2026年河北省石家庄市中考二模考试数学试题（含解析）

这是一份2026年河北省石家庄市中考二模考试数学试题（含解析），共11页。
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（ ）
A. B. 20C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正负数的意义以及绝对值，根据题意得到负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，排除错误选项，再通过比较数值与0的距离来判断即可．
【详解】解：指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦，
正数表示音调偏高，需放松琴弦，
负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，
与音准0的距离为，与音准0的距离为，与音准0的距离为，
指针指在0处为标准音，且2最小，
最接近标准音的是．
2. 中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ ）
A. 主视图和俯视图相同B. 主视图和左视图相同
C. 左视图和俯视图相同D. 主视图、左视图和俯视图都相同
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形得到其三视图，进而问题可求解．
【详解】解：由图可知：该白釉暗刻龙纹高足杯的主视图和左视图相同，故B选项符合题意．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：选项A，，A错误．
选项B，，B错误．
选项C，∵与不是同类项，不能合并，C错误．
选项D，∵−2ab23=(−2)3a3·(b2)3=−8a3b6，D正确．
4. 如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（ ）
A. 1B. 1.5C. 1.6D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为，的中点，，
∴，
∵，
∵D为的中点，，
∴，
∴．
5. 如图为嘉淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼；若；，，则入射角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，结合图形根据角的和差即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
6. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. -3B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果．
【详解】解：、是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴
．
7. 如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位．则陪餐老师和学生乙坐在正对面的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了古典概型的概率计算，通过列出陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位的所有情况，再利用概率公式即可求解．
【详解】解：陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位，
所有可能的排列如下：
老师，学生乙；
老师，学生乙；
老师，学生乙；
老师，学生乙；
老师，学生乙；
老师，学生乙；
共种等可能的情况，
只有当老师和学生乙坐在和时，才满足正对面的情况，则符合情况的有：
老师，学生乙；
老师，学生乙；
则陪餐老师和学生乙坐在正对面共种情况，
．
8. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则9合为（ ）
A. 粟B. 粟C. 粟D. 粟
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目给出的单位进率逐步换算得到9合对应的粟数，再写成科学记数法的形式即可．
【详解】解：9合勺勺抄抄撮撮圭圭粟粟，
粟．
9. 古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】水匀速滴出，单位时间内下降的水位深度不变，利用下降速度相等列方程即可．
【详解】解：由题意得，．
10. 如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据正六边形的性质可得为等边三角形，再结合切线的性质可得，从而得到，从而得到正六边形的边长，同理得到正六边形的边长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵六边形为正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∵正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，
∴，
∴，
∴，
∴正六边形的边长为，
同理正六边形的边长为322×2 ，
……，
正六边形的边长为324×2=98．
11. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用翻折的性质可得，推出，，设，中，由勾股定理求出，设，在中，由勾股定理求出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折的性质可知：，，，，
∴，
在中，，
∴，
设，在中有：，
∴，
设，在中，，
∴，
∴，
∴．
12. 如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、几何体展开图的认识以及勾股定理，通过设，根据勾股定理在中有BD=BC2+CD2=2xcm，在中，即可求出的值进行解答．
【详解】解：如图，正方形硬纸板的边长为，
设，
∴AB=AE=10−xcm ，
∵CD=BC=xcm，
∴BD=BC2+CD2=2xcm，
∴BE=42xcm，
在中，由勾股定理可得：，
∴10−x2+10−x2=42x2，
解得：或（负值舍去），
立方体的棱长BD=2x=22cm．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 计算= _________________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
本题主要考查了二次根式的混合运算，灵活利用平方差公式计算是解题的关键．
14. 如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____．
【答案】或1
【解析】
【分析】设“理想点”P表示的数为x，分两种情况当时和当时，根据“理想点”的定义列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案．
【详解】解：设“理想点”P表示的数为x，
当时，
，
，
；
当时，
，
，
；
综上，P表示的数为或1．
15. 一个正数的平方根分别是和，则__．
【答案】2．
【解析】
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得．
【详解】根据题意可得：x+1+x﹣5=0，
解得：x=2，
故答案为2．
本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
16. 如图，线段，点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，其中向点运动，向点运动，两点分别到达点、点时停止运动．以为一边的矩形面积始终为6．设点的运动时间为秒，之间的距离为，的长度为．在平面直角坐标系中，以为横坐标、为纵坐标，得到和随变化的图像．当时，设这两个函数的图像与直线所围成的封闭图形为（包括边界）．在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的个数为_____个．
【答案】6
【解析】
【分析】根据已知条件分别求出和的表达式，然后结合t的取值范围，找出封闭区域G中的格点，并判断这些格点是否在或的图像上．
【详解】解：∵点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，，点的运动时间为秒，
当时，，，则MN=AB−AM−BN=6−t−t=6−2t ，即；
当时，，，则, 即y1=2t−6 ；
