甘肃省兰州市八校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份甘肃省兰州市八校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷，共7页。试卷主要包含了CD等内容，欢迎下载使用。
单选题
下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A．了解兰州白兰瓜的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解兰州市中学生收看 9 月 3 日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
已知a  1, 2 ， b  2, t  ，若a ∥b ，则实数t 的值为（ ）
4
1
C．2D．4
已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取 20 名学生，则小学与初中共需抽取的人数为
A．30B．40C．70D．90
已知角α  π , π  ，且sin 2α 4 ，则cs  （ ）
3
5
 
4 2
5
5
5
4
5
2 5
5
已知tanα， tan β是方程 x2  4x  3  0 的两根，且α,β 0, π ，则α β的值为（ ）
π
4
3π
4
5π
4
7π
4
–––→1 –––→
如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 满足 BE  3 EC ，点 F 为CD 的中点，则 DE  AF  （ ）
3 –––→
AB 
1 –––→
AD
3 –––→
AB 
1 –––→
AD
3 –––→
AB 
5 –––→
AD
1 –––→
AB 
5 –––→
AD
23242424
在V ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且2c  c2  4  b2 ， a  2 ，则角 B  （ ）
π
6
π
4
π
3
2π
3
若 M 为V ABC 所在平面内一点，且满足| MB  MC || MB  MC  2MA |，则V ABC 为（ ）
直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
多选题
有一组样本数据 x1 , x2 ,L, xn ，由这组数据得到新样本数据 y1 , y2 ,L, yn ，其中 yi  xi  c i  1, 2,L, n, c 为非零常数，则两组样本数据的样本（ ）
A．平均数相同B．中位数相同
C．标准差相同D．极差相同
→
已知向量a  4, 3 ， b  7,1 ，下列说法正确的是（）
→→→→→
5
A．a  b   a
B． a  b  5
C．与向量a 平行的单位向量仅有  4 , 3 
D．向量a 与向量b 的夹角为135∘
 5 5 
已知函数 f  x 

3 sin 2x  cs2 x  1 （ x  R ），则下列说法正确的是（ ）
22
函数 f  x 的图象关于 y 轴对称
函数 f  x 的最小正周期为π
点 π , 0  为函数 f  x 图象的一个对称中心
 6

函数 f  x 的最大值为 1
填空题
数据2, 4, 5,8, a,10,11的平均数是 7，则这组数据的第60 百分位数为．
cs 70sin 40  sin110sin 50 的值为．
→→
3
已知 a  3, b

，向量a 在向量b 上的投影向量为 2b ，则a 与b 夹角的余弦值为.
解答题
某校 100 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
求频率分布直方图中 a 的值；
分别求出成绩落在[50,60) 与[60,70) 中的学生人数；
估计这次考试的众数、平均数及 78 分以上的人数．
→→→π
已知向量a, b 满足 a  2 ， b  1，且a 与b 的夹角为．
3
→→→→
若2a  b   a λb  ，求实数λ的值；
a
求b 与 →  2b 的夹角的大小．
已知在V ABC 中，点M 是 BC 边上靠近点 B 的四等分点，点 N 在 AB 边上，且 AN  NB ，设 AM 与CN
相交于点 P ．记 AB  m ， AC  n ．
请用m ， n 表示向量 AM ；
→–→1
若 n  2 m ，设m ， n 的夹角为θ，若csθ 4 ，求证： CN  AB ．
已知V ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为a ， b ， c ，且c sin  B  π  3 a ．
3 2

求角C 的大小；
3
19
若V ABC 的面积为6，中线CD ，求c ．
→3 
2
已知向量a  sin x,  ， b  cs x, 1 ．

当a / /b 时，求2 cs2 x  sin 2x 的值；
→→→
 πx
f xπ 
 2
求 f  x  a  b b 在 , 0 的最小值及相应
的取值，并求出函数   在

, 0 的单调递增区间．


2
参考答案
1．D
解析：切开白兰瓜具有破坏性，故 A 不符合题意；
测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故 B 不符合题意；兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故 C 不符合题意；
航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故 D 符合题意.
2．A
解析：因为a ∥b ，所以 →  λb ，则λ 1
 2 ，解得t  4 .
故选：A
a2t
3．C
解析：由题意可得，抽样比为： 20  1
120060
则小学和初中共抽取： 2400 1800 1
60
 70 人
本题正确选项： C
4．B
解析：由sin 2α 4 ，即2 sinαcsα 4 ，
55
 4 2 
又由α  π , π  ，可得sinα csα 0 ，

则(sinα csα)2  sin2 α cs2 α 2 sinαcsα 1 4  9 ，可得sinα csα 3 5 ，
555
(sinα csα)2  sin2 α cs2 α 2 sinαcsα 1 4  1 ，可得sinα csα5 ，
555
联立方程组，可得csα5 .
5
故选：B.
5．C
tanα tan β 4

