2026届高考数学一轮专题训练立体几何初步（真题演练） [含答案]

这是一份2026届高考数学一轮专题训练立体几何初步（真题演练） [含答案]，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2025·长沙模拟）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安化模拟）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3πB．6πC．9πD．12π
3．（2025·深圳模拟）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·腾冲模拟）如图，在正四棱锥中，，，点，分别在棱，上运动，且满足，，其中，则三棱锥的最大体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·广东模拟）《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，即，其中常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长），设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）、球（直径为）的“立圆率”分别为、、，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·浙江模拟）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·湘阴模拟）已知，，，是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·北京市模拟）故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题
9．（2025·温州模拟）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（ ）
A．B．
C．平面D．平面
10．（2025·安化模拟）如图，在直三棱柱中，，，点M是线段上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当M为的中点时，平面
B．四面体的体积为定值
C．的最小值为
D．四面体的外接球半径的取值范围是
11．（2025·苏州模拟）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内的动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．使三棱锥体积取得最大值的点唯一
B．存在点，使得直线与的夹角为
C．时，点的轨迹是线段
D．平面时，点的轨迹长为
三、填空题
12．（2025·夏津模拟）陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是 （用数字作答）．
13．（2025·广东模拟）如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则为 .
14．（2025·湖南模拟）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ．
四、解答题
15．（2025·广东模拟）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，.
（1）证明平面；
（2）求平面与平面的夹角.
16．（2025·浙江模拟）如图，已知正方形和等腰梯形所在的平面互相垂直，，，.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
17．（2025·阳西模拟）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若异面直线和垂直，求二面角的正弦值.
18．（2025·长沙模拟）如图，在四棱锥中，棱平面，底面四边形是矩形，，点为棱的中点，点在棱上，.
（1）求证：；
（2）已知平面与平面的交线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
19．（2025·桐乡市模拟）如图，已知，平面平面，，，，点为梯形内（包括边界）一个动点，且平面．
（1）求点的轨迹长度；
（2）当线段最短时，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
答案解析部分
1．【正确答案】A
2．【正确答案】C
3．【正确答案】A
4．【正确答案】C
5．【正确答案】A
6．【正确答案】B
7．【正确答案】A
8．【正确答案】B
9．【正确答案】B,D
10．【正确答案】A,B,D
11．【正确答案】B,C,D
12．【正确答案】24
13．【正确答案】
14．【正确答案】
15．【正确答案】（1）证明：∵，，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：∵平面，、平面 ，
∴，，
∴SA，AD，AB两两垂直，
如图所示，以所在直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，，
∵平面，平面，，，
，，平面，
∴平面，
∴平面的一个法向量为，
设为平面的一个法向量，
，，
，令，则，，，
设平面与平面的夹角大小为，
，
∵，∴，∴平面与平面的夹角大小为
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16．【正确答案】（1）证明：设与交于点，连接，
在正方形中，，所以，所以，
而，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：设的中点为，连接，
因为四边形为等腰梯形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
如图所示，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，，，设，，
则，，
因为，所以，解得（舍去）.
所以，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以.
因为，所以
所以二面角的正弦值为.
​​​​​​
17．【正确答案】（1）证明：由题知，，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以，
又是中点，
所以，又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）解：由题知，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
过作，因为，所以，
则，设，
则，即，
又，即，
所以，
所以，即，
则，
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则，取，可得，
又，可得，
取，可得，
令平面与平面的夹角为，
则，
所以，
即二面角的正弦值为.
18．【正确答案】（1）证明：因为底面四边形是矩形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为为中点，，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：在矩形中，，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
所以为与直线所成角，
在中，，，则，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，，
即，
易知平面的一个法向量为，
则，由图可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
19．【正确答案】（1）解：因为平面平面，，平面平面，
平面，所以平面，
又因为，如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
设AB=b，则，，
因为点为梯形内（包括边界）一个动点，可设，所以，
又，
设平面的法向量为，
则，令z=1，则x=b，y=b，所以，
因为平面，所以，
所以，即，
取，则；取，则，所以的轨迹长度为.
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（2）解：取的中点为，连接，连，由（1）可得的轨迹为.
又由（1）可得平面，
因为平面，所以，由勾股定理可知，，
若线段最短，则最短，此时有，
而，所以点为的中点，所以，
所以，，，，
设平面的法向量为，
故，令t=1，则u=b，v=0，所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理得，解得或，
易得平面，所以点到平面的距离为或，
所以到直线的距离为，
易得，所以，
故三棱锥的体积为或者为.