2025年大理白族自治州高考数学一模试卷含解析

这是一份2025年大理白族自治州高考数学一模试卷含解析，共12页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，当时，（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面向量，，，则实数x的值等于（ ）
A．6B．1C．D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）
A．B．C．D．
6．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
9．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10． 的内角的对边分别为，已知，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )
A．16B．17C．18D．19
12．设，分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数，若在上的最大值为，则________.
14．若满足约束条件，则的最大值为__________．
15．已知中，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是__________.
16．已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值大小.
18．（12分）已知直线是曲线的切线.
（1）求函数的解析式，
（2）若，证明:对于任意，有且仅有一个零点.
19．（12分）已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和.
20．（12分）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知在处的切线与轴垂直，若方程有三个实数解、、（），求证：.
21．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：
若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？
22．（10分）已知函数.
（1）当时，判断在上的单调性并加以证明；
（2）若，，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.
【详解】
解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，
因为是奇函数，
所以，解得，
因为，所以的最小值为.
故选：
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
2．A
【解析】
根据向量的坐标运算，求出，，即可求解.
【详解】
，
.
故选:A.
本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.
3．A
【解析】
根据向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】
，，，
，
即，
故选：A
本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.
4．B
【解析】
由题可知，，再结合双曲线第一定义，可得，对有，
即，解得，再对，由勾股定理可得，化简即可求解
【详解】
如图，因为，所以.因为所以.
在中，，即，
得，则.在中，由得.
故选：B
本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题
5．A
【解析】
结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点，满足，
即，
，，且，
，，
，，，
当时，为函数的一个极小值点，而．
故选：．
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．
6．D
【解析】
由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．
【详解】
解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，
对应区域为边长为的正方形，其面积为，
若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，
其面积；则有，解得
故选：．
本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
7．A
【解析】
建立平面直角坐标系，求出直线，
设出点，通过，找出与的关系．
通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围．
【详解】
以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，
设，则直线 ，
设点，
所以
由得 ，即 ，
所以，
由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A．
本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．
8．C
【解析】
利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.
【详解】
如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线
平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面
内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因
为，所以，从而，故④正确.
故选：C.
本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.
9．B
【解析】
设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】
设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，
由题意可知，直线与直线垂直，，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.
10．A
【解析】
先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B.
【详解】
由正弦定理可得，即，即有，因为，则，而，所以.
故选：A
此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.
11．B
【解析】
由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，，
累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值．
【详解】
解：，
即，，
时，，
，
两式相除可得，
则，，
由，
，
，
，，
可得
，
且，
正整数时，要使得成立，
则，
则，
故选：．
本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.
12．C
【解析】
设过点作圆 的切线的切点为，根据切线的性质可得，且，再由和双曲线的定义可得，得出为中点，则有，得到，即可求解.
【详解】
设过点作圆 的切线的切点为，
，
所以是中点，，
，
.
故选:C.
本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.
【详解】
解：定义域为
，
在上单调递增，
故在上的最大值为
故答案为：
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.
14．4
【解析】
作出可行域如图所示：
由，解得.
目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.
15．
【解析】
设，利用正弦定理，根据，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，转化为 有解问题求解.
【详解】
设，
所以， 即①
由余弦定理得，
即 ②，
①②平方相加得：，
即 ，
令，设 ，在上有解，
所以 ，
解得，即 ，
故答案为：
本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.
16．
【解析】
取的中点为M，由可得，可得M在上，当最小时，弦的长才最大.
【详解】
设为的中点，，即，
即，，.
设，则，得.
所以，.
故答案为：
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；
（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设中点为，连接、，
为等边三角形，
，
，，
，
，即，
，
，
平面，平面，
平面，
为的中位线，
，
平面，平面，
平面，
、为平面内二相交直线，
平面平面，
平面DMN，
平面；
（2）设中点为，连接、
为等边三角形，是等腰三角形，且顶角
，，
、、共线，
，，，，平面
平面.
平面
平面平面，交线为，平面
平面.
设，则
在中，由余弦定理，得：
又，
，
，，
，为中点，
，
建立直角坐标系（如图），则
，，，.
