完全平方数列”，求数列的通项公式．
解：（1）为“和完全平方数列”，理由如下：
设的前n项和为，显然，满足要求，
当时，
，
综上，为“和完全平方数列”；
（2）存在，使得为“和完全平方数列”，理由如下：
当时，，
当时，，
设的前项和为，则，满足要求，
因为，且，所以，且，
当时，当时，，此时，
满足为“和完全平方数列”，
当时，，故，
不存在，使得，
综上，；
（3）设等差数列公差为，前n项和为，
因为为完全平方数，故，，，
若，则，若对于任意的，均为完全平方数，
则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数，
若为奇数，则不是完全平方数，矛盾，
若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾，
若，则，
若，取，则或，
当为偶数时，此时，均不是完全平方数，
当为奇数时，取，，其中为奇数，
故此时不是完全平方数，
故，即，故，设，则，
当时，，
又适合上式，即，.
1
0
0
单调递减
单调递增
单调递减