【全国百强校首发】河南师范大附属中学2026届中考数学模拟预测题含解析

这是一份【全国百强校首发】河南师范大附属中学2026届中考数学模拟预测题含解析，共18页。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD=60°，∠BCA=30°，AC=15 m，那么河AB宽为（ ）
A．15 mB． mC． mD． m
2．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60°B．75°C．87°D．120°
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A．100°B．110°C．115°D．120°
4．在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：
由此所得的以下推断不正确的是（ ）
A．这组样本数据的平均数超过130
B．这组样本数据的中位数是147
C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差
D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好
5．方程x2﹣3x+2＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝2
6．吉林市面积约为27100平方公里，将27100这个数用科学记数法表示为（ ）
A．27.1×102 B．2.71×103 C．2.71×104 D．0.271×105
7．如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C． D．
8．1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
9．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为
A．12米B．4米C．5米D．6米
10．某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“古诗词”大赛，各参赛选手成绩的数据分析如表所示，则以下判断错误的是（ ）
A．八（2）班的总分高于八（1）班
B．八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C．两个班的最高分在八（2）班
D．八（2）班的成绩集中在中上游
11．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4B．（a+b）2=a2+b2C．a6÷a2=a3D．（﹣2a3）2=4a6
12．一副直角三角板如图放置，其中，，，点F在CB的延长线上若，则等于（ ）
A．35°B．25°C．30°D．15°
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．太极揉推器是一种常见的健身器材．基本结构包括支架和转盘，数学兴趣小组的同学对某太极揉推器的部分数据进行了测量：如图，立柱AB的长为125cm，支架CD、CE的长分别为60cm、40cm，支点C到立柱顶点B的距离为25cm．支架CD，CE与立柱AB的夹角∠BCD=∠BCE=45°，转盘的直径FG=MN=60cm，D，E分别是FG，MN的中点，且CD⊥FG，CE⊥MN，则两个转盘的最低点F，N距离地面的高度差为_____cm．（结果保留根号）
14．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．下列结论①BE平分∠ABC；②AE=BE=BC；③△BEC周长等于AC+BC；④E点是AC的中点．其中正确的结论有_____（填序号）
15．函数y＝中自变量x的取值范围是________，若x＝4，则函数值y＝________．
16．农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
下面有三个推断：
①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98；
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是__________（只填序号）．
17．已知n＞1，M＝，N＝，P＝，则M、N、P的大小关系为 ．
18．如图，正方形内的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与双曲线的一个交点为B（－1，4）.求直线与双曲线的表达式；过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标.
20．（6分）我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y1（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y2（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）分别探求该产品在国外市场上市20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．
21．（6分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．
(1)试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；并计算两辆汽车都不直行的概率．
(2)求至少有一辆汽车向左转的概率．
22．（8分） “校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次调查的家长人数，并补全图1；
（2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）已知某地区共6500名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长？
23．（8分）张老师在黑板上布置了一道题：计算：2(x+1)2﹣(4x﹣5)，求当x＝和x＝﹣时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由．
24．（10分）如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距100km的点B处，再航行至位于点A的南偏东75°且与点B相距200km的点C处．
（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；
（2）确定点C相对于点A的方向．
（参考数据：）
25．（10分）如图，正方形ABCD中，BD为对角线．
（1）尺规作图：作CD边的垂直平分线EF，交CD于点E，交BD于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB=4，求△DEF的周长．
26．（12分）小明和小亮为下周日计划了三项活动，分别是看电影（记为A）、去郊游（记为B）、去图书馆（记为C）．他们各自在这三项活动中任选一个，每项活动被选中的可能性相同．
（1）小明选择去郊游的概率为多少；
（2）请用树状图或列表法求小明和小亮的选择结果相同的概率．
27．（12分）已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，
（1）如图1，求证：PQ＝PE；
（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3，求∠C的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6，连接QC交BC于点M，求QM的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解析】
过C作CE⊥AB，
Rt△ACE中，
∵∠CAD=60°，AC=15m，
∴∠ACE=30°，AE=AC=×15=7.5m，CE=AC•cs30°=15×=，
∵∠BAC=30°，∠ACE=30°，
∴∠BCE=60°，
∴BE=CE•tan60°=×=22.5m，
∴AB=BE﹣AE=22.5﹣7.5=15m，
故选A．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，解直角三角形求出答案．
2、C
【解析】
【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.
【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫
故选C
【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.
3、B
【解析】
连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.
