甘肃兰州市八校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

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一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况
B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力
C. 了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况
D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
【答案】D
【解析】
【详解】切开白兰瓜具有破坏性，故A不符合题意；
测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故B不符合题意；
兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故C不符合题意；
航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故D符合题意.
2. 已知，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由向量共线基本定理求解即可.
【详解】因为，所以，则，解得.
故选：A
3. 已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为
A. 30B. 40C. 70D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.
【详解】由题意可得，抽样比为：
则小学和初中共抽取：人
本题正确选项：
本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.
4. 已知角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到且，结合三角函数的基本关系式，求得和的值，联立方程组，即可求解.
【详解】由，即，
又由，可得，
则，可得，
，可得，
联立方程组，可得.
故选：B.
5. 已知，是方程的两根，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得出韦达定理，利用和角的正切公式求出的值，结合角的范围确定的值即可.
【详解】由题意，，
则，且一正一负，
因，则，故.
故选：C.
6. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为，所以.
因为点为的中点，所以，
所以.
故选：B.
7. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将代入，再结合余弦定理化简即可.
【详解】已知，
又因为，所以，
又由余弦定理，
又因为，
所以，
故选：D.
8. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论.
【详解】由，得
所以，即，
两边平方并化简得，则，即，故，
所以是直角三角形.
故选：A
二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．）
9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则两组样本数据的样本（ ）
A. 平均数相同B. 中位数相同
C. 标准差相同D. 极差相同
【答案】CD
【解析】
【分析】根据数字特征的概念和公式逐一计算可得.
【详解】对于A，原样本数据的平均数，新样本数据的平均数（），所以A错误；
对于B,不妨设原样本数据,中位数为或,则新样本数据,中位数为或,B错误;
对于C，原样本数据的方差，新样本数据的方差为,所以,C正确；
对于D，不妨设样本数据中，分别为最小值和最大值，极差为，则新样本数据，，…，中，分别为最小值和最大值，极差为，所以D正确.
故选：CD.
10. 已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 与向量平行的单位向量仅有D. 向量与向量的夹角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，计算数量积是否为零，即可得；对B，借助模长公式计算即可得；对C，与向量平行的单位向量有、；对D，夹角公式计算即可得.
【详解】对于A，，，所以，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，则有、，
即与向量平行的单位向量有、，故C错误；
对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确．
故选：ABD
11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于轴对称
B. 函数的最小正周期为
C. 点为函数图象的一个对称中心
D. 函数的最大值为1
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角恒等变换可得，结合正弦函数性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，
对于选项A：因为不为最值，
所以函数的图象不关于轴对称，故A错误；
对于选项B：函数的最小正周期为，故B正确；
对于选项C：因为，
所以点不为函数图象的一个对称中心，故C错误；
对于选项D：当，即时，
函数取到最大值为1，故D正确；
故选：BD.
三、填空题
12. 数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用平均数的性质求得参数，再利用百分数位数据定义即可得解.
【详解】因为数据的平均数是7，
所以，解得，
因为，
所以这组数据的第百分位数为第位数，即.
故答案为：.
13. 的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用诱导公式统一角度，再根据余弦的两角和公式进行计算．
【详解】
14. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为，
所以，所以.
四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在与中的学生人数；
（3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数．
【答案】（1）
（2），
（3）众数：75 分；平均数：76.5 分；人
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积和为1即可求解；
（2）由频率分布直方图确定成绩落在，的频率，再由频率估计人数即可；
（3）由样本数据的数字特征求法依次求解即可.
【小问1详解】
由题意得，解得.
【小问2详解】
设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数，
由题意得，
设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数，
.
【小问3详解】
由题意得众数为75分；
由（1）得成绩落在的频率为0.1，落在的频率为0.15，
落在的频率为0.35，落在的频率为0.3，落在的频率为0.1，
则平均数为，
设为78分以上的频率，为78分以上的人数，
则
，
故78分以上的人数为47人.
16. 已知向量满足，，且与的夹角为．
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由垂直关系得，使用向量数量积的公式即可求解；
（2）使用向量夹角公式，结合数量积公式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得，
因为，所以，
即，
解得．
【小问2详解】
设与的夹角为，由（1）可知，，
由题意可得，
由，得，
所以，所以.
17. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

（1）请用，表示向量；
（2）若，设，的夹角为，若，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；
（2）以，为基底表示出，结合已知求可证.
【小问1详解】
，由题意得，
所以．
【小问2详解】
由题意，．
∵，，∴．
∴，
∴．
18. 已知的内角所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，中线，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，利用两角和的正弦公式化简，转化为三角函数求角；
（2）首先根据三角形的面积公式，求得，，根据中线向量关系，可得，再根据余弦定理即可求得.
【小问1详解】
在中，，则，
因为，
则，
由正弦定理得：，
所以，
所以，
又，得，所以，即，
由，解得.
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，
由（1）知，故，
因为为中线，即为中点，
则，又，
则，所以，
解得，
由余弦定理得，
所以.
19. 已知向量，．
（1）当时，求的值；
（2）求在的最小值及相应的取值，并求出函数在的单调递增区间．
【答案】（1）
（2）时，；当时，函数单调递增
【解析】
【分析】（1）由，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解；
（2）由，根据三角函数的图象与性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量，，
因为，可得，所以，
则.
【小问2详解】
解：由函数，
因为，所以，所以，
所以，所以当，即时，，
令，可得，
因为，当时，函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为.