2026年陕西省商洛市商南县二模数学试题（含解析）（中考模拟）

这是一份2026年陕西省商洛市商南县二模数学试题（含解析）（中考模拟），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可．
【详解】解：的绝对值是．
故选B．
2. 如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：从正面看下边是一个较大的矩形，上面是一个矩形，
故选B．
本题考查简单组合体的三视图．
3. 如图，如果两条平行线a，b被直线l所截，且，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
根据平行的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方、单项式除以单项式，根据相关运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 设点A（-3，a），B（b， ）在同一个正比例函数的图象上，则ab的值为（ ）
A. B. C. -6D.
【答案】B
【解析】
【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，将两点在分别代入函数解析式，就可表示出a，b，然后代入求出ab的值．
【详解】设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）
∴a=-3k，bk=
∴b=
∴．
故答案为：B．
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
6. 如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可知△ADC是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得AD=4，在Rt△ABD中，由∠B=60°，可得BD==，再由BE平分∠ABC，可得∠EBD=30°，从而可求得DE长，再根据AE=AD-DE即可
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=8，
∴AD=4，
在Rt△ABD中，∠B=60°，
∴BD===，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD=30°，
∴DE=BD•tan30°==，
∴AE=AD-DE=，
故选C.
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
7. 在矩形中，已知两条邻边与的长分别为2和3，若是边的中点，连接，过点作，垂足为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据矩形的性质和题意得，，，根据是边的中点得，根据勾股定理得，根据得，即可得，根据得，根据可得，即可得，掌握相似三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
∵四边形是矩形，两条邻边与的长分别为2和3，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，3），则平移后的抛物线的对称轴为（ ）
A. x=-1B. x=1C. x=-2D. x=2
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移规则写出平移后得解析式，将点A得坐标代入解析式，求得二次函数解析式，然后再求对称轴..
【详解】解： 将抛物线向右平移个单位长度后所得抛物线的解析式为y=(x-4)2-(a-2)(x-4)+a2-1，
在y=(x-4)2-(a-2)(x-4)+a2-1中，当时，y=a2+4a+7.，
抛物线 y=(x-4)2-(a-2)(x-4)+a2-1与y轴的交点为(0, a2+4a+7),
平移后的抛物线与y轴的交点为A(0,3),
∴a2+4a+7=3,
解得a1=a2=-2.
平移后的抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
平移后的抛物线的对称轴为直线x=2．
故选D．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式分解因式、平方差公式分解因式，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案．熟记提公因式分解因式、平方差公式分解因式等知识是解决问题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
10. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可．
【详解】解：正六边形的每个中心角为，
则正六边形分成6个全等的正三角形，则每个正三角形的边长为，
如图，是其中一个正三角形，其中，
过点A作于点D，则，
由勾股定理得，
∴正六边形的面积为．
11. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为，
乙烷的化学式为，
丙烷的化学式为……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为，
故答案为：．
本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
12. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接，
依题意，，
∵，
∴，，
∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，
∴，
在中，，
即这枚古钱币的半径为，
故答案为：13
13. 已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】通过作辅助线，利用反比例函数中的几何意义，结合平行四边形的性质，求出平行四边形的面积．本题主要考查反比例函数的几何意义和平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．
【详解】解：延长交轴于点，则轴于，连接．
点在上，
；
点在上，
；
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
14. 如图，矩形中，，以为圆心，1为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于，交于点，则就是最小值，进行求解即可．
【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，点对称点为，则：，
又∵点在圆上，
∴，
∴当四点共线时，最小，
连接交于，交于点，则就是最小值；
∵矩形中，，圆A的半径为1，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为．
本题考查轴对称-最短路线问题．熟练掌握矩形的性质，轴对称的性质，以及点到圆上一点的最短距离等于点到圆心的距离减去圆的半径，是解题的关键．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了实数计算，结合绝对值的性质，特殊角的三角函数值，负指数幂计算是解题的关键．
根据负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
16. 解不等式，并将解集表示在数轴上．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，把不等式的解集在数轴上表示出来；依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可求解，最后把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
将其表示在数轴上如图所示：．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内，将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解．
【详解】解：
．
18. 如图，在中，．请在边上求作点D，连接，使得和都为等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】如图所示，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于D，点D即为所求．
【详解】解：如图所示，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即为等腰三角形，
∴点D即为所求．
本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，尺规作图——作线段，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的关键．
19. 如图，，E是上的一点，且，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
20. 数学活动课上，小明所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成五张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片A，C，E属于物理变化，B，D属于化学变化．小明将这些卡片背面朝上洗匀，然后放置在桌面上．