【详解】
如下图，连接AD，BD，
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-20°=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故选B
【点睛】
本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.
4、C
【解析】
分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可求解．
详解：平均数=（129+136+140+145+146+148+154+158+165+175）÷10=149.6(min),故这组样本数据的平均数超过130，A正确，C错误；因为表中是按从小到大的顺序排列的，一共10名选手，中位数为第五位和第六位的平均数，故中位数是（146+148）÷2=147(min),故B正确，D正确.故选C.
点睛：本题考查的是平均数和中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
5、A
【解析】
将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【详解】
解：原方程可化为：（x﹣1）（x﹣1）＝0,
∴x1＝1，x1＝1．
故选：A．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
6、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
将27100用科学记数法表示为：. 2.71×104.
故选：C.
【点睛】
本题考查科学记数法—表示较大的数。
7、B
【解析】
根据俯视图是从上往下看的图形解答即可.
【详解】
从上往下看到的图形是：
.
故选B.
【点睛】
本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
8、D
【解析】
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】
A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意．
故选D.
【点睛】
本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9、A
【解析】
试题分析：在Rt△ABC中，BC=6米，，∴AC=BC×=6（米）.
∴（米）.故选A.
【详解】
请在此输入详解！
10、C
【解析】
直接利用表格中数据，结合方差的定义以及算术平均数、中位数、众数得出答案．
【详解】
A选项：八（2）班的平均分高于八（1）班且人数相同，所以八（2）班的总分高于八（1）班，正确；
B选项：八（2）班的方差比八（1）班小，所以八（2）班的成绩比八（1）班稳定，正确；
C选项：两个班的最高分无法判断出现在哪个班，错误；
D选项：八（2）班的中位数高于八（1）班，所以八（2）班的成绩集中在中上游，正确；
故选C．
【点睛】
考查了方差的定义以及算术平均数、中位数、众数，利用表格获取正确的信息是解题关键．
11、D
【解析】
根据完全平方公式、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，即可解答．
【详解】
A、a2+a2=2a2，故错误；
B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故错误；
C、a6÷a2=a4，故错误；
D、（-2a3）2=4a6，正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方以及合并同类项，解决本题的关键是熟记公式和法则．
12、D
【解析】
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，
∵DE∥CB，
∴∠BDE=∠ABC=45°，
∴∠BDF=45°-30°=15°．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、10
【解析】
作FP⊥地面于P，CJ⊥PF于J，FQ∥PA交CD于Q，QH⊥CJ于H．NT⊥地面于T．解直角三角形求出FP、NT即可解决问题．
【详解】
解：作FP⊥地面于P，CJ⊥PF于J，FQ∥PA交CD于Q，QH⊥CJ于H．NT⊥地面于T．
由题意△QDF，△QCH都是等腰直角三角形，四边形FQHJ是矩形，
∴DF＝DQ＝30cm，CQ＝CD−DQ＝60−30＝30cm，
∴FJ＝QH＝15cm，
∵AC＝AB−BC＝125−25＝100cm，
∴PF＝（15＋100）cm，
同法可求：NT＝（100＋5），
∴两个转盘的最低点F，N距离地面的高度差为＝（15＋100）-（100＋5）=10
故答案为: 10
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
14、①②③
【解析】
试题分析：根据三角形内角和定理求出∠ABC、∠C的度数，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的判定定理和三角形的周长公式计算即可．
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=36°，
∴∠EBC=36°，
∴∠EBA=∠EBC，
∴BE平分∠ABC，①正确；
∠BEC=∠EBA+∠A=72°，
∴∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC，②正确；
△BEC周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=AC+BC，③正确；
∵BE＞EC，AE=BE，
∴AE＞EC，
∴点E不是AC的中点，④错误，
故答案为①②③．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
15、x≥3 y＝1
【解析】
根据二次根式有意义的条件求解即可．即被开方数是非负数，结果是x≥3，y＝1.
16、②③
【解析】分析：
根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.
详解：
（1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理；
（2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的；
（3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以③中的说法是合理的.
故答案为：②③.
点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键.
17、M＞P＞N
【解析】
∵n＞1，
∴n-1>0,n>n-1,
∴M>1,0b; 如果a-b=0,那么a=b; 如果a-bc,那么a>b>c.
