2026年江苏省常州市初中学业水平数学考试第二次诊断全真模拟试卷

这是一份2026年江苏省常州市初中学业水平数学考试第二次诊断全真模拟试卷，共6页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回，5小时等内容，欢迎下载使用。
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷满分120分，考试时间120分钟。
3.选择题部分，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.非选择题部分，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ）
A．B．-1C．0D．
2．若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（ ）
A．B．C．D．
4．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．16小时、15小时B．8小时、8.5小时
C．10小时、8.5小时D．8小时、9小时
5．正十二边形的外角和为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的弦，半径于D，若的半径为，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
9．分解因式：_______．
10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________．
11．如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B．的面积为8，若点也在此函数的图象上，则________．
12．如图，在平行四边形中，E是上一点，交于点O，若，，则________．
13．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________．
14．若是方程的根，则的值为__________．
15．如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为 ________ ．
16．将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是__________．
17．已知AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O的半径为________．
18．如图，菱形中，，点P是直线上一动点，点E在直线上，若，则的最小值是__________．
三、解答题（本大题共10小题，共计84分，解答题要有必要的文字说明）
19．（8分）解下列方程组和不等式组：
(1)
(2)
20．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
21．（8分）如图，在矩形中，点是边上一点，，于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
22．（8分）在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“马”、“到”、“成”、“功”的四个小球，将其搅匀，这些小球除汉字不同外其他都相同．
(1)从袋中随机取一个小球，恰好是“马”的概率为______；
(2)从袋中随机取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的三个小球中随机取一个，请用画树状图或列表的方法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率（汉字不分先后顺序）．
23．（8分）某校计划成立学生社团，要求每一位学生都选择一个社团，为了了解学生对不同社团的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个学生社团”问卷调查，规定每人必须并且只能在“文学社团”、“科学社团”、“书画社团”、“体育社团”和“其他”五项中选择一项，并将统计结果绘制了如下：
请解答下列问题：
(1)______， ______；
(2)在扇形统计图中，“书画社团”所对应的扇形圆心角度数为______；
(3)若该校共有3000名学生，试估计该校学生中选择“文学社团”的人数．
24．（8分）如图，在和中，，，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
25．（8分）为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图①），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号）
(2)通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端E离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，）
26．（10分）如图，在中，是直角，为的切线，交的延长线于点．过点作，与的延长线交于点．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
27．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点是抛物线上的一个动点．
(1)求的值；
(2)若点在直线上方的抛物线上，连接交于点，连接、，如图1，当的面积是的面积的2倍时，求点的坐标；
(3)过点作直线的垂线，垂足为点．是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
28．（10分）综合与探究
在正方形中，，点E是边上的动点，连接．
(1)【探索发现】如图1，过点D作，求证：；
(2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
(3)【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到，交于点H，求出线段的最小值．
参考答案
1．A
2．A
3．C
4．D
5．C
6．A
7．C
8．C
9．
10．1
11．
12．18
13．
14．
15．
16．
17．．
18．
19．【详解】（1）解：
①②得：，解得：，
将代入②得：，解得：，
方程组的解为：；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：．
20．【详解】解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为，
则这个不等式组的所有整数解为，，，，．
21．【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
22．【详解】（1）解：从袋中随机取一个小球，恰好是“马”的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下，
共有种等可能的结果，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的结果有种，
∴取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率．
23．【详解】（1）解：调查的总人数是(人)，
则(人)，
则；
（2）解：“书画社团”所对应的扇形圆心角度数是，
（3）解：估计该校学生中选择“文学社团”的人数是(人)，
答：估计该校学生中选择“文学社团”的人数约为300人．
24．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，

．
由题意得：，
四边形为矩形，
，．
，
．
，
．
．
答：支点离桌面的高度为；
（2）解：过点作，过点作于点，

．
，，
．
当时，；
当时，；
；
当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约．
26．【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下：
如图，连接，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，即为等腰三角形；
（2）解：的半径为3，
，
，
，，
，
，
为直径，
，
根据三角函数可得，
即，
．
27．【详解】（1）解：把点A的坐标为代入，
得，
解得：；
（2）解：∵，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：或，
∵抛物线与轴交于、两点，
∴、，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴，交直线于点E，如图，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：当点P在上方时，
延长交x轴于点H，作于点N，连结，

∵，，，
∴，
∵点、，
∴，，
∴，
∵点、，
∴，
∴，
∴，
设，则，
则，
∴，
∴，即点，
由点C、H的坐标得，
设直线的表达式，
则，解得：，
∴直线的表达式为；
当点P在下方时，
交x轴于点H，作于点N，连结，
∵，，，
∴，
∵点、，
∴，，
∴，
∵点、，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∴，
则，
∴，
∴，即点，
设直线的表达式，
∵点C、H在直线上，
∴，解得：，
∴直线的表达式为：，
∴和，
解得：（舍去）或或，
即点的坐标为或．
28．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）如图，作于点H，
，
，
，
，
当为等腰三角形时，只有以下两种可能：
①当时，作于点H，如图所示，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得，，
，为等腰直角三角形，
，
∴此时点A、F、C三点共线，
；
②当时，作于点H，如图所示，
设，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
即，
解得，
；
综上所述，或2，的面积为或；
（3）的最小值为．理由如下：
，
∴点F在以的中点M为圆心的圆上，延长交的延长线于点N，
设，
，
，
，
，
，
，
，
若最小，即最小，则最大，
当最大时，与圆M相切，即，
设，
，
，
，
解得或（舍），
，
．
的最小值为．