2026届高三数学二轮复习专题突破课件：专题六函数、导数与不等式 高分提能专项培优九　抽象函数热考题型探究

这是一份2026届高三数学二轮复习专题突破课件：专题六函数、导数与不等式 高分提能专项培优九　抽象函数热考题型探究，共34页。PPT课件主要包含了x+a等内容，欢迎下载使用。
　　抽象函数可以全面考查函数的概念和性质,突出考查逻辑推理和数学抽象的核心素养,备受高考命题人的关注,解决此类问题的一般方法为赋值法和构造函数法.
类型1　　抽象函数的求值[例1](2025·江苏模拟)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R.若f(x+1)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)−g(x−2)=2−x,则f(g(−1))=(　　)A.−1　　　B.0　　　C.1　　　D.2【解析】选D.因为f(x+1)是奇函数,则f(−x+1)=−f(x+1),令x=0,可得f(1)=−f(1),可得f(1)=0,在f(x)−g(x−2)=2−x中令x=1得f(1)−g(−1)=1,所以g(−1)=−1,在f(x)−g(x−2)=2−x中令x=3得f(3)−g(1)=−1,所以f(3)=g(1)−1=g(−1)−1=−2,所以f(g(−1))=f(−1)=f(−2+1)=−f(2+1)=−f(3)=2.
对|点|自|测(2025·重庆模拟)设定义域为R的函数f(x)满足:∀x,y∈R都有f(x+f(y))=f(f(x))+y且f(0)=a(a为常数),则函数f(x)=_______. 
【解析】由f(x+f(y))=f(f(x))+y①,在①中,令x=0可得f(f(y))=f(f(0))+y②,在②中,令y=f(m),则f(f(f(m)))=f(f(0))+f(m)③,由②可得,f(f(f(m)))=f(f(f(0))+m)④,由①可得,f(f(f(0))+m)=f(f(m))+f(0)⑤,由②可得,f(f(m))+f(0)=f(f(0))+m+f(0)⑥,则由③④⑤⑥可得,f(f(0))+f(m)=f(f(0))+m+f(0),即f(m)=m+f(0),因为f(0)=a,则f(x)=x+a.
类型3　抽象函数单调性、奇偶性、对称性和周期性的判断[例3](多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(　　)A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点
【解析】选ABC.因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y),对于A,令x=y=0,f(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确.对于B,令x=y=1,f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,故B正确.对于C,令x=y=−1,f(1)=f(−1)+f(−1)=2f(−1),则f(−1)=0,令y=−1,f(−x)=f(x)+x2f(−1)=f(x),又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数,故C正确.对于D,方法一:不妨令f(x)=0,显然符合题设条件,此时f(x)无极值,故D错误.
【加练备选】(多选题)(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)≠0,若f(xy)=yf(x),则(　　)A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)是增函数D.f(x)+f(2x)=f(3x)
【解析】选ABD.对于B:令y=−1,由题设可知f(−x)=−f(x),故f(x)是奇函数,故B正确;对于A:又f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,故A正确.对于C:不妨取f(x)=−x,则满足f(xy)=yf(x),且f(1)≠0,故C错误.对于D:令y=2,则f(2x)=2f(x);令y=3,则f(3x)=3f(x),故f(x)+f(2x)=f(x)+2f(x)=3f(x)=f(3x),故D正确.
【解析】选AC.对于A,因为y=f(x+1)是R上的奇函数,其图象关于原点对称,又y=f(x+1)可看成是函数y=f(x)向左平移1个单位长度得到,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故A正确;对于B,由y=f(x+1)是R上的奇函数,可得f(−x+1)=−f(x+1),即f(−x)=−f(x+2),又f(−x)=f(x),则f(x+2)=−f(x),所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为4的函数,故B错误;
【加练备选】(多选题)(2025·江西模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)+f(x−2)=f(x−1),且f(17)>f(25),f(18)>f(16),则下列结论一定正确的是(　　)A.f(x)=f(x+6)B.f(2)+f(4)=0C.f(20)30
【解析】选AC.因为f(x)=f(x−1)−f(x−2),所以f(x+1)=f(x)−f(x−1),所以f(x+1)=−f(x−2),即f(x+4)=−f(x+1),所以f(x+4)=f(x−2),则f(x+6)=f(x),故A正确;设f(1)=a,f(2)=b,则f(3)=b−a,f(4)=−a,f(5)=−b,f(6)=−b+a,所以f(17)=f(5)=−b,f(25)=f(1)=a,f(18)=f(6)=−b+a,f(16)=f(4)=−a,由f(17)>f(25),得−b>a,即a+bf(16),则−b+a>−a,即2a−b>0,
【解析】选ABD.由f'(x)是偶函数,得−f'(−x)+f'(x)=0,即[f(−x)+f(x)]'=0,则f(−x)+f(x)=C(C为常数),由于f(0)=0,取x=0,得C=0,于是f(−x)=−f(x),对于A,由函数g(x)是R上的偶函数,得g(x)=g(−x),由f(x)−g(1−x)=2,得f(−x)−g(1+x)=2,即−f(x)−g(1+x)=2,于是g(1−x)+g(1+x)=−4,函数g(x)的图象关于点(1,−2)对称,A正确;对于B,由f(x)−g(1−x)=2,得f(x+1)−g(−x)=2,即f(x+1)−g(x)=2,由−f(x)−g(1+x)=2,得−f(x−1)−g(x)=2,于是f(x+1)=−f(x−1),即f(x+2)=−f(x),因此f(x+4)=−f(x+2)=f(x),函数f(x)是周期为4的周期函数,B正确;