（1）若组员小红从这随机抽取一张卡片，则她抽到“冰雪融化”的概率是 ；
（2）若小明从中五张卡片中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出小明抽到的卡片内容都是化学变化的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由简单概率公式直接代值计算即可；
（2）由列表法得到所有等可能的结果、满足题意的结果，代入简单概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：她抽到“冰雪融化”的概率是；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表可知，共有种等可能的结果，其中小明抽到的卡片内容都是化学变化的有种，
小明抽到的卡片内容都是化学变化的概率．
21. 紫云楼是大唐芙蓉园内最为经典的仿古建筑．小云和小强采用如下方法来测量紫云楼（图1）的高度．如图2，小云选取与底端在同一水平地面上的点，放置一个平面镜，然后沿着方向后退，当退到点时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端的像，已知小云的眼睛到地面的距离为米，米；接着，小强在地面上的点处测得紫云楼的顶端的仰角，米，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度．（平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：，，）．
【答案】紫云楼的高度约为39米
【解析】
【分析】利用三角函数可得，由镜面反射的原理可得，进而可证明，则，代入求解出即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴．
∴，即，
在中，，
∴，即，
∴，
∴，解得．
答：紫云楼的高度约为39米．
22. “白银号”种子的价格是元，如果一次性购买以上的种子，则超过部分的种子价格打折购买种子所需的付款金额单位：元与购买量单位：之间的函数关系如图所示：

（1）根据图象，写出当购买种子超过时，付款金额单位：元关于购买量单位：的函数解析式；
（2）若购买的种子，求付款金额；
（3）当顾客付款金额为元时，求此顾客购买了多少种子．
【答案】（1）
（2）购买的种子，付款金额为元
（3）当顾客付款金额为元时，此顾客购买了种子
【解析】
【分析】（1）根据图像可知：和坐标，设解析式为，运用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）中解析式当时代入求解即可；
（3）根据图像可知当顾客付款金额为元时，购买数量大于，根据（1）中解析式，令，代入求解即可．
【小问1详解】
解：当时，
由图象可知是的一次函数，且过点和，
设，
则，
解得：，
；
【小问2详解】
根据，
当时，，
，
购买的种子，付款金额为元；
【小问3详解】
根据图像可知当顾客付款金额为元时，购买数量大于，
由，
令时，则，
解得：，
当顾客付款金额为元时，此顾客购买了种子．
本题考查一次函数的实际应用，理解题意，找到数量关系是解决问题的关键．
23. 为丰富同学们的校园生活，检验日常学习成果，某校在学期中开展了学科素养达标测试．测试结束后，教务处从全校学生的测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用分层抽样的方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．
其中D组共有10个成绩，从高到低分别为：69，68，66，65，65，65，64，63，61，60．根据以上信息，解答下列问题：
（1）D组10个成绩的平均数为________；众数为________；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为________，扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为________；
（3）若测试成绩不低于80分为优秀，估计该校3000名学生中成绩优秀的人数是多少？
【答案】（1）分，65分；
（2）
（3）人．
【解析】
【分析】（1）根据平均数和众数的定义进行解答即可；
（2）根据D组数据的个数及其百分比即可求出被抽取的所有成绩的个数，用乘以B组的百分比即可求出B组对应扇形的圆心角；
（3）利用样本估计总体的思想列式计算即可．
【小问1详解】
解：，
∴D组10个成绩的平均数为分，
D组10个成绩中出现次数最多的是65分，
即众数为65分；
【小问2详解】
由题意可得，本次被抽取的所有成绩的个数为：，
扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为：；
【小问3详解】
由题意可得，（人）
答：估计该校3000名学生中成绩优秀的人数是人．
24. 如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点，
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）与相切，见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
（1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论；
（2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径．
【小问1详解】
解：证明：过点O作，
是的直径，与相切于点A，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
与相切；
【小问2详解】
由（1）证得，
，
，，，
∴
由（1）证得，
，
，
设的半径为：，
，
，
的半径为．
25. 如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为
（1）如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式；
（2）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）这串彩灯的最大长度为米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意得到用二次函数表示的彩灯的长度是解决本题的难点．
（1）设抛物线的解析式为：，得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和k的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）表示出彩灯的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为：，
由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由题意设，点，
，
彩灯两端的最低点到水面的距离为，秋季水位会下降约，
彩灯的最低点M，N在直线上，
点N为，
，
设彩灯的长度为w，
，
，
时，w最大，，
答：这串彩灯的最大长度为米．
26. 综合与实践【主题】足球最佳射门位置
【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大．
如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空）
【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点，
求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即．
【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标．
【答案】
【素材】
【实践探索】证明见解析
【迁移运用】
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质（如圆周角定理、切线的性质、垂径定理等）以及米勒圆（最大视角问题）的相关知识，涉及到利用圆的性质比较角的大小、探究最大视角的位置等内容．解题的关键是熟练运用圆中角的大小关系（如同弧所对的圆周角相等、圆外角与圆周角的大小关系），结合切线的性质和垂径定理等，将实际问题转化为几何图形中的角度关系问题，从而确定最大视角的位置并进行相关计算．
利用“同弧圆周角相等”与“三角形任意一个外角大于与它不相邻的一个内角”可得出与；利用“切线的性质”、“垂径定理”、“矩形的判定和性质”、“勾股定理”可求得的长，从而可写出点A的坐标．
【详解】如下图，
设线段与圆弧交于点C，连接，则，
又，所以，，
故答案为：．
【实践探索】连结，其中与圆交于点N，连续．如图所示．
∵，
∴，即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大．
【迁移应用】如图，过点A、点P、点Q作外接圆，圆心为C，根据【实践探索】结论，当点A为的切点时，最大．
连结， 作，垂足为点M．
∵点A为的切点，为圆的半径，
∴，
∵，
∴ （垂径定理），且四边形为矩形（三个角为直角的四边形为矩形）
由点，点知，，则，
∴，即，
在直角三角形中，，
由矩形对边相等知，，
∴．
A
B
C
D
E
A
—
AB
AC
AD
AE
B
BA
—
BC
BD
BE
C
CA
CB
—
CD
CE
D
DA
DB
DC
—
DE
E
EA
EB
EC
ED
—