2026年陕西省商洛市商南县中考数学二模试卷（含答案+解析）

这是一份2026年陕西省商洛市商南县中考数学二模试卷（含答案+解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−23的绝对值是( )
A. 23B. −23C. 32D. −32
2.如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，如果两条平行线a，b被直线l所截，且α=55∘，那么β=( )
A. 95∘
B. 105∘
C. 125∘
D. 145∘
4.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (−2ab)2=4a2b2
C. (a2)3=a5D. 3a3b2÷a2b2=3ab
5.设点A(−3,a)，B(b,12)在同一个正比例函数的图象上，则ab的值为( )
A. −23B. −32C. −6D. 32
6.如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60∘，∠C=45∘，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( )
A. 4 23
B. 2 2
C. 8 23
D. 3 2
7.在矩形ABCD中，已知两条邻边AB与BC的长分别为2和3，若M是边CD的中点，连接AM，过点B作BH⊥AM，垂足为H，则BH的长为( )
A. 3 102B. 3 105C. 105D. 3 55
8.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式：m3−4m= .
10.如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则地基的面积为 m2.
11.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷(当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…)等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 .
12.一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸(单位：mm)如图，这枚古钱币的半径为 mm.
13.已知反比例函数C1:y=2x的C2:y=5x在第一象限的图象如图所示，平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点C在x轴上，则▱ABCO的面积为 .
14.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是______.
三、解答题：本题共12小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题4分)
计算： 12+| 3−2|−2tan60∘+(12)−1.
16.(本小题4分)
解不等式5−2x>x+13，并将解集表示在数轴上.
17.(本小题4分)
化简：(aa−1−a)÷a2−4a+4a−1.
18.(本小题4分)
如图，在△ABC中，∠C=2∠B.请在BC边上求作点D，连接AD，使得△ABD和△ACD都为等腰三角形.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题4分)
如图，∠A=∠B=90∘，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC.
20.(本小题6分)
数学活动课上，小明所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成五张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片A，C，E属于物理变化，B，D属于化学变化.小明将这些卡片背面朝上洗匀，然后放置在桌面上.
(1)若组员小红从这随机抽取一张卡片，则她抽到“冰雪融化”的概率是______；
(2)若小明从中五张卡片中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出小明抽到的卡片内容都是化学变化的概率.
21.(本小题7分)
紫云楼是大唐芙蓉园园内最为经典的仿古建筑，展示了形神升腾紫云景，天下臣服帝王心的唐代帝王风范.小云和小强采用如下方法来测量紫云楼(图1)的高度.如图2，小云选取与底端B在同一水平地面上的点C，放置一个平面镜，然后沿着BC方向后退，当退到点D时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端A的像，已知小云的眼睛到地面的距离ED为1.5米，CD=2米；接着，小强在地面上的点F处测得紫云楼的顶端A的仰角∠AFB=71.5∘，CF=39米，已知AB⊥BD，ED⊥BD，点B、F、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度AB.(平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：sin71.5∘≈0.95，cs71.5∘≈0.32，tan71.5∘≈3.00).
22.(本小题9分)
“白银2号”种子的价格是10元/kg，如果一次性购买10kg以上的种子，则超过10kg部分的种子价格打折.购买种子所需的付款金额y(单位：元)与购买量x(单位：kg)之间的函数关系如图所示：
(1)根据图象，写出当购买种子超过10kg时，付款金额y(单位：元)关于购买量x(单位：kg)的函数解析式；
(2)若购买35kg的种子，求付款金额；
(3)当顾客付款金额为340元时，求此顾客购买了多少种子.
23.(本小题9分)
为丰富同学们的校园生活，检验日常学习成果，某校在学期中开展了学科素养达标测试.测试结束后，教务处从全校学生的测试成绩中用分层抽样的方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图.
其中D组共有10个成绩，从高到低分别为：69，68，66，65，65，65，64，63，61，60.根据以上信息，解答下列问题：
(1)D组10个成绩的平均数为______，众数为______；
(2)本次被抽取的所有成绩的个数为______，扇形统计图中， B组对应扇形的圆心角为______；
(3)若测试成绩不低于80分为优秀，估计该校3000名学生中成绩优秀的人数是多少？
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，PD交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E，∠EPD=∠EDO
(1)判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PA=5，AD=12，求⊙O的半径.
