武汉市黄陂区2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析

这是一份武汉市黄陂区2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析，文件包含东北育才学校2025-2026学年高三下学期临考提升卷语文pdf、东北育才学校2025-2026学年高三下学期临考提升卷语文答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）
A．B．
C．D．
2．复数的模为（ ）．
A．B．1C．2D．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，且，则（ ）
A．1B．C．D．
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
8．已知函数（），若函数在上有唯一零点，则的值为（ ）
A．1B．或0C．1或0D．2或0
9．若的二项展开式中的系数是40，则正整数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．已知向量，，且与的夹角为，则x=（ ）
A．-2B．2C．1D．-1
11．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
12．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为____.
14．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____．
15．过且斜率为的直线交抛物线于两点，为的焦点若的面积等于的面积的2倍，则的值为___________.
16．正四面体的各个点在平面同侧，各点到平面的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；
（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．
18．（12分）已知；.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题且为假命题，求实数的取值范围.
19．（12分）已知函数.
（1）若曲线的切线方程为，求实数的值；
（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
20．（12分）已知函数（）在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若有两个不同的极值点，，且，若不等式恒成立.求正实数的取值范围.
21．（12分）设椭圆E:（a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．
22．（10分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积.
【详解】
如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为.
故选：C
本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.
2．D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：，
复数的模为．
故选：D．
本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
3．B
【解析】
图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
【详解】
，故奇函数，四个图像均符合。
当时，，，排除C、D
当时，，，排除A。
故选B。
图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。
4．C
【解析】
分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.
【详解】
,，
∴．
故选C．
本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.
5．A
【解析】
先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到，再利用复数的除法求解.
【详解】
因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数，
所以
所以
故选：A
本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.
6．C
【解析】
由题可,所以将已知式子中的向量用表示，可得到的关系，再由三点共线，又得到一个关于的关系，从而可求得答案
【详解】
由，则
，即，所以，又共线，则.
故选：C
此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.
7．B
【解析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】
由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
8．C
【解析】
求出函数的导函数，当时，只需，即，令，利用导数求其单调区间，即可求出参数的值，当时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；
【详解】
解：∵（），
∴，∴当时，由得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以是极小值，∴只需，
即.令，则，∴函数在上单
调递增.∵，∴；
当时，，函数在上单调递减，∵，，函数在上有且只有一个零点，∴的值是1或0.
故选：C
本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.
9．B
【解析】
先化简的二项展开式中第项，然后直接求解即可
【详解】
的二项展开式中第项.令，则，∴，∴（舍）或.
本题考查二项展开式问题，属于基础题
10．B
【解析】
由题意，代入解方程即可得解.
【详解】
由题意，
所以，且，解得.
故选：B.
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.
11．D
【解析】
构造函数，利用导数求得的单调区间，由此判断出的大小关系.
【详解】
依题意，得，，.令，所以.所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，且，即，所以.故选：D.
本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.
12．D
【解析】
根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.
【详解】
为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.
，排除.
故选：.
本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．28
【解析】
将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.
【详解】
，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，
展开式中的系数为
故答案为：28.
本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.
14．
【解析】
总事件数为，
目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有
，共8种；
当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种；
所以目标事件共20中，所以。
15．2
【解析】
联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.
【详解】
如图，设，由，则，
由可得，由，则，
所以，得.
故答案为：2
此题考查了抛物线的性质，属于中档题.
16．
【解析】
不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，根据题意F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a， 求得，再用余弦定理求得：，从而求得，再根据顶点A到面EDF的距离为，得到，然后利用等体积法求解，
【详解】
不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，
平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，如图所示：
由题意得：F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），
设棱长为a， ，
顶点D到面ABC的距离为
所以，
由余弦定理得：
，
所以，所以，
又顶点A到面EDF的距离为，
所以，
因为，
所以，
解得，
故答案为：
本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于难题，
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）答案见解析（2）
【解析】
（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；
（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.
【详解】
解：（1）由，，
则，
当时，则，故在上单调递减；
当时，令，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）∵，
,
由得，
∴，，∴
∵∴解得.
∴.
设，
则,
∴在上单调递减；
当时，.
∴，即所求的取值范围为.
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.
18．（1） （2）或
【解析】
（1）根据为真命题列出不等式，进而求得实数的取值范围；（2）应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
【详解】
（1），
且，
解得
所以当为真命题时，实数的取值范围是.
（2）由，可得，
又∵当时，，
.
∵当为真命题，且为假命题时，
∴与的真假性相同，
当假假时，有，解得；
当真真时，有，解得；
故当为真命题且为假命题时，可得或.
本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
19．（1）；（2）或
【解析】
（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为，结合导数的几何意义可得方程，构造函数，并求得，由导函数求得有最小值，进而可知由唯一零点，即可代入求得的值；
（2）将解析式代入，结合零点定义化简并分离参数得，构造函数，根据题意可知直线与曲线有两个交点；求得并令求得极值点，列出表格判断的单调性与极值，即可确定与有两个交点时的取值范围.
【详解】
（1）依题意，，，
设切点为，，
故，
故，则；
令，，
故当时，，
当时，，
故当时，函数有最小值，
由于，故有唯一实数根0，
即，则；
（2）由，得.
所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线在有两个交点”；
由于.
由，解得，.
当变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在，上单调递减，在上单调递增.
又因为，，
，，
故当或时，直线与曲线在上有两个交点，
即当或时，函数在区间上有两个零点.
本题考查了导数的几何意义应用，由切线方程求参数值，构造函数法求参数的取值范围，函数零点的意义及综合应用，属于难题.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）求导得到有两个不相等实根，令，计算函数单调区间得到值域，得到答案.
（2），是方程的两根，故，化简得到，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.
【详解】
（1）由题可知有两个不相等的实根，
即：有两个不相等实根，令，
，，
，；，，
故在上单增，在上单减，∴.
又，时，；时，，
∴，即.
（2）由（1）知，，是方程的两根，
∴，则
因为在单减，∴，又，∴
即，两边取对数，并整理得：
对恒成立，
设，，
，
当时，对恒成立，
∴在上单增，故恒成立，符合题意；
当时，，时，
∴在上单减，，不符合题意.
综上，.
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
，
要使,需使,即,所以,所以又,
所以,所以,即或,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,
所求的圆为,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系．
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性．
22．（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据菱形性质可知，结合可得，进而可证明，即，即可由线面垂直的判定定理证明平面；
（2）结合（1）可证明两两互相垂直.即以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设，连接，如下图所示：
∵侧面为菱形，
∴，且为及的中点，
又，则为直角三角形，
，
又，
，即，
而为平面内的两条相交直线，
平面.
(2)
平面，
平面，
，即，
从而两两互相垂直.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系
，
为等边三角形，
，
，
，
设平面的法向量为，则，即，
∴可取，
设平面的法向量为，则.
同理可取
，
由图示可知二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为.
本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题.
3
0
+
0
极小值
极大值