河北承德市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中联考数学试题（含解析）

这是一份河北承德市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中联考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，1B， 设，，，则， 已知正整数p，q互素，且，则， 若，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 24B. 48C. 72D. 96
【答案】D
【解析】
【详解】.
2. 设函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数在处的定义，与导函数在处导数值相等即可求解.
【详解】==，
而，所以，.
3. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解.
【详解】因为服从正态分布，且，
则，即正态曲线关于直线对称，
所以PX6=0.1 ，
又P20.75 ，
所以这组点的线性相关性强，D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量的分布列如表，
则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据分布列的性质求得，根据数学期望的计算公式求得
【详解】根据分布列的性质，所有概率之和为1，得16+13+14+α+16=1 ,α=112,
由离散型随机变量数学期望的定义，
E(X)=0×16+1×13+2×14+3×112+4×16=1+34=74.
13. 若1+yx2x+ynn∈N,n≥3的展开式中的系数是xyn−1系数的，则展开式中的系数为_____.
【答案】8
【解析】
【分析】将原式拆分为两个二项式展开式的和，分别求出指定项的系数，根据系数比值求得n，再计算的系数即可.
【详解】1+yx2x+yn=2x+yn+yx2x+yn，
二项式的通项公式为：，
所以的系数为，
的系数为，
由题意4Cn2+8Cn3=1092Cn1+4Cn2，
所以4×nn−12+8×nn−1n−26=1092n+4×nn−12，又，
所以6n−1n−2=10+n−1，
所以6n2−19n+3=0 ，
解得或（舍去），所以的系数为.
14. 设函数fx=2xlnx2−alnx ，若，则的最大值为______；当取得最大值时，_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先利用特殊值得到的最大值，再证明等号可取，从而得出的值.
【详解】由题可知，对任意恒成立，取特殊值，代入函数有
fe=2e−a≥b⇒a+b≤2e ，即的最大值不超过.
若，则
原不等式转化为：2xlnx2−alnx≥2e−a
令t=lnxt∈R，则，代入不等式，有
令gt=2ett2−at−2e+a ，则gt≥0 对任意恒成立，且，故是的极小值点，所以.
因为g't=2ett2+2t−a ，
所以g'1=2e1+2−a=0⇒a=6e
验证：将代入得g't=2ett2+2t−6e
所以g″t=2ett2+4t+2
当g''t>0⇒t−2+2
g″tu0=0+0−0=0 ，所以px>um>0 ，
所以只有唯一零点，所以与直线有唯一公共点.
【解析】
【分析】（1）先求导，进而求出切线的斜率，根据直线方程的点斜式即可求出切线方程.
（2）求导，通过换元证明导函数在定义域内为负，即可证明递减.
（3）设，先证时没有零点，利用，只需证，再利用即可证明；当时，利用第二问结论，再乘x，得，代入，只需证，通过换元，二次求导即可证明.
【小问1详解】
，求导得，
所以，而，
所以切线方程，即.
【小问2详解】
略
【小问3详解】
略
方法归纳：
1.第二问通过换元，使得求导判断正负的问题变得简单.
2.可以记一些基本的不等式如时，，，可判断式子的正负或者大小关系.
3.第三问直接求导计算量大，而且不容易有结果。一般这种题目是要利用前面的结论的，通过观察第二问结论的形式，巧妙乘x，换掉，使得运算变得简单.
30岁及以下
30岁以上
男
154
60
女
196
90
0
1
2
3
4