25.(本小题8分)
如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m.
(1)如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式；
(2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分EF与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面CD的距离为1.4m，求这串影灯的最大长度.
26.(本小题11分)
综合与实践【主题】足球最佳射门位置
【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门.线段PQ表示球门，∠PAQ、∠PBQ为射门张角.理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大.
如图1，∠PAQ______∠PBQ.(用“>”、“∠PMQ.
【迁移应用】如图3，点P(3,0)，点Q(9,0)，点A为y轴正半轴上的一个动点，当∠PAQ最大时，请求出点A的坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|−23|=23.
故选：A.
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
考查了绝对值的性质．
2.【答案】B
【解析】解：从正面看下边是一个较大的矩形，上边是一个较小的矩形，
故选：B.
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3.【答案】C
【解析】解：∵a//b，
∴∠1+β=180∘，
∵∠1=α=55∘，
∴β=125∘.
故选：C.
由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，根据对顶角相等求出∠1的度数，即可确定出β的度数．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故正确；
B、正确；
C、(a2)3=a6，故错误；
D、3a2b2÷a2b2=3，故错误；
故选：B.
根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，即可解答．
本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法的法则．
5.【答案】B
【解析】解：设解析式为：y=kx，
将点(−3,a)代入可得：−3k=a，
把点(b,12)代入可得，bk=12，
解得ab=−32
故选：B.
运用待定系数法求得正比例函数解析式，进一步求得a和b的值，从而求解．
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
6.【答案】C
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90∘，
在Rt△ADC中，AC=8，∠C=45∘，
∴∠C=∠DAC=45∘，
∴AD=DC=ACsin45∘= 22AC=4 2，
在Rt△ADB中，AD=4 2，∠ABD=60∘，
∴BD=ADtan30∘= 33AD=4 63，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBD=30∘，
在Rt△EBD中，BD=4 63，∠EBD=30∘，
∴DE=BDtan30∘= 33BD=4 23，
∴AE=AD−DE=8 23.
故选：C.
根据垂直先求出∠ADC=∠ADB=90∘，在Rt△ADC、Rt△ADB、Rt△EBD中，分别用三角函数求出AD、BD、DE的长，进而求出AE的长．
本题考查含30度角的直角三角形，掌握此性质定理的应用，三角函数的应用是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，
∵M是边CD的中点，
∴DM=CM=1，
∴AM= AD2+DM2= 1+9= 10，
∵BH⊥AM，
∴∠BAH+∠ABH=90∘=∠BAH+∠DAM，
∴∠ABH=∠DAM，
又∵∠AHB=∠D=90∘，
∴△ADM∽△BHA，
∴ADBH=AMAB，
∴3BH= 102，
∴BH=35 10，
故选：B.
通过证明△ADM∽△BHA，可得ADBH=AMAB，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．
8.【答案】

【解析】
9.【答案】m(m−2)(m+2)
【解析】【分析】
本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
本题应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：m3−4m，
=m(m2−4)，
=m(m−2)(m+2).
故答案为：m(m−2)(m+2).
10.【答案】24 3.
【解析】解：正六边形的每个中心角为360∘6=60∘，
则正六边形分成6个全等的正三角形，则每个正三角形的边长为4m，
如图，△ABC是其中一个正三角形，其中AB=BC=AC=4m，
过点A作AD⊥BC于点D，则BD=12BC=2m，
由勾股定理得AD= AB2−BD2=2 3m，
∴正六边形的面积为6×12BC⋅AD=6×12×4×2 3=24 3(m2).
故答案为：24 3.
根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可．
本题考查的是圆的内接正六边形的性质及等边三角形的判定与性质，三角函数，注意掌握辅助线的作法是解题的关键．
11.【答案】C12H26
【解析】解：由图可得，
甲烷的化学式中的C有1个，H有2+2×1=4(个)，
乙烷的化学式中的C有2个，H有2+2×2=6(个)，
丙烷的化学式中的C有3个，H有2+2×3=8(个)，
…，
∴十二烷的化学式中的C有12个，H有2+2×12=26(个)，
即十二烷的化学式为C12H26，
故答案为：C12H26.
