2026年河北省邢台市中考二模考试数学试题（含解析）（中考模拟）

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3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线可以向两端无限延伸，借助直尺或三角板将各直线向点A方向延长，观察哪条直线经过点A即可．
【详解】解：分别延长各直线，如图，
经过点A的直线是b．
2. 如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（ ）
A. 点AB. 点CC. 点DD. 点A或点C
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵B点表示的数为正数，
∴原点在B点的左边，
∴可以是原点的为点A．
3. 算式可以变形为，依据是（ ）
A. 乘法交换律B. 分配律C. 移项D. 乘法结合律
【答案】D
【解析】
【详解】解：原式变形为，
是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”，
符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律．
4. 图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（ ）.
A. 这个基本作图是作角的平分线
B. 弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧
C. 弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧
D. 弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查作一个角等于已知角的尺规作图．通过分析图1和图2的作图痕迹，可还原完整作图过程，并逐项验证选项．
【详解】解：图1的作图为：以点为圆心，任意长为半径画弧①，交角两边于点，
图2的作图为：画射线，以点为圆心，长为半径画弧②，交于点，以点为圆心，长为半径画弧③，与弧②相交于一点，连接与该交点，得所求角，
选项：这个基本作图是作角的平分线，不符合题意，本题是作一个角等于已知角，故选项错误；
选项：弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，符合题意，故选项正确；
选项：弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，不符合题意，弧②半径应为的长，而非任意长，故选项错误；
选项：弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧，不符合题意，弧③半径应为的长，而非的长，故选项错误．
5. 语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】先表示出与的差，可得. 再表示出差的倍，可得.
∵该式是非负数，即大于等于，
∴.
6. 已知，则运算符号“”是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的运算，掌握二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键．先化简，再将选项中的运算符号依次代入计算，判断等式是否成立，进而确定运算符号“”．
【详解】解：先化简，依次代入计算：
选项：；
选项：；
选项：；
选项：，符合等式要求，
运算符号“”是，
故选：．
7. 如图，在正方形网格图中，位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是（ ）

A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】A
【解析】
【分析】根据方位角的含义绘制点的南偏西方向和点西北方向，即可得到答案．
【详解】解：如图，绘制点的南偏西方向：从点的正南方，向西（左）偏转的方向，
绘制点西北方向：从点的正北方，向西（左）偏转，也就是正西和正北的角平分线方向，两直线交于点，
∴位于点南偏西的方向上，同时又在点西北方向上的点可能是点．
8. 已知是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（ ）
A. 随增大而增大B. 点在双曲线上
C. 双曲线关于直线对称D. 双曲线位于一、三象限
【答案】C
【解析】
【分析】先根据一元二次方程两根之和的规律求出的值，得到反比例函数的比例系数，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：∵ 一元二次方程 中，二次项系数为，一次项系数为，
∴ 两根之和 ，
∴ 双曲线解析式为 ，比例系数 ，
反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，
不是在全体定义域内随增大而增大，故A错误；
B. 将代入，得，所以点不在双曲线上，故B错误；
C. 反比例函数的图象关于直线对称，故C正确；
D. ∵ ，
∴ 双曲线位于第二、四象限，故D错误．
9. 已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形的图案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可以把图1逆时针旋转90°后向左、向右、向前、向后折叠得到正方体2，再把正前方的图形顺时针旋转90°即可得到解答．
【详解】解：把图1逆时针旋转90°后向左、向右、向前、向后折叠得到正方体2，此时P变为：

