2025-2026学年云南省大理白族自治州高考数学三模试卷（含答案解析）

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1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行下面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（ ）
A．B．C．D．
2．定义在R上的函数，，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．
A．B．C．D．
5．如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．72B．64C．48D．32
8．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．2D．
10．下列结论中正确的个数是（ ）
①已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列；
②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则；
③在中，“”是“”的必要不充分条件；
④若，则的最大值为2.
A．1B．2C．3D．0
11．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．、
B．、
C．、
D．、
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则____.
14．记为数列的前项和，若，则__________.
15．已知，满足约束条件，则的最大值为________．
16．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，，，，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.
（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？
（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.
参考公式：，其中.
参考临界值：
18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.
（1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；
（2）求二面角D-AP-B的余弦值；
（3）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明.
19．（12分）已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.
20．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
21．（12分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：
（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；
（2）已知检索关键字的选取规则为：
①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；
②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的的观测值越大，排名就越靠前；
设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为，，.已知，，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.
附：，其中.
22．（10分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据程序框图，逐步执行，直到的值为63，结束循环，即可得出判断条件.
【详解】
执行框图如下：
初始值：，
第一步：，此时不能输出，继续循环；
第二步：，此时不能输出，继续循环；
第三步：，此时不能输出，继续循环；
第四步：，此时不能输出，继续循环；
第五步：，此时不能输出，继续循环；
第六步：，此时要输出，结束循环；
故，判断条件为.
故选B
本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.
2．D
【解析】
根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．
【详解】
由条件可得
函数关于直线对称；
在，上单调递增，且在时使得；
又
，，所以选项成立；
，比离对称轴远，
可得，选项成立；
，，可知比离对称轴远
，选项成立；
，符号不定，，无法比较大小，
不一定成立．
故选：．
本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．C
【解析】
对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.
【详解】
∵ ，.
当时，，在上单调递增，不合题意.
当时，，在上单调递减，也不合题意.
当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.
综上，的取值范围是.
故选C.
本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．
4．C
【解析】
设M,N,P分别为和的中点，得出的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.
【详解】
根据题意画出图形:
设M,N,P分别为和的中点，
则的夹角为MN和NP夹角或其补角
可知，.
作BC中点Q，则为直角三角形；
中，由余弦定理得
，
在中，
在中，由余弦定理得
所以
故选：C
此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.
5．B
【解析】
根据二次函数图象的对称轴得出范围，轴截距，求出的范围，判断在区间端点函数值正负，即可求出结论.
【详解】
∵，结合函数的图象可知，
二次函数的对称轴为，，
，∵，
所以在上单调递增.
又因为，
所以函数的零点所在的区间是.
故选:B.
本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.
6．A
【解析】
由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解．
【详解】
由三视图还原原几何体如图，
该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，
半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．
则几何体的体积为．
故选：．
本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
7．B
【解析】
由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
【详解】
由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，
所以几何体的体积为，故选B。
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。
8．C
【解析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.
【详解】
因为正方形为朱方，其面积为9，
五边形的面积为，
所以此点取自朱方的概率为.
故选：C
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
9．D
【解析】
把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.
【详解】
解：，
则.
故选：D.
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.
10．B
【解析】
根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；
【详解】
解：①已知函数是一次函数，若数列的通项公式为，
可得为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；
②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则与可以相交或平行，故②错误；
③在中，，而余弦函数在区间上单调递减，故 “”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故③错误；
④若，则，所以，当且仅当时取等号，故④正确；
综上可得正确的有①④共2个；
故选：B
本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
11．A
【解析】
直线的方程为，令，得，得到a,b的关系，结合选项求解即可
【详解】
直线的方程为，令，得.因为，所以，只有选项满足条件.
故选：A
本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.
12．A
【解析】
设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，
得到，进而变形即可求解.
【详解】
由题意，设，则，
又由，所以，即函数在R上单调递增，
则，即，
变形可得.
故选：A.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
过点做,可得，，由可得，可得，代入可得答案.
【详解】
解：如图，过点做,
易得：,,
,故,可得：，
同理：,,可得,
,
由，可得,
可得：,可得：，
,
故答案为：.