，，
设平面的法向量为，则，
，
取，则，
，
平面的法向量为，
，
二面角为锐角，
二面角的余弦值大小为.
本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.
18．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）对函数求导，并设切点，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得，即可得答案；
（2）当x充分小时，当x充分大时，可得至少有一个零点. 再证明零点的唯一性，即对函数求导得，对分和两种情况讨论，即可得答案.
【详解】
（1）根据题意，，设直线与曲线相切于点.
根据题意，可得，解之得，
所以.
（2）由（1）可知，
则当x充分小时，当x充分大时，∴至少有一个零点.
∵，
①若，则，在上单调递增，∴有唯一零点.
②若令，得有两个极值点，
∵，∴，∴.
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴极大值为.，又，
∴在(0，16)上单调递增，
∴，
∴有唯一零点.
综上可知，对于任意，有且仅有一个零点.
本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（Ⅱ）求得，然后利用裂项相消法可求得.
【详解】
（Ⅰ）设数列的公比为，由题意及，知.
、、成等差数列成等差数列，，，
即，解得或（舍去），.
数列的通项公式为；
（Ⅱ），
.
本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.
20．（1）①当时， 在单调递增,②当时，单调递增区间为,,单调递减区间为
（2）证明见解析
【解析】
（1）先求解导函数，然后对参数分类讨论，分析出每种情况下函数的单调性即可；
（2）根据条件先求解出的值，然后构造函数分析出之间的关系，再构造函数分析出之间的关系，由此证明出.
【详解】
（1），
①当时，恒成立，则在单调递增
②当时，令得，
解得，
又，∴
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
（2）依题意得，，则
由（1）得，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增
∴若方程有三个实数解，
则
法一：双偏移法
设，则
∴在上单调递增，∴，
∴，即
∵，∴，其中，
∵在上单调递减，∴，即
设，
∴在上单调递增，∴，
∴，即
∵，∴，其中，
∵在上单调递增，∴，即
∴.
法二：直接证明法
∵，，在上单调递增，
∴要证，即证
设，则
∴在上单调递减，在上单调递增
∴，
∴，即
（注意：若没有证明，扣3分）
关于的证明：
（1）且时，（需要证明），其中
∴
∴
∴
（2）∵，∴
∴，即
∵，，∴，则
∴
本题考查函数与倒导数的综合应用，难度较难.（1）对于含参函数单调性的分析，可通过分析参数的临界值，由此分类讨论函数单调性；（2）利用导数证明不等式常用方法：构造函数，利用新函数的单调性确定函数的最值，从而达到证明不等式的目的.
21．（1）；（2）投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大
【解析】
（1）首先计算出在，内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出.
（2）分别计算出投入艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.
【详解】
（1）年龄在内的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，年龄在内的人数为4人.
可得.
（2）①当投入1艘型游船时，因客流量总大于1，则（万元）.
②当投入2艘型游船时，
若，则，此时；
若，则，此时；
此时的分布列如下表：
此时（万元）.
③当投入3艘型游船时，
若，则，此时；
若，则，此时；
若，则，此时；
此时的分布列如下表：
此时（万元）.
由于，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.
本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
22．（1）在为增函数；证明见解析（2）
【解析】
（1）令，求出，可推得，故在为增函数；
（2）令，则，由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，.
记，则，
当时，，.
所以，所以在单调递增，所以.
因为，所以，所以在为增函数.
（2）由题意，得，记，则，
令，则，
当时，，，所以，
所以在为增函数，即在单调递增，
所以.
①当，，恒成立，所以为增函数，即在单调递增，
又，所以，所以在为增函数，所以
所以满足题意.
②当，，令，，
因为，所以，故在单调递增，
故，即.
故，
又在单调递增，
由零点存在性定理知，存在唯一实数，，
当时，，单调递减，即单调递减，
所以，此时在为减函数，
所以，不合题意，应舍去.
综上所述，的取值范围是.
本题主要考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力，属于难题.
劳动节当日客流量
频数（年）
2
4
4
劳动节当日客流量
型游船最多使用量
1
2
3
2.5
6
2
5.5
9