把上图顺时针旋转90°即得P图原图如下：

故选D．
本题考查旋转的应用，熟练掌握正方体的折叠方法及旋转的方法是解题关键．
10. 若实数，则实数的值可以是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简分式，再根据分式有意义的条件确定的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求．
【详解】解：化简分式：，
∵分式有意义时分母不能为，
∴，，即且，逐个判断选项，
选项：若，则，解得，满足条件，选项符合要求；
选项：若，则，解得，不满足分母不为的要求，选项错误；
选项：若，则，无实根，故不可能为，选项错误；
选项：若，则，解得，不满足分母不为的要求，选项错误．
11. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将所求代数式设为新未知数，结合完全平方公式展开整理，即可求出结果．
【详解】解：设，
则，，
∵，
∴，
展开得：，
整理得：，
解得，
即．
12. 如图，将平行四边形绕点D逆时针旋转得到四边形，使点A落在对角线上的点M处，点A、M、C、N在一条直线上，若，则B、Q两点间距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形和旋转的性质，证明，求出和的长，进而发现为等腰三角形；利用旋转角相等推导，通过构造直角三角形利用勾股定理求解的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形 ，
∴，，M为，中点，
∴，，，
如图，连接，
由旋转性质可知：，，
∴，，，，
∴，
∵点A，M，C，N在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由，得 ，
由，得，即（负值舍去），
∴，，，
∵ ，
∴是等腰三角形，
过点C作于H，
∴H为中点，
∴，
在中，，
∵旋转角，
∴ ，
过点Q作于点E ，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴BE=DB−DE=42−2=32，
在中，．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 某体育馆有3个完全相同的入口，分别通往田径训练场，球类训练场和健身训练场．一名运动员从任意一个入口进入的可能性都相等，则他恰好进入田径训练场的概率为____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意可知，所有等可能的入口结果共有种，恰好进入田径训练场的结果有种，
根据概率计算公式，可得，恰好进入田径训练场的概率为．
14. 如图是正边形的一部分及它的一个外角，根据图中所给出的信息，的值是____．
【答案】
8##八
【解析】
【分析】根据平角的定义列出关于α的方程，求出正边形的外角度数，再根据多边形的外角和等于即可求出n的值．
【详解】由图可知，α与互为补角，
∴， 解得，
∵多边形的外角和为，且该多边形为正n边形，
∴．
15. 如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，点是的中点，连接、，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】过作的平行线分别交于，设，再利用勾股定理得到，结合，利用勾股定理解出即可．
【详解】解：过作的平行线分别交于，设，
点是的中点，且，
为的中位线，
，，
又点是边的中点，
，
又，为矩形，
四边形为矩形，
，
，
又，
，即，
解得，即．
16. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先判断抛物线开口方向，明确二次函数y值与点到对称轴距离的关系，再结合题目对任意，都有的条件，推导得到p需满足的不等式，进而求出p的取值范围．
【详解】解：抛物线中，，
因此抛物线开口向下，开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应y值越小，
该抛物线的对称轴为直线，
根据题意，对任意，，都有，
因此任意满足条件的，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
即两边平方得，
展开整理得，移项因式分解得，
因为，所以，
可得，即对任意，恒成立，
由，，可得，
因此．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 一道习题及其错误的解答过程如下：
（1）请指出是在第几步开始出现错误的；
（2）选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
【答案】（1）
第一步开始出现错误 （2）
见解析
【解析】
【分析】（1）由绝对值的化简计算，整数指数幂以及零指数幂的运算化简可知第一步开始出现错误；
（2）按照正确的运算法则逐步计算得到正确结果即可．
【小问1详解】
解：原第一步中，绝对值化简错误，计算错误，零指数幂计算错误，
因此第一步开始出现错误；
【小问2详解】
解：正确解答过程如下：
．
18. 已知代数式：A=x2−3y+4 ．
（1）若，，请用含的代数式表示；
（2）若，试判断是否恒成立，并说明理由．
【答案】（1）