解析：由题意， tanα tan β 3 ，
则tan(α β) 
tanα tan β 
1  tanα tan β
4
1  (3)
 1 ，且tanα, tan β一正一负，
因α,β 0, π ，则 π α β 2π ，故α β 5π .
24
故选：C.
6．B
–––→
1 –––→
–––→–––→–––→–––→
3 –––→
解析：因为 BE 
EC ，所以 DE  DC  CE  AB 
34
AD .
–––→–––→–––→–––→
因为点 F 为CD 的中点，所以 AF  AD  DF  AD 
1 –––→
AB ，
2
–––→–––→
所以 DE  AF 
3 –––→
AB 
1 –––→
AD .
24
故选：B.
7．D
解析：已知2c  c2  4  b2 ，
又因为a  2 ，所以c2  a2  b2  2c ，
a2  c2  b22c1
又由余弦定理cs B   ，
又因为 B 0, π ，
所以 B  2π ，
3
2ac
4c2
故选：D.
8．A
–––→ ––––→–––→ ––––→–––→
–––→–––→ –––→––––→ –––→
解析：由 MB  MC  MB  MC  2MA ，得 CB  MB  MA  MC  MA
–––→–––→ –––→–––→ –––→–––→–––→
所以 CB  AB  AC ，即 AB  AC  AB  AC ，
两边平方并化简得 AB  AC  0 ，则 AB  AC ，即 AB  AC ，故BAC  90 ，所以V ABC 是直角三角形.
故选：A 9．CD
解析：对于 A，原样本数据的平均数 x  x1  x2 L xn ，新样本数据的平均数
n
y  y1  y2 L yn  x1  x2 L xn  c （ c  0 ），所以 A 错误；
nn
B,x  x
 ...  x ,
x n1
xn  xn
1 ,
y  y
 ...  y ,
对于 不妨设原样本数据 12
n 中位数为
或 22
22
则新样本数据 12
n 中位数为
y x c
yn  yn
1
xn  xn
1
n1
n1
或 22  22  c ,B 错误;
2222
对于 C，原样本数据的方差s2  1   x  x 2   x  x 2 L  x  x 2  ，新样本数据的方差为
xn  12n
s2  1  x  c   x  c2   x
 c   x  c2 L  x
 c   x  c2 
yn 1
 2
 n
 1   x  x 2   x
 x 2 L  x  x 2   s2 ,所以s  s ,C 正确；
n  12
nxxy
对于 D，不妨设样本数据 x1 , x2 ,L, xn 中x1 ， xn 分别为最小值和最大值，极差为 xn  x1 ，则新样本数据 y1 ，
y2 ，…， yn 中 y1 ， yn 分别为最小值和最大值，极差为 yn  y1  (xn  c)  (x1  c)  xn  x1 ，所以 D 正确.故选：CD.
ABD
→
→→→
→→→
解析：对于 A， a  b  3, 4 ， a  b  a  34  4  3  0 ，所以a  b   a ，故 A 正确；
→→→
112  22
5
对于 B， a  b  11, 2 ，所以 a  b
42  32
→

→
a    4 , 3 
 5
→
 a
，故 B 正确；
  4 ,  3 
对于 C， a 
 5 ，则有 →  、 →  ，
a 5 5 a 55 
即与向量a 平行的单位向量有  4 , 3  、 4 ,  3  ，故 C 错误；
 5 5  55 

→→
→a  b4  7  312
a b
→ →
5 49 1
对于 D， cs a, b   2
，所以向量a 与向量b 的夹角为135∘ ，故 D 正确．
故选：ABD
BD
解析：由题意可得： f  x 
3 sin 2x  cs2 x  1 3 sin 2x  1 cs 2x  π  ，
sin 2x
2222
6 

对于选项 A：因为 f 0  sin   π    1 不为最值，
 6 2

所以函数 f  x 的图象不关于 y 轴对称，故 A 错误；
对于选项 B：函数 f  x 的最小正周期为T  2π  π ，故 B 正确；
2
f  π  
ππ π1
对于选项 C：因为
 6 
sin  2  
  sin
  0 ，

