江西省萍乡市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份江西省萍乡市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了下列求导结果正确的是， 设函数，已知函数等内容，欢迎下载使用。
准考证号姓名
（在此卷上答题无效）
萍乡市 2025—2026 学年度高二期中考试数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4
页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡
上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
设等比数列 的前项和为 ，且公比为，若 ，则
A．7B．8C．12D．14
已知函数的导函数为，且 ，则
B．C．D． 3．下列求导结果正确的是
B．
C．D．
在数列中，若，则 的值为
附：统计量临界值表
0.10
0.05
0.010.005
2.706
3.841
6.6357.879
其中
，
．
B．C．D． 5．某医疗研究机构为检验某种新研发的药物对特定疾病治疗是否有效，随机选取了 200 名患者进行双盲实验．其中 100 人服用新药，100 人服用旧药，统计结果如下表．
治愈
未治愈
合计
服用新药
67
33
100
服用旧药
48
52
100
合计
115
85
200
则下列说法正确的是
有 99.5%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效
有 99.5%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效
有 99%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效
有 99%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效
已知函数在上单调递增，则实数 的取值范围是
B．C．D．
已知函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
B．C．D．
D．
已知数列满足：，，若对于 ，都有，则实数 的取值范围是
B．C．
多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知函数的导函数为 ，则下列说法正确的是
函数在 上单调递减B．函数在 上单调递减
C．函数在 处取得极小值D．函数在处取得极大值
在一项关于学生体能测试的研究中，某研究小组随机选取了 100 名学生作为研究对象．他们记录了每位学生的日常锻炼时间（记为变量，单位：小时）与体能测试得分（记为变量
，单位：分）的数据．通过对这 100 组成对数据 进行统计分析，某学生计算出回归直线方程为，则下列说法正确的是
体能测试得分与日常锻炼时间正相关 B．该样本数据的相关系数为 4.8 C．该样本数据中的所有点 都可以不在该回归直线方程上
D．某学生的日常锻炼时间为 2 小时，则他的体能测试得分一定为 82 分
已知定义在上的函数的导函数为，若 ，且
，则下列说法正确的是
A．
在处取得最小值
时， 恒成立D．
萍乡市 2025—2026 学年度高二期中考试数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共 2 页，须用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知数列 满足 ， ，则 ．
已知函数 ，直线 与曲线 相切于点 ，则 ．
已知数列 的前项和为 ， ， ，则 ．
解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分）
已知数列 为等差数列，前项和为 ， ，且 ．
求 的通项公式；
求数列的前项和．
16．（本小题满分 15 分） 设函数．
当时，求的最小值；
求在上的极值．
17．（本小题满分 15 分）
2026 年国务院政府工作报告明确指出：支持有条件的地方推广中小学春秋假，落实职工带薪错峰休假制度，这一政策直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多游客，根据往年数据拟定价格，有关门票价格和日游客人数的数据如下表所示：
已知 与 具有线性相关关系，求出 关于 的线性回归方程；
为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为 10（元/人），并计划做广告宣 传．由前期调查可知，当日均广告费为 千元时的日游客人数为千人，其中是当门票为 10（元/人）时，根据（1）的回归方程所预测的日游客人数．求景区的日 均广告费用为多少千元时，日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数广告费）
参考数据：，．
参考公式：线性回归方程， ．
18．（本小题满分 17 分）
设数列的前 项和为 ，且满足 ．
求的通项公式；
若数列满足，求数列的前 项和 ；
对于（2）中的 ，若对任意的 ，不等式恒成立，求实数 的取值范围．
19．（本小题满分 17 分）已知函数．
证明：函数在上存在唯一零点；
设函数．
讨论的极值点的个数；
设数列 满足： ， ，证明：．
门票价格 （元/人）
30
40
50
60
70
日游客人数 （千人）
21
20
14
8
7
萍乡市 2025—2026 学年度第二学期期中考试
高二数学试题参考答案及评分标准
单项选择题（8×5=40 分）：DCBAD；CDB．
【8 解析】当时，由得：，于是
对
，
，当
时
，即也满足，，
恒成立，则，
令，
，即
.
当且仅当时，等号成立，这与 矛盾，考虑当 时， ，当 时， ，故
多项选择题（3×6=18 分）：ACD；AC；ACD．
【说明：第 10 题全部选对得 6 分，选对 1 个得 3 分，有选错的得 0 分；第 9，11 题全部选
，设
以
在
对得 6 分，选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分，有选错的得 0 分．】
【11 解析】由已知 ，得
， 得， 令 ， 得， 所
上单调递增，在上单调递减，所以 ，即，
A 选项正确；
从而
，令
，得
，所以
在
上单调递减，可得 B 错误；
时，
时，
，
时，
时，
，
恒成立，C 项正确；
，即
，由
设
，得，所以，上单调递增，在
， 所以
由
在
上单调递减， ，所以 ，又 ，所以 ，D 选项正确.
填空题（3×5=15 分）：12．；13． ；14． ．
，得
，
【14 解析】由已知
当为奇数时， ；当为偶数时， .
所以
，
所以
.
解答题（共 77 分）
,
15．（1）设等差数列的首项为 ，公差为
得
.故
由题意可知； ， 分 分
（2）由（1）可知 ，则 ，令
所以 分
则前项和为：
分
16.（1）函数的定义域为，当时， ， ，
令 ，得 ，2 分
所以在上单调递减，在 上单调递增，4 分
所以；6 分
（2）由已知， ，8 分
①当时，在上恒成立， 在 上单调递增.
所以在上没有极值；11 分
②当时，令，得 .则在 上单调递减，
在 上单调递增.所以在 上的极小值为，
没有极大值14 分
综上所述，当时， 在 上没有极值；
当 时， 在 上的极小值为 ， 没有极大值15 分
17.（1）由题意得： 分
分
所以关于的线性回归方程为 分
（2）设门票净收入为，则 ，由（1） 时，
.8 分
故，10 分
若要使最大，则，代入可得，又因为，故 ，14 分
所以当门票定价为 10 元时，日广告费用为 5 千元时门票净收入最大15 分
当
,
，则
18.（1）由 ，当 时， ，解得 分 ，即，3 分
故 是公比为 3 的等比数列， ，所以 ， 也适合此式， 分
因为 所以 ，5 分
从而
，
，7 分
两式相减得 分 ，解得10 分
由（2）得不等式，可变为
当为奇数时，，11 分
记，所以 ， ，
令，得12 分
且取奇数时， 单调递增，此时，即 ；14 分
当为偶数时，，所以 ，15 分
同理可知， ， 单调递增， 此时 ， 所以， 即
.16 分
综上所述，实数 的取值范围为 分
所以
在
19.（1）由已知 ，，则恒成立..1 分上单调递增，2 分
又
，
，3 分
所以存在唯一 ，使，问题得证；4 分
（2）（i）由已知，可得，
，得
或
令
.6 分
①当 时，函数在 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以有 2 个极值点；7 分
②当时，函数在上单调递增，所以 没有极值点；8 分
③ 当 时， 函数 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在
上 单 调 递 增 ， 所以有2 个极值点9 分
综上所述，当 时，有 2 个极值点；当 时，没有极值点；当 时， 有 2 个极值点10 分
（ ii） 由（ i） 知，当 时， 函数 在 上单调递增，则当 时， ，即13 分
由已知，易知 ，则数列 单调递减，且 .
有 ， 即， 累加可得 ， 即得
，又，所以17 分