本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出是解题的关键.
14．-254
【解析】
利用代入即可得到，即是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可.
【详解】
由已知，得，即，所以
又，即，，所以是以-4为首项，2为公比的等比数
列，所以，即，所以。
故答案为：
本题考查已知与的关系求，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
15．
【解析】
根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解.
【详解】
可行域如图所示，
易知当，时，的最大值为．
故答案为：9.
本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题.
16．
【解析】
根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域.
【详解】
函数的图像向右平移个单位得，
，
，
.
故答案为：.
本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，， .
【解析】
（1）由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算的值，结合参考临界值表可得到结论；
（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率.由题意，求出分布列，根据公式求出期望和方差.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为
又，
所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.
（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为.
依题意知，所以（），所以的分布列为
所以期望，方差.
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.
18．（1）（2）（3）直线平面，证明见解析
【解析】
取中点，连接，则，再由已知证明平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量．
（1）求出的坐标，由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值；
（2）求出平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）求出的坐标，由，结合平面，可得直线平面．
【详解】
底面是边长为2的菱形，，
为等边三角形．
取中点，连接，则，
为等边三角形，
，
又平面平面，且平面平面，
平面．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，1，，，0，，，，，，0，，
，，，，，．
，，设平面的一个法向量为．
由，取，得．
（1）证明：设直线与平面所成角为，
，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（2）设平面的一个法向量为，
由，
得二面角的余弦值为；
（3），
，
又平面，
直线平面．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出、的值，进而可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、、，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式，并代入韦达定理，消去，可得出点的横坐标，进而可得出结论.
【详解】
（1）由题意得，解得，.
所以椭圆的方程是；
（2）设直线的方程为，、、，
由，得.
，则有，，
由，得，由，可得，
，
，
综上，点在定直线上.
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
20．（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴
∵平面底面，平面底面，
∴底面平面，∴
又由题意可知为正方形，
又，∴平面
平面，∴平面平面
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，
设平面的法向量为，则
令，则，
∴
由（1）知平面的法向量可取为
∴
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21．（1）该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小；属于“山水田园”类别的概率约为；属于“其他”类别的概率约为（2）填表见解析；选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”
【解析】
（1）根据统计图表算出频率，比较大小即可判断；
（2）根据统计图表完成列联表，算出观测值，查表判断.
【详解】
（1）由上表可知，
该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小
属于“山水田园”类别的概率约为；属于“其他”类别的概率约为；
（2）列联表如下：
计算得：；
因为，，所以有超过95%的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有关系，故“花”和“帘”是“爱情婚姻”的关键字，而“山”不是；
又因为，故选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”.
本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点.考查了学生对统计图表的识读与计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养.
22．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）求得的导函数，对分成两种情况，讨论的单调性.
（2）由（1）判断出的取值范围，根据韦达定理求得的关系式，利用差比较法，计算，通过构造函数，利用导数证得，由此证得，进而证得不等式成立.
【详解】
（1）.
当时，，此时在上单调递减；
当时，由解得或，∵是增函数，∴此时在和单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知.，，，
不妨设，∴，
，
令，
∴，
∴在上是减函数，，
∴，即.
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
理科方向
文科方向
总计
男
110
女
50
总计

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
爱情婚姻
咏史怀古
边塞战争
山水田园
交游送别
羁旅思乡
其他
总计
篇数
100
64
55
99
91
73
18
500
含“山”字的篇数
51
48
21
69
48
30
4
271
含“帘”字的篇数
21
2
0
0
7
3
5
38
含“花”字的篇数
60
6
14
17
32
28
3
160
属于“爱情婚姻”类
不属于“爱情婚姻”类
总计
含“花”字的篇数
不含“花”的篇数
总计
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
理科方向
文科方向
总计
男
80
30
110
女
40
50
90
总计
120
80
200
0
1
2
3
P
属于“爱情婚姻”类
不属于“爱情婚姻”类
共计
含“花”的篇数
60
100
160
不含“花”的篇数
40
300
340
共计
100
400
500