（2）
恒成立
【解析】
【分析】（1）将已知的和代入代数式，化简整理即可得到结果；
（2）将代入，配方后利用平方数的非负性得到的取值范围，即可判断结论．
【小问1详解】
解：已知，，，
代入得：；
【小问2详解】
解：将代入得：，
配方得：
，
∵任意实数的平方都大于等于0，即，
∴，
又∵，
∴恒成立．
19. 在某社区文明素养测评活动中，工作人员对居民日常文明表现进行打分，打分统一为1分、2分、3分、4分、5分中的一种．若样本得分的平均数或中位数低于3.5分，则需要在下一阶段对该社区开展文明宣传专项活动．现随机抽取20名居民的测评分数，绘制成了如图所示的条形统计图．
（1）求这20名居民测评分数的平均数与中位数，并判断下一步是否需要对该社区开展文明宣传专项活动；
（2）工作人员从余下的测评分数中随机再抽取了一个，发现这21名居民测评分数的平均数大于3.5分，求抽取的这名居民的测评分数；与（1）相比，中位数是否发生变化？
【答案】（1）平均数是分，中位数是4分，需要对该社区开展文明宣传专项活动
（2）5分，中位数没有变化
【解析】
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义结合统计图即可求解，再进一步判断即可；
（2）设抽取的这名居民的测评分数是x分，根据题意得到关于x的不等式，求出x的范围再结合题意可得x的具体数值，再判断新数据的中位数即可得到结论．
【小问1详解】
解：根据统计图可得这20名居民测评分数的平均数分，
这20名居民测评分数的中位数分，
∵样本得分的平均数，
∴下一步需要对该社区开展文明宣传专项活动；
【小问2详解】
解：设抽取的这名居民的测评分数是x分，根据题意可得：
，
解得：，
∵打分统一为1分、2分、3分、4分、5分中的一种，
∴，
即抽取的这名居民的测评分数是5分；
此时这21个数据的中位数是4分，与（1）相比，中位数没有发生变化.
20. 如图，在菱形中，点、分别是边、上的点，，连接和，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据“”证明即可；
（2）设，再证，利用相似比求解边长即可．
【小问1详解】
证明：在菱形中，，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
设，则，
又，
，
，即，
整理得：，
解得或（舍去），
．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）点是直线上一点，若∠ABO=∠BAQ ，求点坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）分在直线右侧和在直线左侧两种情况进行求解．
【小问1详解】
解：设直线的函数表达式，
，解得，
则直线的函数表达式；
【小问2详解】
解：当在直线右侧时，
，
，又，
所以点的横坐标为，
时，，
此时；
当在直线左侧时，设直线与轴交于点，
，
，设，
又，，
，则，
在中，，
即，解得，则，
设直线的解析式为，
，解得，
则直线的解析式为，
，解得，
则；
综上，或．
22. 在图1，图2中，四边形是正方形，，以为直径向上作半圆，点是半圆上一点．
（1）如图1，连接，，
①若是半圆的切线，则_____；
②求的最小值；
（2）如图2，连接并延长交边于点，若CP=233，求阴影部分的面积．
【答案】（1）①
②
（2）
【解析】
【分析】（1）①连接、，可证，根据全等三角形对应边相等可知；
②连接交于点，当点、、三点共线时最小，根据勾股定理求出，根据圆的性质可知，所以的最小值是；
（2）连接，过点作，根据勾股定理求出的长度，利用，可以求出，根据圆周角定理可知，利用的正弦求出，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【小问1详解】
①解：如下图所示，连接、，
四边形是正方形，，
，，
是半圆的切线，
，
在和中，，
，
；
②解：如下图所示，连接交于点，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
的最小值为；
【小问2详解】
解：如下图所示，连接，过点作，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
23. 综合与实践
【问题背景】某科研小组通过观察粒子发射实验，发现粒子发射后仅受重力和空气阻力的影响，它的运动轨迹呈抛物线形状，现对相关问题进行研究．
【数据收集】如图1，以粒子发射器的发射口处为原点建立平面直角坐标系，粒子运动到与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为．运动的粒子会落在与点水平距离为的挡板上处（挡板的厚度忽略不计）；若研究者将粒子发射器的发射口从点水平向右平移到处，粒子运动轨迹不变，此时的粒子仍可以达到处（不是抛物线的最高点）．
【问题解决】
（1）求发射口平移前粒子运动轨迹的解析式；
（2）求的值；
【拓展应用】
（3）如图2，保持挡板的位置不变，在挡板上设置长为红色带（点在点的上方），将粒子发射器的发射口沿轴竖直向上平移到点，若粒子发射器发射的粒子束的上沿抛物线的关系式为（为点的高度），粒子束的下沿抛物线的关系式为，请问还需将粒子发射器再向左或右平移多少，才能使发射的粒子束正好将红色带覆盖．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，可设，再代入点即可求解；
（2）先得到点坐标，设抛物线向右移动后的表达式为：，再代入点点坐标求解；
（3）先得到两者的差值可知需要向右移动，设顶点向右平移厘米，平移后的抛物线表达式为：，再通过纵坐标之差列式求解即可．
【小问1详解】
解：设粒子运动轨迹抛物线的表达式为：，
代入点：，，解得：，
因此，抛物线表达式为：；
【小问2详解】
解：当时，代入抛物线表达式：，
点的坐标为，
抛物线向右移动后的表达式为：，
代入点：，，，
解得：，（舍去），
因此，移动距离的值为；
【小问3详解】
当时，两条抛物线的纵坐标分别为：，
，
两者的差值：，
说明需要向右移动，
设顶点向右平移厘米，平移后的抛物线表达式为：，
，
当时：，，
，
解得：，（舍去），
因此，粒子发射器需向右移动．
24. 如图，在中，，，，点在边上，过点作交射线于点，作点关于的对称点．
（1）求点到直线的距离；
（2）若，则_____；
（3）连接交边于点，连接．若是锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）6 （2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数和勾股定理解即可；
（2）证明，根据对应边长成比例得，分两种情况：点N在线段上，N在线段的延长线上，代入数值计算即可；
（3）过点M作于点H，设，通过解直角三角形，得出，，进而用含x的式子表示出，分别计算出和时的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：中，，，，
，
，
即点到直线的距离为6；
【小问2详解】
解：，，
，
又，
，
，即，
时，分两种情况：
当点N在线段上时，，
，
解得；
当点N在线段的延长线上时，，
，
解得，
综上可知，或；
【小问3详解】
解：过点M作于点H，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，如图：
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
即45x= 16−4120x ，
解得x=32057，
当BM>32057时，是锐角三角形；
当时，如图：
则，
又，
是等腰直角三角形，
，
∠QMH=45° ，
是等腰直角三角形，
，
即35x= 16−4120x ，
解得x=32053，
当时，是锐角三角形；
综上可得，当时，是锐角三角形．
第一步
第二步
第三步
第四步