陕西省延安市校联考2026届高三下学期模拟预测（三）数学试题（Word版附解析）

这是一份陕西省延安市校联考2026届高三下学期模拟预测（三）数学试题（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
2．已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（ ）
A．圆心为，半径为1的圆
B．圆心为，半径为1的圆
C．过点的直线
D．过点的直线
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（ ）
A．B．9C．15D．20
5．平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
7．“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（ ）
A．0B．6C．8D．10
8．已知正实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的取值范围为
10．在中，，，，则（ ）
A．平分B．面积的最大值为3
C．A的最大值为D．
11．如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，点为线段上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．平面
D．点到直线的距离为
三、填空题
12．一组数据19、5、4、13、a、b、1、2、16、3的第60%分位数为9（其中），则最小值为____.
13．在古镇旅游时，某同学观察到一扇破损木门的外轮廓可近似拟合为抛物线，工匠采用等腰三角形结构对破损部位进行木板加固处理．已知等腰三角形的顶点位于木门的中轴线上，腰为，底为3m，且其底边恰好经过抛物线的焦点．若木门水平方向最大宽度为3.4m，则木门的高为__________m．
14．若直线与曲线相切，则实数的值为___________.
四、解答题
15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，焦距为2，过的直线与交于两点，为线段的中点，过的直线与交于两点．
(1)求C的方程；
(2)设分别为直线的斜率，已知．
（ⅰ）证明：为线段的中点；
（ⅱ）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
16．设，其中是正整数，记的展开式中的系数为，的系数为 .
(1)求数列的通项公式:
(2)证明: ；
(3)是否存在等比数列和正数，使得对任意正整数 成立？若存在，求出通项和正数；若不存在，说明理由.
17．如图，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成的，其中，，．现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥，如图（2）所示．
(1)求证：．
(2)如图（2），若二面角的大小为，点为的重心，点在线段上，且．
（i）求证：平面；
（ii）求平面与平面夹角的正弦值．
18．中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)证明：
(2)求的内切圆半径r的取值范围；
(3)若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值.
19．已知函数（为常数，e为自然对数的底数），曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)证明：当时，；
(3)证明：当时，．
参考答案
1．B
【详解】由集合,,则
2．A
【详解】设，，，则，，
因为，即，
则
由实部与虚部对应相等得，
可得，解得，可得，
由可得，
即点到点的距离为1，
所以构成的轨迹为圆心为，半径为1的圆.
3．A
【详解】当时，；
当时，可得，
解得.
所以“”是“”的充分不必要条件.
4．C
【详解】因，则，
则，于是，
，和的面积分别为1，，，
，，，
，
当且仅当时，即，等号成立，
的最小值是.
5．B
【详解】由题意可知，，易知，所以.
又，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，故.
6．C
【详解】设圆锥的母线为l，则由题意知，所以，
所以圆锥的高，
所以圆锥的体积与圆柱的体积比为.
7．D
【详解】由于，
设，即表示阴影区域(含边界)上的点P和点之间的距离，
则；
当P在半圆上时，的最小值为；
当P在x轴下方的阴影区域（包含边界）时，
的最小值为和或之间的距离，为，
而，即的最小值为；
当P在第二象限的阴影区域（包含边界）时，圆弧所在圆的方程为，
的最大值为；
故的最小值为，最大值为
结合可知的值不可能是10.
8．A
【详解】由于，所以，
设，则，所以在上单调递增，
那么，所以，，
，设，，
所以，在上单调递减，，
即,
由于，那么,
，
综上，.
9．BC
【详解】对A，画出函数的图象，如图所示，因为函数有4个零点，即有4个解，
也即直线与图象有4个交点，所以，所以A错误；
对B，因为有4个零点，，，，且，
所以零点位置如图所示，因为，结合图象可知，两零点关于直线对称，所以，B正确；
对C，时，或，
解得或，
对，令，则，则由图可知，
所以，
因为函数在单调递增，所以，故C正确：
对D，，是方程的两个解，且，所以，，所以，，
令，所以，，
令，，根据对勾函数的性质，该函数在上单调递增，
所以，所以的取值范围为，所以D错误.
10．ABC
【详解】已知，
由正弦定理可知，又，；
，
，
又，
平分角，故A正确；
，
由余弦定理得，
，
令，则，
当且仅当即时取等号，
面积最大值为3，故B正确；
由余弦定理得，
，
当且仅当，即时等号成立，
由于余弦函数在上单调递减，故，即，故C正确；
以为坐标原点，建立下图所示坐标系，
则，设，
，
，
，即，
，
，故D错误．
11．ABD
【详解】以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
由已知，平面，所以平面，所以上任意一点到平面的距离等于点到平面的距离，
由已知三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确；
由已知分别是棱的中点，所以，，，，
所以，，所以，所以，所以B正确；
点，所以，，设平面的法向量为，所以，得，
所以平面的一个法向量为，点，所以，
所以，即与平面的法向量不垂直，所以与平面不平行，C错误；
过点作，，，所以，
所以，所以，所以D正确.
12．
【详解】对10个数先排序：1、2、3、4、5、a、b、13、16、19，
，则，由，
则，当且仅当时，等号成立.
13．
【详解】如图，设抛物线方程为，
取线段中点，过作准线，
垂足为，则轴，设，
则，而，则，
得，所以，
依题意，则，所以四边形为平行四边形，
则，
又因为，
所以，
所以，
直线，代入，得，
所以，，
故，令，故木门的高为.
14．5
【详解】设直线与曲线相切于点，
由得，
所以，整理得，解得或（舍去），
所以，即切点为
所以将代入直线方程得，解得．
15．(1)
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）是，
【详解】（1）解：由题意得,
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）解：（ⅰ）证明：由，则直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，设中点，
联立，得，
则，，
，则，
即中点在直线上，
又是直线上，则，重合，
所以为线段的中点；
（ⅱ）由（ⅰ）知为中点，为线段的中点，又关于原点对称，
，
又，则，
，解得，
，
点到直线的距离，
故四边形的面积为定值．
16．(1)
(2)证明见解析
(3)，
【详解】（1）由题意可得；
（2）由题意可得，
设，，
因为，
所以得证；
（3）当时，，故，
由（2）可知，，
所以，
即
，
所以，.
17．(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）．
【详解】（1）
如图，
取的中点，连接，
因为为等腰三角形，点为的中点，所以，
因为四边形为菱形，
所以，所以，
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，
所以，进而，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，即.
（2）
（i）如图，
以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，二面角的大小为，所以，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
所以，
又平面，
所以平面.
（ⅱ）由（i），，
设平面CGF的法向量为，
则，令，则，，
所以，
所以，
所以平面CGF与平面PCD夹角的正弦值为．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由​，得​，​，结合已知，
由余弦定理得，化简得​，
所以
要证，即证，
因为，等价于，即，
又，即，解得，
所以，故成立，得证；
（2）三角形面积​，内切圆半径​，
代入化简得​，，
是开口向下的二次函数，对称轴​，最大值为​，且，
故的取值范围是；
（3）当​时，得​，​，三边长满足，
则为直角三角形，为直角，内切圆半径，
建立坐标系，如图所示
则，，，内心，
内切圆方程：，
设，则，即，
平方和，
展开化简得​，
由内切圆的范围​，当时最大，最大值为.
19．(1)，答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由，得，
又，所以，
所以，
由，得，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，
所以，即，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即.
（3）首先证明：当时，恒有，
证明如下：令，则，
由（2）知，当时，，则，所以，所以在上单调递增，
所以，所以．所以，即，
依次取，代入上式，
则，
以上各式相加，有，
所以，
所以，
即，