陕西省九师联盟2026届高三下学期模拟预测数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1．若复数，则（ ）
A．B．C．5D．
2．已知点，，，且，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆台的上、下底面半径分别为，，半径为2的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025~2030年的年平均增长率大约为（ ）
A．115%B．15%C．30%D．60%
7．在中，，，，D为边上一点，且平分，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，若，，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知圆与圆，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则两圆外离
B．若两圆相交，则
C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为
D．若，则直线为两圆的公切线
10．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，E，F，G分别是，，的中点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面平面D．平面平面
11．已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知随机变量，且，那么___________．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为___________．
14．若对恒成立，则___________．
四、解答题
15．指数是体重指数，当时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的数据进行统计，得到如下列联表：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否推断出男、女顾客的是否存在差异？
(2)该机构统计出上述男顾客平均体重为，女顾客的平均体重为，试估计该机构全体顾客的平均体重．
公式：，其中．
16．已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和．
17．如图，在正四棱柱中，，．
(1)求点到直线的距离；
(2)求二面角的正弦值．
18．已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围；
(3)设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值．
19．设函数，．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求a的取值范围；
(3)当时，若，满足，求证：．
数据
合计
正常范围
不正常范围
男顾客
75
15
90
女顾客
30
20
50
合计
105
35
140
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
参考答案
1．D
【详解】，所以
2．D
【详解】因为点，，，则，，
可得，所以点P的坐标为．
3．A
【详解】由题意得，，
所以或，
所以.
4．D
【详解】因为，，所以，
则，
所以，，
所以．
5．C
【详解】如图，设内切球的半径为，
设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，
设球与母线切于点，所以，所以，
所以与全等，所以，同理，
圆台的母线长，
又，所以，解得，
又，所以，
所以，，圆台的表面积为．
6．B
【详解】设2025~2030年的年平均增长率为，
由题意知，所以，
两边取对数得，
将代入，得，，
所以，所以平均增长率大约为15%．
故选：B.
7．A
【详解】因为，，，
由余弦定理得，
且，则，
由三角形面积公式得，
即，解得．
8．B
【详解】，，使得，所以，
，，
当时，在上单调递增，；
当时，；
当时，在上单调递减，．
，，，
当时，，所以在上单调递增，，
所以当时，，所以；
当时，；
当时，，所以．
综上所述，，即实数a的取值范围是．
9．BD
【详解】由圆，得圆心，半径，
由圆，得圆心，半径．
对于A，若，，两圆外切，故A错误；
对于B，由两圆相交，得，
即，解得，故B正确；
对于C，若，则，
此时，所以两圆相交，
因为两圆方程作差得，
所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误；
对于D，若，则到直线的距离，
到直线的距离，
所以直线为两圆的公切线，故D正确．
10．ACD
【详解】因为F，G分别是，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，故A正确；
因为四边形为矩形，不一定是菱形，所以不一定成立，
所以平面不一定成立，故B错误；
因为E，F分别是，的中点，所以，又，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，，平面，所以平面平面，故C正确；
因为四边形为矩形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故D正确．
11．ACD
【详解】令，代入到中，
得：，即：，
令，得，
而是定义域为的奇函数，所以，
所以，故A正确；
假设成立，又因为，
所以，所以为偶函数，
又已知是定义域为的奇函数，
所以对，，
与，使得矛盾，故B错误；
，
两边求导数，得，
即，故C正确；
因为是定义域为的奇函数，
所以，
两边求导得：，
又，
所以，
，
在中令，得，故D正确．
12．0.3/
【详解】由，得．
13．
【详解】因为，所以，
由椭圆定义，得，
又因为，
所以.
设C的焦距为，由勾股定理，得，
又，所以，
所以．
14．
【详解】令，，则在内的图象连续不断，
可得对恒成立，
因为，则，
当或时，则，可得；
当时，，可得；
若或，则或，
因为在和两侧的取值要求符号相反，且为连续函数，
所以必有和
可得，解得，，
经检验，符合题意，所以．
15．(1)可以认为男、女顾客的存在差异
(2)65
【详解】（1）零假设：男、女顾客的没有差异，
根据列联表中的数据计算，得，
根据小概率值的独立性检验，
可以推断不成立，即可以认为男、女顾客的存在差异．
（2）因为男、女顾客的平均体重分别为、，
所以可以估计该机构全体顾客的平均体重为：.
16．(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为d，则由题有，
、，所以．
（2）由（1）得，，
所以，
所以，
两式相减得，
即，
解得．
17．(1)
(2)
【详解】（1）以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
由，得，，
又，所以到直线的距离为
.
（2），，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即
令，则，，所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
又，所以，即二面角的正弦值为．
18．(1)
(2)
(3)定值为，证明见解析
【详解】（1）由双曲线的定义得M的轨迹是双曲线的右支，其中，为焦点，
半焦距，实轴长，虚半轴长．
所以曲线C的方程为．
（2）联立直线l和曲线C的方程，得，
消去y得，
由题意知上式有两个不同的正根，，
所以，解得，
所以k的取值范围是．
（3）如图，作出符合题意的图形，
设，，其中，，联立方程组，
得，
显然，且，
由韦达定理得，，
，
同理得，所以
，
故为定值．
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由，得，，
，则，
所以的图象在处的切线方程为，即．
（2）由，得，
因为在上单调递增，所以．
若，则在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以在上恒成立．
若，令，得，或，且，，
当时，，单调递减，
所以，与在上恒成立矛盾．
综上所述，a的取值范围是．
（3）当时，，，，所以在上单调递增，
又，所以时，，时，．
若，则，不合题意；
若，则，不合题意，所以．
设，，
则，
所以在上单调递增．
因为，所以．
因为，所以，
又，所以，即．
又在上单调递增，所以，即．
所以，即．