2025-2026学年湖北省十堰市高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年湖北省十堰市高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知，则，已知，则的值等于等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）．
A．1B．C．2D．3
2．已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．下列结论中正确的个数是（ ）
①已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列；
②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则；
③在中，“”是“”的必要不充分条件；
④若，则的最大值为2.
A．1B．2C．3D．0
4．已知平面和直线a，b，则下列命题正确的是（ ）
A．若∥，b∥，则∥B．若，，则∥
C．若∥，，则D．若，b∥，则
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，，则；
②若，，，则；
③若，，，则；
④若，，，，则.其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
7．若实数满足不等式组则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
9．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ）
A．依次成等差数列B．依次成等差数列
C．依次成等差数列D．依次成等差数列
10．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数( )
A．3B．C．D．
11．在直角中，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点F的轨迹是一条线段B．与BE是异面直线
C．与不可能平行D．三棱锥的体积为定值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为____.
14．设、、、、是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________.
15．若变量，满足约束条件则的最大值是______.
16．已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.
（ⅰ）求面积最大值；
（ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值.
18．（12分）已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为1．
（1）求椭圆的方程；
（1）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，、为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2）
（1）求证：平面；
（2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为：
其中，
（Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；
（Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润l00元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为（单位：元）
（ⅰ）求的分布列；
（ⅱ）若，求的数学期望的最大值.
21．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB =2BC，点Q为AE的中点.
（1）求证：AC//平面DQF；
（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC与平面DQF所成角的正弦值.
22．（10分）已知.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求证：对于，恒成立；
（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，
，渐近线方程为，求出交点，，
，则；选C
考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；
2．B
【解析】
函数的图象恒在轴的上方，在上恒成立.即，即函数的图象在直线上方，先求出两者相切时的值，然后根据变化时，函数的变化趋势，从而得的范围．
【详解】
由题在上恒成立.即，
的图象永远在的上方，
设与的切点，则，解得，
易知越小，图象越靠上，所以.
故选：B．
本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．
3．B
【解析】
根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；
【详解】
解：①已知函数是一次函数，若数列的通项公式为，
可得为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；
②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则与可以相交或平行，故②错误；
③在中，，而余弦函数在区间上单调递减，故 “”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故③错误；
④若，则，所以，当且仅当时取等号，故④正确；
综上可得正确的有①④共2个；
故选：B
本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
4．C
【解析】
根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.
【详解】
A：当时，也可以满足∥，b∥，故本命题不正确；
B：当时，也可以满足，，故本命题不正确；
C：根据平行线的性质可知：当∥，，时，能得到，故本命题是正确的；
D：当时，也可以满足，b∥，故本命题不正确.
故选：C
本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.
5．C
【解析】
利用诱导公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.
【详解】
由可得，∴，
∴.
故选：C.
本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.
6．C
【解析】
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.
【详解】
解：①：、也可能相交或异面，故①错
②：因为，，所以或，
因为，所以，故②对
③：或，故③错
④：如图
因为，，在内过点作直线的垂线，
则直线，
又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则
又，所以
因为，，
所以，所以，故④对.
故选：C
考查线面平行或垂直的判断，基础题.
7．A
【解析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．
【详解】
解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由得，
由得，平移，
易知过点时直线在上截距最小，
所以．
故选：A．
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
8．A
【解析】
由余弦公式的二倍角可得，，再由诱导公式有
，所以
【详解】
∵
∴由余弦公式的二倍角展开式有
又∵
∴
故选：A
本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题
9．C
【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而可得结果.
【详解】
依次成等差数列，，
正弦定理得，
由余弦定理得 ，，即依次成等差数列，故选C.
本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
10．B
【解析】
利用乘法运算化简复数即可得到答案.
【详解】
由已知，，所以，解得.
故选：B
本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
11．C
【解析】
在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
【详解】
在直角中，，，，，
，
若，则
故选C.
本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
12．C
【解析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．
【详解】
对于，设平面与直线交于点，连接、，则为的中点
分别取、的中点、，连接、、，

，平面，平面，
平面．同理可得平面，
、是平面内的相交直线
平面平面，由此结合平面，可得直线平面，
即点是线段上上的动点．正确．
对于，平面平面，和平面相交，
与是异面直线，正确．
对于，由知，平面平面，
与不可能平行，错误．
对于，因为，则到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所以正确；
故选：．
本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．28
【解析】
将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.
【详解】
，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，
展开式中的系数为
故答案为：28.
本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.
14．
【解析】
根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，求得四棱锥的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值.
【详解】
由已知可得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，棱锥的高为，底面边长为，的体积
，当且仅当时等号成立.