根据图形，可以写出C和H的个数，然后即可发现C和H的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现C和H的变化特点．
12.【答案】13
【解析】解：如图所示：AB是⊙O的直径，过O作OC⊥TE，连接OD，
依题意，TE=10mm，ED=7mm，
∵OC⊥TE，
∴CE=12TE=5mm，CD=5+7=12(mm)，
∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，
∴CO=12×10=5(mm)，
∴OD= OC2+CD2= 25+144=13(mm)，
故答案为：13.
先根据题意，则AB是⊙O的直径，过O作OC⊥TE，连接OD，再结合正方形的性质以及垂径定理得CE=5mm，CD=12mm，由勾股定理列式计算，即可作答．
本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，正确进行计算是解题关键．
13.【答案】3
【解析】解：如图，延长BA交y轴于点D，作AG⊥x轴于点G，作BH⊥x轴于点H，

∵平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点C在x轴上，
∴S矩形ADOG=2，S矩形BDOH=5，
∴S矩形AGHB=5−2=3，
∴S矩形AGHB=AB⋅AG=S▱ABCO=3，
故答案为：3.
如图，延长BA交y轴于点D，作AG⊥x轴于点G，作BH⊥x轴于点H，利用矩形性质及反比例函数k值几何意义解答即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义、矩形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
14.【答案】4
【解析】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；
∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圆A的半径为1，
∴A′D′=BC=3，DD′=2DC=4，AE′=1，
∴A′D=5，
∴DE′=5−1=4
∴PE+PD=PE′+PD=DE′=4，
故答案为4.
以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；根据勾股定理求得A′D的长，即可求得PE+PD最小值．
本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是本题的关键．
15.【答案】4− 3.
【解析】解： 12+| 3−2|−2tan60∘+(12)−1
=2 3+2− 3−2× 3+2
=2 3+2− 3−2 3+2
=4− 3.
根据负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．
16.【答案】xx+13，
去分母得15−6x>x+1，
移项、合并同类项得−7x>−14，
系数化为1得x10kg时，
由图象可知y是x的一次函数，且过点A(10,100)和B(20,160)，
∴设y=kx+b，
则10k+b=10020k+b=160，
解得：k=6b=40，
∴y=6x+40(x>10)；
(2)根据y=6x+40(x>10)，
当x=35时，y=6×35+40，
y=250，
∴购买35kg的种子，付款金额为250元；
(3)根据图像可知当顾客付款金额为340元时，购买数量大于10kg，
∴由y=6x+40(x>10)，
令y=340时，则340=6x+40，
解得：x=50，
∴当顾客付款金额为340元时，此顾客购买了50kg种子．
【解析】(1)根据图像可知：A(10,100)和B(20,160)坐标，设解析式为y=kx+b，运用待定系数法求解即可；
(2)根据(1)中解析式当x=35时代入求解即可；
(3)根据图像可知当顾客付款金额为340元时，购买数量大于10kg，根据(1)中解析式，令y=340，代入求解即可．
本题考查一次函数的实际应用，理解题意，找到数量关系是解决问题的关键．
23.【答案】64.6分;65分 50;108∘ 1620人
【解析】解：(1)由题意得(69+68+66+65+65+65+64+63+61+60)÷10=64.6，
∴D组10个成绩的平均数为64.6分，
D组10个成绩中出现次数最多的是65分，
∴众数为65分，
故答案为：64.6分，65分；
(2)由题意可得，本次被抽取的所有成绩的个数为：10÷20%=50，
扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为：360∘×30%=108∘，
故答案为：50，108∘；
(3)由题意可得，3000×(24%+30%)=1620(人)
答：估计该校3000名学生中成绩优秀的人数是1620人．
(1)根据平均数和众数的定义进行解答即可；
(2)根据D组数据的个数及其百分比即可求出被抽取的所有成绩的个数，用360∘乘以B组的百分比即可求出B组对应扇形的圆心角；
(3)利用样本估计总体的思想列式计算即可．
本题考查的是扇形统计图，用样本估计总体，算术平均数，众数，熟知以上知识是解题的关键．
24.【答案】解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，
∴∠A=90∘，
∵DE⊥PO，
∴∠E=90∘，
∵∠DOE=∠POA，
∴∠EDO=∠APO，
∵∠EPD=∠EDO，
∴∠APO=∠DPO，
在△PFO与△PAO中，
∠PFO=∠A∠FPO=∠APOOP=OP，
∴△PFO≌△PAO，
∴OA=OF，
∴PD与⊙O相切；
(2)由(1)证得△AFO≌△PAO，
∴PF=PA，
∵PA=5，AD=12，
∴DF=8，PD= PA2+AD2=13，
设⊙O的半径为：0A=r，
∴r2+82=(12−r)2，
∴r=103，
∴⊙O的半径为103.
