山西省晋中市2026届高三下学期5月模拟高考测试 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知变量具有线性相关关系，根据一组观测数据利用最小二乘法建立了经验回归方程，若，则（ ）
A．10B．5C．0.5D．0.1
4．已知直线为两条不重合的直线，若与正方体的各棱所成的角相等，则“与正方体的各棱所成的角相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．的展开式中，的系数为（ ）
A．220B．C．100D．
7．已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
二、多选题
9．已知正整数数列满足，且，则的前4项和的值可以是（ ）
A．11B．22C．33D．44
10．已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于点（均与点不重合），若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的离心率
D．若的焦距为2，则
11．已知函数，则（ ）
A．是的极大值点
B．当时，
C．，使得点是曲线的对称中心
D．，使得，直线与曲线均只有一个公共点
三、填空题
12．已知向量，则与的夹角为__________.
13．已知函数的定义域为是偶函数，，则__________.
14．如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______.
四、解答题
15．在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
16．已知椭圆的上､下焦点与左顶点是等腰直角三角形的三个顶点，且过点.
(1)求的方程；
(2)过点且不与坐标轴垂直的直线交于两点，求证：.
17．“十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表：
(1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人.
（i）分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数；
（ii）再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为，关注“表演机器人”的人数为，设，求的分布列.
(2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入次动作指令，其能准确完成指令的次数为，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当为何值时，的值最大？
18．已知函数.
(1)若，求的图象在点处的切线方程.
(2)设函数.
（i）讨论的零点个数；
（ii）若的较大零点为，证明：.
19．如图，在直角梯形中，，为的中点，连接，将沿折起到的位置，得到四棱锥.

(1)求证：.
(2)设二面角的平面角为，且
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求四面体体积的最大值.
类型
医疗机器人
特种机器人
表演机器人
服务机器人
工业机器人
人数
10
40
30
10
10
1．A
2．C
3．D
4．B
5．C
6．B
7．D
8．C
9．AC
10．BCD
11．ACD
12．/
13．2
14．
15．(1)
(2)
16．(1)
(2)证明见解析
17．(1)（i）4，3；
（ii）的分布列为
(2)或时，取得最大值.
18．(1)
(2)（i）当或时，有两个零点，当时，有一个零点；
（ii）证明见解析
19．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
0
1
2
3