故答案为：
本小题主要考查球的表面积有关计算，考查球的内接四棱锥体积的最值的求法，属于中档题.
15．9
【解析】
做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出的最大值.
【详解】
做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，
目标函数过点时取得最大值，
联立，解得，即，
所以最大值为9.
故答案为:9.
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.
16．20,21
【解析】
由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.
【详解】
解: 由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,
偶数项构成公比为的等比数列,
则;
.
当时, ,.
当时, ,.
由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.
故答案为: 20,21
本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
（1）由，解方程组即可得到答案；
（2）（ⅰ）设，，则，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线斜率为，直线方程为，联立椭圆方程得到的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可.
【详解】
（1）设，由，得.
将代入，得，即，
由，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，则，
（ⅰ）易知为的中位线，所以，
所以，
又满足，所以
，得，
故，当且仅当，即，时取等号，
所以面积最大值为.
（ⅱ）记直线斜率为，则直线斜率为，
所以直线方程为.
由，得，
由韦达定理得，所以，
代入直线方程，得，
于是，直线斜率，
所以直线与斜率之积为定值.
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线的位置关系的答题时，一般会用到根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
18．（1） （1）不存在，理由见解析
【解析】
（1）利用离心率和过点，列出等式，即得解
（1）设的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理表示中点N的坐标，用点坐标表示，利用韦达关系代入，得到关于k的等式，即可得解.
【详解】
（1）由题意，可得解得
则，
故椭圆的方程为．
（1）当直线的斜率不存在时，
，不符合题意．
当的斜率存在时，
设的方程为，
联立得，
设，
则，，
，即．
设，则，
，
，
则，
即，
整理得，此方程无解，故的方程不存在．
综上所述，不存在直线使得．
本题考查了直线和椭圆综合，考查了弦长和中点问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
19．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）先连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，证明平面平面，得到点在底面上的投影必落在直线上，记为点在底面上的投影，连接，，得出即是直线与平面所成角，再由题中数据求解，即可得出结果.
【详解】
（1）连接，因为等腰梯形中（如图1），，，
所以与平行且相等，即四边形为平行四边形；所以；
又为线段的中点，为中点，易得：四边形也为平行四边形，所以；
将四边形沿折起后，平行关系没有变化，仍有：，且，
所以翻折后四边形也为平行四边形；故；
因为平面，平面，
所以平面；
（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，
因为，，翻折前梯形的高为，
所以，则，；
所以；
又，，
所以，即，所以；
又，且平面，平面，
所以平面；因此，平面平面；
所以点在底面上的投影必落在直线上；
记为点在底面上的投影，连接，，
则平面；
所以即是直线与平面所成角，
因为，所以，
因此，，
故；
因为，
所以，
因此，故，
所以.
即直线与平面所成角的正弦值为.
本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.
20．（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）数学期望的最大值为280
【解析】
（Ⅰ）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，由独立重复事件的特点得出，利用二项分布的概率公式，即可求出结果；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，根据离散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由题意知，，解得，根据的分布列，得出的数学期望，结合，即可算出的最大值.
【详解】
解：（Ⅰ）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，则，
则，
故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，
，，
，，
的分布列为：
（ⅱ），
由题意知，，，
，
，又，即，解得，
，
，
当时，的最大值为280，
所以的数学期望的最大值为280.
本题考查独立重复事件和二项分布的应用，以及离散型分布列和数学期望，考查计算能力.
21．（1）见解析（2）
【解析】
（1）连接交于点，连接，通过证明，证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以点为的中点，又因为为的中点，所以；
平面平面，
平面.
（2）解：，设，则，在中，，由余弦定理得：，
．
又，平面．．
平面．
如图建立的空间直角坐标系．
在等腰梯形中，可得．
则．
那么
设平面的法向量为，
则有，即，取，得．
设与平面所成的角为，则．
所以与平面所成角的正弦值为．
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22．（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）详见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）对函数求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数的单调区间.（2）构造函数，利用导数求得函数在上递减，且，则，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数，对分成三类，讨论函数的单调性、极值和最值，由此求得的取值范围.
试题解析：
（1）
，
当时，.
解得．
当时，解得．
所以单调减区间为，
单调增区间为．
（2）设
，
当时，由题意，当时，
恒成立．
，
∴当时，恒成立，单调递减．
又，
∴当时，恒成立，即．
∴对于，恒成立．
（3）因为
．
由（2）知，当时，恒成立，
即对于，，
不存在满足条件的；
当时，对于，，
此时．
∴，
即恒成立，不存在满足条件的；
当时，令，
可知与符号相同，
当时，，，
单调递减．
∴当时，，
即恒成立．
综上，的取值范围为．
点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.
2
3
4
0.4
200
250
300
350
400
0.16