因为矩形的面积始终为6，，根据矩形面积公式，
∴，即，
如图，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的点为，，，，，，共6个点．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算、解不等式组：
（1）2cs30°+3−2+−12026；
（2）3x>−62x−1≤x+2．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据的余弦值，绝对值的化简，以及正整数指数幂的运算求解即可；
（2）根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【小问1详解】
解：2cs30°+3−2+−12026
；
【小问2详解】
解：3x>−6①2x−1≤x+2②，
解不等式①得
解不等式②得，
则不等式组的解集为．
18. “洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等．
根据题意回答：
（1）表1三阶幻方中间的数字是_____；
（2）设表2三阶幻方中间的数字是，
①用含的代数式表示幻方中9个数的和；
②每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的_____倍；
③求第一行中间的代数式；
（3）类比于“幻方”，表3是一个每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等的“三阶积幻方”，根据表格信息求．
【答案】（1）1 （2）①幻方中9个数的和为 ②3③第一行中间代数式为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据每一行各个数之和都相等，求解即可；
（2）①求出第三列三个数的和，即可解决问题；
②由①可得结论；
③用这一行的和减去第一、三的式子，可得中间的代数式；
（3）根据每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等，列出方程，解方程，即可解决问题；
【小问1详解】
解：由题意可知，，
∴，
【小问2详解】
解：①幻方中9个数的和为3x+3+x−2+x−1=3×3x=9x ，
②由①知每一行、每一列、每一对角线三数之和等于中间数的3倍
③第一行中间代数式为：3x−x+3−x+1=3x−x−3−x−1=x−4
【小问3详解】
解：∵横、竖、斜三数之积均相等，
∴−16×−14n=12×4m=1×−1×8 ，
解得：，，
∴mn=−4−2=116；
19. 如图，在四边形中，，点为中点，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，．

（1）求证：；
（2）若为的四等分点，当时，求的值．
【答案】（1）证明：∵点为中点，
，
，
，
在和中，∠EDH=∠FBHDH=BH∠DHE=∠BHF，
∴△DEH≌△BFHASA，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用“”证明即可；
（2）根据四等分点先求出EGFG=13，再证明即可求出、之间的关系，问题随之得解．
【小问1详解】
解析略
【小问2详解】
解：，
．
、、为的四等分点，
，
∴EGFG=13，
．
，
，
∴AE=13BF=13DE ，
，
，
．
20. “赋能，改变生活”，行业的兴起为各行各业带来了前所未有的创新和变革．某科技公司为了了解甲款软件的使用效果，随机抽取10名软件工程师和名各行业普通使用者做评委，对甲款软件的使用效果进行评分（评分用表示，单位：分），并对他们的评分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息：
a．软件工程师评分：82 83 85 88 90 90 90 91 95 96
b．普通使用者的评分整理后分成5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制成如图12的频数分布直方图和扇形统计图．
c．评委评分平均数、中位数、众数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）_____，_____，_____；
（2）b的值位于____组，请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，E组所对应的扇形圆心角的度数为_____；
（4）为了让使用者对软件有更多的了解，该科技公司再次组织这10名软件工程师和名普通使用者考察乙款软件．已知软件工程师和普通使用者评委对乙款软件打分的平均数分别为87分，92分．若软件工程师打分（取平均数）占，普通使用者打分（平均数）占，确定甲、乙两款软件的最终得分，如果只比较两款软件的最终得分，请通过计算说明哪款软件更受欢迎？
【答案】（1）40，89，90
（2）C， （3）36
（4）甲款软件更受欢迎
【解析】
【分析】（1）由C组人数及其所占百分比可得总人数，根据平均数和众数的定义可得、的值；
（2）根据中位数的定义及频数分布直方图可得的值位于C组；由各组人数之和等于总人数求出E这组人数，从而补全图形；
（3）用乘以E组人数所占比例即可；
（4）根据加权平均数的定义求解即可．
【小问1详解】
解：，
软件工程师评分平均数，
软件工程师评分中，90出现的次数最多，
所以软件工程师评分众数；
【小问2详解】
解：名各行业普通使用者，则其中位数是第20、21位数的平均数，由频数分布直方图可知，b的值位于C组；
（人），
补全频数分布直方图如图所示；
【小问3详解】
解：E组对应的扇形圆心角的度数为；
【小问4详解】
解：甲款软件最终得分：（分），
乙款软件最终得分：（分），
，
∴甲款软件更受欢迎．
21. 某大型摩天轮如图1所示，摩天轮共设有28个轿厢（大小忽略不计），把摩天轮看作，摩天轮依靠等腰三角形钢架支撑固定于地面上，如图2所示，已知，，轿厢旋转至最低点距离地面高度为，摩天轮匀速旋转一圈用时．
（1）求支架固定点距离地面的高度；（，，，结果保留整数）
（2）某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径长为多少；（结果保留）
（3）要在摩天轮上安装一条彩灯（为线段，如图3），彩灯到劣弧的中点的距离为，求彩灯的长度．
【答案】（1）支架固定点距离地面的高度约为；
（2）该轿厢所经过的路径长度为112π3 m ；
（3）彩灯的长度为287m ．
【解析】
【分析】（1）延长交于点，解，可求出；
（2）先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可；
（3）连接交于点，连接，根据勾股定理和垂径定理的推论求解即可．
【小问1详解】
解：延长交于点，
在中，，，
sin∠OCD=OHOC，
∴OH79≈0.91 ，
解得OH≈72 ，
答：支架固定点距离地面的高度约为．
【小问2详解】
解：由题意得，
∴半径OA=72−16=56m ，
∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点出发，后到达点，
∴∠AOB=927×360°=120° ，
∴l=120π×56180=112π3m．
答：该轿厢所经过的路径长度为112π3 m ．
【小问3详解】
解：连接交于点，连接，
∵点为劣弧的中点，
∴，，
∵PG=14 ，OG=56 ，
∴OP=56−14=42m ，
在中，，
∴EP=562−422=147m，
∴EF=2EP=287m，
答：彩灯的长度为287m ．
22. 杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”．
设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：l0×50+m=l×200 ．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．）
（1）已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离；
①根据题意，求出关于的函数表达式；
②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离；
（2）在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量；
（3）若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围．
【答案】（1）①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为
（2）生锈秤砣的质量为
（3）00 ，
∴l0越大，越小，
当时，l0=809，
∴0