【解析】(1)由AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，DE⊥PO，得到∠A=∠E=90∘，根据对顶角相等，得到∠DOE=∠POA，通过三角形全等，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，得出结论；
(2)由三角形全等得出线段相等，利用勾股定理列方程求出圆的半径．
本题综合考查了圆周角定理，切线长定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，
25.【答案】抛物线的解析式为y=−12x2+1.8；
这串彩灯的最大长度为2.2米．
【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=ax2+k(a≠0)，
由题意得：拱顶的坐标为(0,1.8)，点D的坐标为(2,−0.2)，
∴k=1.8a×22+k=−0.2，
解得a=−12k=1.8，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+1.8；
(2)由题意知，点F(a,−12a2+1.8)，
∴EF=2a，
∵彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，秋季水位会下降约0.2m，
∴彩灯的最低点M，N在直线y=1.2上，
∴点N为(a,1.2)，
∴FN=−12a2+0.6，
设彩灯的长度为w，
w=EF+2FN
=2a−a2+1.2
=−a2+2a+1.2，
∵−1； 证明见解析； A(0,3 3).
【解析】(1)解：设PB与圆交于点C，连接QC，如图，
则∠PAQ=∠PCQ，
∵∠PCQ>∠PBQ，
∴∠PAQ>∠PBQ.
故答案为：>；
(2)证明：连接AP，AQ，MP，MQ，设MP与圆交于点C，连接CQ，如图，
∵以线段PQ为弦作⊙O，恰与直线l相切，切点为A，
∴直线l与⊙O有唯一的公共点A，
则∠PAQ=∠PCQ，
∵∠PCQ>∠PMQ，
∴∠PAQ>∠PMQ.
∵理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大，
∴当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大．
(3)解：以线段PQ为弦作⊙O′，恰与y轴相切，切点为A，如图，
由(2)知：此时∠PAQ最大．
作直径AB，连接PB，
∵OA为⊙O′的切线，
∴BA⊥OA，
∴∠BAO=90∘，
∴∠OPA+∠BAP=90∘.
∵AB为直径，
∴∠APB=90∘，
∴∠B+∠BAP=90∘，
∴∠B=∠OPA，
∵∠Q=∠B，
∴∠OPA=∠Q.
∵∠AOP=∠QOA，
∴△OAP∽△OQA，
∴OPOA=OAOQ，
∴OA2=OP⋅OQ.
∵点P(3,0)，点Q(9,0)，
∴OP=3，OQ=9，
∴OA2=3×9=27，
∴OA=3 3，
∴A(0,3 3).
(1)设PB与圆交于点C，连接QC，利用圆周角定理和三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质解答即可；
(2)连接AP，AQ，MP，MQ，设MP与圆交于点C，连接CQ，L利用相切的定义得到直线l与⊙O有唯一的公共点A，利用(1)的方法解答即可得出结论；
(3)以线段PQ为弦作⊙O′，恰与y轴相切，切点为A，由(2)知：此时∠PAQ最大．作直径AB，连接PB，利用圆的切线的性质定理，圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到OA2=OP⋅OQ，利用点的坐标的特征得到线段OP，OQ，代入化简运算即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，圆的切线的性质定理，相似三角形的判定与性质，点的坐标的特征，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．A
B
C
D
E
A
-
AB
AC
AD
AE
B
BA
-
BC
BD
BE
C
CA
CB
-
CD
CE
D
DA
DB
DC
-
DE
E
EA
EB
EC
ED
-