66 62
所以点 π , 0  不为函数 f  x 图象的一个对称中心，故 C 错误；
 6

对于选项 D：当2x  π  2kπ  π , k  Z ，即 x  kπ  π , k  Z 时，
623
函数 f  x 取到最大值为 1，故 D 正确；故选：BD.
9
解析：因为数据2, 4, 5,8, a,10,11的平均数是 7，
所以 1 2  4  5  8  a 10 11  7 ，解得a  9 ，
7
因为7  60%  4.2 ，
所以这组数据的第60 百分位数为第5 位数，即9 .
故答案为： 9 .
 1 / 0.5
2
cs 70sin 40  sin110sin 50
 cs 70∘ sin 90∘  50∘   sin 180∘  70∘ sin 50∘
 cs 70∘ cs 50∘  sin 70∘ sin 50∘
解析：  cs70∘  50∘ 
 cs120∘
  1
2
14． 6
→
3
a csθ →
b
解析：设a 与b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为→ b ，
θ
→
2
6
a cs3csθ
3
所以→，所以csθ.
b3
15．(1) a  0.005
10 ，15
众数：75 分；平均数：76.5 分； 47 人
解析：（1）由题意得(2a  3a  7a  6a  2a) 10  1，解得a  0.005 .
设 p1 为成绩落在[50,60) 上的概率， n1 为成绩落在[50,60) 的人数，由题意得 p1  10  2  0.005  0.1, n1  100 p1  10 ，
设 p2 为成绩落在[60,70) 上的概率， n2 为成绩落在[60,70) 的人数，
p2  10  3 0.005  0.15, n2  100 p2  15 .
由题意得众数为 75 分；
由（1）得成绩落在[50,60) 的频率为 0.1，落在[60,70) 的频率为 0.15，
落在[70,80) 的频率为 0.35，落在[80,90) 的频率为 0.3，落在[90,100) 的频率为 0.1，则平均数为55 0.1 65 0.15  75 0.35  85 0.3  95 0.1  76.5 ，
设 p 为 78 分以上的频率， n 为 78 分以上的人数，
则 p  80  78  7  0.00510  6  0.00510  2  0.00510  0.47 10
n  100 p  47 ，
故 78 分以上的人数为 47 人. 16．(1)λ 3
(2) π
6
→ →→ →π1
解析：（1）由题意可得a  b  a
b cs
 2 1  1，
32
→→→→→→→→
因为2a  b   a λb  ，所以2a  b a λb   0 ，
2
→
即2a
 2λ→  b  →  b λb 2
 2  4  2λ11λ1  9  3λ 0 ，
aa
解得λ 3 ．
（2）设b 与 →  2b 的夹角为θ，由（1）可知， →
 1 ，
a
→→→→→2
a·b
→
由题意可得b  a  2b   a  b  2b
 1 2 1  3 ，
→
→→ 2→2→→2→→
由 a  2b
 a  4a  b  4b
 4  4  4  12 ，得 a  2b
 2 3 ，
→→→
b  a  2b 
3 3 π
→
所以csθ
→→
b a  2b

3
1 2
，所以θ.
26
––––→
17．(1) AM 
3 –→1 →
m  n
44
(2)证明见解析
––––→
1 –––→
1 →–→
解析：（1） BC  AC  AB  n  m ，由题意得 BM 
BC 
44
n  m，
––––→–––→––––→–→1
→–→
3 –→1 →
所以 AM  AB  BM  m 
n  m  m  n ．
444
–––→–––→–––→–––→
1 –––→1 –→→
（2）由题意， CN  CA  AN   AC 
AB 
22
m  n ．
→–→
1–→ →–→ →
1 –→ 2
∵ n  2 m ， csθ ，∴ m  n  m  n  csθm ．
1
2
42
–––→ –––→ 1 –→→  –→1 –→2
→ –→
–→ 21 –→ 2
22
∴ CN  AB   m  n   m  m

∴ CN  AB ．
 n  m 
m m
2
 0 ，
18．(1) C  π
3
7
(2) c  2
解析：（1）在V ABC 中， A  π   B  C  ，则sin A  sin  B  C  ，
因为c sin  B  π  3 a ，
3 2

则c sin B 
3c cs B 
3a ，
由正弦定理得： sin C sin B 
3 sin C cs B 
3 sin  B  C  ，
所以sin C sin B 
3 sin C cs B 
3 sin B cs C 
3 cs B sin C ，
所以sin C sin B  3 sin B cs C ，
又0  B  π ，得sin B  0 ，所以sin C 
由0  C  π ，解得C  π .
3
（2）因为V ABC 的面积为6 3 ，
所以 1 ab sin C  6 3 ， 2
由（1）知C  π ，故ab  24 ，
3
因为CD 为中线，即 D 为 AB 中点，
3 cs C ，即tan C  3 ，
–––→1
则CD 
2
–––→–––→
19

CA  CB ，又CD ，
–––→21 –––→–––→ 2
4
则CD  CA  CB  19 ，所以a2  b2  ab  76 ，
解得a2  b2  52 ，
由余弦定理得c2  a2  b2  2ab cs C  52  2  24  1  28 ，
2
所以c  2 7 .
19．(1) 20
13
(2) x   3π 时， f (x)
  2 ；当 x   3π , 0 时，函数单调递增
8min2
→
8
3 
2
解析：（1）解：由向量a  sin x,  ， b  cs x, 1 ，

因为a / /b ，可得 3 cs x  sin x  0 ，所以tan x   3 ，
22
22 cs2 x  2 sin x cs x2  2 tan x20
则2 cs x  sin 2x .
sin2 x  cs2 x1 tan2 x13
f x 
→→ →
12π 
（2）解：由函数  
(a  b)  b  sin x  cs xcs x  
2
sin  2x   ，
4
2
因为 π  x  0 ，所以 3π  2x  π  π ，所以1  sin  2x  π  2 ，
2444
4 2

所以 2  f  x  1 ，所以当2x  π   π ，即 x   3π 时， f (x)  2 ，
2242
8min2
令 π  2kπ  2x  π  π  2kπ（,
242
k  Z) ，可得 3π  kπ  x  π  kπ,(k  Z) ，
88
因为 x   π , 0 ，当 x   3π , 0 时，函数单调递增，
 28
所以函数 f  x 的单调递增区间为 3π , 0 .
8