18、．
【解析】
试题分析：此题是求阴影部分的面积占正方形面积的几分之几，即为所求概率．阴影部分的面积为：3×1÷2×4=6，因为正方形对角线形成4个等腰直角三角形，所以边长是=，∴这个点取在阴影部分的概率为：6÷=6÷18=．
考点：求随机事件的概率．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）直线的表达式为，双曲线的表达方式为；（2）点P的坐标为或
【解析】
分析：（1）将点B（-1，4）代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可；
（2）根据直线解析式求得点A坐标，由S△ACP＝AC•|yP|＝4求得点P的纵坐标，继而可得答案．
详解：（1）∵直线与双曲线 （）都经过点B（－1，4），
，
，
∴直线的表达式为，双曲线的表达方式为.
（2）由题意，得点C的坐标为C（－1，0），直线与x轴交于点A（3，0），
，
∵，
，
点P在双曲线上，
∴点P的坐标为或.
点睛：本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．
20、（1）y1=﹣t（t﹣30）（0≤t≤30）；（2）∴y2=；（3）上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．
【解析】
(1)根据题意得出y1与t之间是二次函数关系，然后利用待定系数法求出函数解析式；
(2)利用待定系数法分别求出两个函数解析式，从而得出答案；
(3)分0≤t＜20、t=20和20≤t≤30三种情况根据y=y1+y2求出函数解析式，然后根据二次函数的性质得出最值，从而得出整体的最值．
【详解】
解：(1)由图表数据观察可知y1与t之间是二次函数关系，
设y1=a（t﹣0）（t﹣30）
再代入t=5，y1=25可得a=﹣
∴y1=﹣t（t﹣30）（0≤t≤30）
(2)由函数图象可知y2与t之间是分段的一次函数由图象可知：
0≤t＜20时，y2=2t，当20≤t≤30时，y2=﹣4t+120，
∴y2=，
(3)当0≤t＜20时，y=y1+y2=﹣t（t﹣30）+2t=80﹣（t﹣20）2 ，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以最大值小于当t=20时的值80，
当20≤t≤30时，y=y1+y2=﹣t（t﹣30）﹣4t+120=125﹣（t﹣5）2 ，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴右侧，y随t的增大而减小，所以最大值为当t=20时的值80，
故上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．
21、 (1)；(2)．
【解析】
（1）可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，从中找到两辆汽车都不直行的结果数，根据概率公式计算可得；
（2）根据树状图得出至少有一辆汽车向左转的结果数，根据概率公式可得答案．
【详解】
(1)画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：
∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中两辆汽车都不直行的有4种结果，
所以两辆汽车都不直行的概率为；
(2)由(1)中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等
∴P（至少有一辆汽车向左转）=．
【点睛】
此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．
22、（1）答案见解析（2）36°（3）4550名
【解析】
试题分析：（1）根据认为无所谓的家长是80人，占20%，据此即可求得总人数；
（2）利用360乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数6500乘以对应的比例即可求解．
（1）这次调查的家长人数为80÷20%=400人，反对人数是：400-40-80=280人，
；
（2）360×=36°；
（3）反对中学生带手机的大约有6500×=4550（名）．
考点：1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图．
23、小亮说的对,理由见解析
【解析】
先根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项，最后代入计算即可求解.
【详解】
2（x+1）2﹣（4x﹣5）
=2x2+4x+2﹣4x+5，
=2x2+7，
当x=时，原式=+7=7；
当x=﹣时，原式=+7=7．
故小亮说的对．
【点睛】
本题考查完全平方公式和去括号，解题的关键是明确完全平方公式和去括号的计算方法.
24、（1）173；（2）点C位于点A的南偏东75°方向．
【解析】
试题分析：（1）作辅助线，过点A作AD⊥BC于点D，构造直角三角形，解直角三角形即可.
（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点C相对于点A的方向．
试题解析：解：（1）如答图，过点A作AD⊥BC于点D．
由图得，∠ABC=75°﹣10°=60°．
在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，
∴BD=50，AD=50．
∴CD=BC﹣BD=200﹣50=1．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC=（km）．
答：点C与点A的距离约为173km．
（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=2002=40000，
∴AB2+AC2=BC2. ∴∠BAC=90°.
∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．
答：点C位于点A的南偏东75°方向．
考点：1.解直角三角形的应用（方向角问题）；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 勾股定理和逆定理．
25、（1）见解析；（2）2+1．
【解析】
分析：(1)、根据中垂线的做法作出图形，得出答案；(2)、根据中垂线和正方形的性质得出DF、DE和EF的长度，从而得出答案．
详解：（1）如图，EF为所作；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC=15°，CD=BC=1，又∵EF垂直平分CD，
∴∠DEF=90°，∠EDF=∠EFD=15°， DE=EF=CD=2，∴DF=DE=2，
∴△DEF的周长=DF+DE+EF=2+1．
点睛：本题主要考查的是中垂线的性质，属于基础题型．理解中垂线的性质是解题的关键．
26、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果与小明和小亮选择结果相同的情况，再利用概率公式即可求得答案
【详解】
（1）∵小明分别是从看电影（记为A）、去郊游（记为B）、去图书馆（记为C）的一个景点去游玩，
∴小明选择去郊游的概率=；
（2）列表得：
由列表可知两人选择的方案共有9种等可能的结果，其中选择同种方案有3种，
所以小明和小亮的选择结果相同的概率==．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27、（1）证明见解析（2）30°(3) QM=
【解析】
试题分析：
（1）连接OP，PB，由已知易证∠OBP=∠OPB=∠QBP，从而可得BP平分∠OBQ，结合BQ⊥CP于点Q，PE⊥AB于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE；
（2）如下图2，连接OP，则由已知易得∠CPO=∠PEC=90°，由此可得∠C=∠OPE，设EF=x，则由∠GAB=30°，∠AEF=90°可得AE=，在Rt△BEF中，由tan∠BFE=可得BE=，从而可得AB=，则OP=OA=，结合AE=可得OE=，这样即可得到sin∠OPE=，由此可得∠OPE=30°，则∠C=30°；
（3）如下图3，连接BG，过点O作OK⊥HB于点K，结合BQ⊥CP，∠OPQ=90°，可得四边形POKQ为矩形．由此可得QK=PO，OK∥CQ从而可得∠KOB=∠C=30°；由已知易证PE=，在Rt△EPO中结合（2）可解得PO=6，由此可得OB=QK=6；在Rt△KOB中可解得KB=3，由此可得QB=9；在△ABG中由已知条件可得BG=6，∠ABG=60°；过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，由∠ABG=∠CBQ=60°，可得∠GBN=60°，从而可得解得GN=，BN=3，由此可得QN=12，则在Rt△BGN中可解得QG=，由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分线，由此可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的长了.
试题解析：
（1）如下图1，连接OP，PB，∵CP切⊙O于P，
∴OP⊥CP于点P，
又∵BQ⊥CP于点Q，
∴OP∥BQ，
∴∠OPB=∠QBP，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∴∠QBP=∠OBP，
又∵PE⊥AB于点E，
∴PQ=PE；
（2）如下图2，连接，∵CP切⊙O于P，
∴
∴
∵PD⊥AB
∴
∴
∴
在Rt中,∠GAB=30°
∴设EF=x，则
在Rt中,tan∠BFE=3
∴
∴
∴
∴
∴在RtPEO中,
∴30°；
(3)如下图3，连接BG，过点O作于K，又BQ⊥CP，
∴，
∴四边形POKQ为矩形，
∴QK=PO,OK//CQ，
∴30°，
∵⊙O 中PD⊥AB于E ，PD=6 ，AB为⊙O的直径，
∴PE= PD= 3，
根据(2)得，在RtEPO中，，
∴，
∴OB=QK=PO=6，
∴在Rt中， ，
∴，
∴QB=9，
在△ABG中，AB为⊙O的直径，
∴AGB=90°，
∵BAG=30°，
∴BG=6，ABG=60°，
过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，则∠N=90°，∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°，
∴BN=BQ·cs∠GBQ=3，GN=BQ·sin∠GBQ=，
∴QN=QB+BN=12，
∴在Rt△QGN中，QG=，
∵∠ABG=∠CBQ=60°，
∴BM是△BQG的角平分线，
∴QM：GM=QB：GB=9：6，
∴QM=.
点睛：解本题第3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ、BG的长及∠CBQ=∠ABG=60°；（2）再过点G作GN⊥QB并交QB的延长线于点N，解出BN和GN的长，这样即可在Rt△QGN中求得QG的长，最后在△BQG中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得QM的长了.
选手
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
时间(min)
129
136
140
145
146
148
154
158
165
175
班级
平均数
中位数
众数
方差
八（1）班
94
93
94
12
八（2）班
95
95.5
93
8.4
种子数量
100
200
500
1000
2000
A
出芽种子数
96
165
491
984
1965
发芽率
0.96
0.83
0.98
0.98
0.98
B
出芽种子数
96
192
486
977
1946
发芽率
0.96
0.96
0.97
0.98
0.97

A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）