2026年广西壮族自治区崇左市天等县中考一模数学试题（含解析）（中考模拟）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
3．不能使用计算器．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分）
1. 我国机器人产业已实现规模、市场与应用的全球领先，下面有关机器人的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义，逐项分析求解即可．
【详解】解：A． 该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B． 该图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C． 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
2. 若实数满足，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系以及完全平方公式求解．
【详解】解：∵实数，满足，且，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
3. 若，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算及有理数的大小比较；解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算出各数的值后再进行大小比较．
【详解】解：先分别计算a，b，c，d的值：
；；；．
比较大小：，即．
4. 若与为同类项，则的值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】利用同类项的定义得到的值，再通过变形所求代数式，整体代入计算结果．
【详解】解：与是同类项，
∴，
．
5. 《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设有人，辆车，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等量关系“若每3人共乘一辆车，最终剩余２辆车；若每２人共乘一辆车，最终剩余９人无车可乘”列出方程组即可．
【详解】解：由题意，可列方程组为：．
6. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围．
【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限，
∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于，
∵点的纵坐标为，已经满足要求，
∴只需满足横坐标小于，即 ，
解得．
7. 如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】先推导出，求出，再根据勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴．
8. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等求出，根据直径所对的圆周角是直角求出，进而求出，最后利用圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】如图，连接，
∵ 与对着同一条弧，
∴ ，
∵ 是的直径，
∴ ，
∴ ，
∵四边形内接于，
∴，
∴．
9. 如图，一束平行光线穿过放置于水平地面的正五边形的两个顶点A，B，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出正五边形每个内角的度数，进而得到，根据平行线的性质得到，即可求出的度数．
【详解】解：∵正五边形的内角和为，且每个内角的度数都相等，
∴正五边形每个内角的度数为，
∴．
如图，
∵平行光线，
∴，
∴．
10. AI模型的出现为我们带来了极大的便利．某数学小组计划从“豆包”“DeepSeek”“千问”“元宝”这四款模型中任选两款使用，若选择每一款的可能性相等，则其中必有一款是“豆包”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题用列举法求古典概型的概率，先找出所有等可能的选法，再找出符合“必有一款是豆包”的选法，代入概率公式计算即可得到结果．
【详解】将“豆包”“DeepSeek”“千问”“元宝”分别记为，，，.
∵从四款模型中任选两款，所有等可能的结果为：，，，，，，共种，
其中必有一款是豆包（即包含）的结果有，，，共种，
∴所求概率．
11. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从函数图象的角度看，求关于的不等式的解集就是确定直线在上方部分对应x的取值范围．因此先将点代入函数，求出n的值，再根据图象即可解答．
【详解】解：∵直线过点
∴，解得，
∴直线与直线交于点，
∴由图象可得，关于的不等式的解集为．
12. 如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解．
【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，
交的延长线于点，
，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴点的横纵坐标的绝对值相等，
又∵点在第一象限，
∴点的横纵坐标相等，
设点，，且点在反比例函数上，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）
13. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____．
【答案】35
【解析】
【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可．
【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为．
14. 若多项式是一个完全平方式，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据在完全平方式中，两项是两个数或式的平方且符号相同，另一项是这两个数或式乘积的2倍，符号可正可负，据此逐项判断即可．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴，
∴，即．
15. 现定义某种运算“”：对于任意两个数和，有，例如：，请按定义计算______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义的新运算，将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项即可得到结果．
【详解】解：
，
故答案为：．
16. 如图，为的一条弦，为等边三角形，圆心O在内部，的延长线交于点D，连接，过点O作的垂线分别交，于点E，F．若，，则的长为______．
【答案】7
【解析】
【分析】由垂径定理得，，结合等边三角形的性质以及解直角三角形的性质，列式计算得，再把数值代入，最后运用勾股定理列式计算得．
【详解】解：∵，，
∴．
∵经过圆心O，，
∴，，
∴等边三角形的边长为5．
如图，过点A作于点G，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵．
在中，
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）．
17. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后进行减法计算即可；
（2）先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，再加减即可；
（3）先根据平方差公式进行化简，再根据完全平方公式进行化简即可；
（4）根据完全平方公式进行化简，
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【小问3详解】
解：原式
；
【小问4详解】
解：原式
．
18. 已知整式，．
（1）化简整式P；
（2）计算的结果；
（3）当，时，计算（2）的结果．
【答案】（1）
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）去括号，合并同类项，即可求解；
（3）把，代入（2）中的结果，即可求解．
【小问1详解】
解：∵
；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∵，
∴
；
【小问3详解】
解：当，时，
．
19. 如图，与相交于点O，于点O，且，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，运用两直线平行，内错角相等得，结合，则，根据，故，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵于点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，、分别与相切于点、，且与相交于点，过点作，交的延长线于点．其中，．
（1）求证：；
（2）求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的性质容易证明，则，由等角的余角相等可证明，因此；
（2）容易证明，则，，利用勾股定理计算得，最后通过计算出即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵、分别与相切于点、，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即的半径为．
21. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，．
（1）求钢缆所在抛物线的函数表达式．
（2）为了提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（点右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离．
（3）在（2）的条件下，若在主塔上安装一个装饰物，使最小，请在图中画出点．
【答案】（1）．
（2）．
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，拱桥问题，解题的关键是理解题意，将实际问题抽象成二次函数模型来求解．
（1）根据题意可得所在抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再将代入求解即可；
（2）所在抛物线与所在抛物线关于轴对称可得所在抛物线的函数解析式，再将代入求解即可；
（3）根据题意轴对称的性质可得，，则，即当三点共线时，最小．
【小问1详解】
解：由题意可得，所在抛物线的顶点坐标为，
设所在抛物线的函数表达式为．
，
，
将代入得，．
所在抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，
所在抛物线的函数表达式为．
，
令，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
加劲梁与主塔的水平距离是．
【小问3详解】
解：点如图所示．
22. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系．
（1）求出与的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？
（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）88元 （3）公司每天能获得9000元的利润，此时定价为90元
【解析】
【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列一元二次方程，求出x的值，然后列出一元一次不等式，求出不等式的解集，即可求出答案．
【小问1详解】
解：设与的函数关系式为，
将，代入得：，
解得，
与的函数关系式为．
【小问2详解】
解：根据题意得，
整理得：，
解得：，
∵要求优惠力度最大，
取，
．
答：每双运动鞋的售价应该定为88元；
【小问3详解】
解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
根据题意得，
整理得，
解得．
∵每双运动鞋的利润不低于成本价的，
，
解得：符合题意，
公司每天能获得9000元的利润，此时每双运动鞋的定价为元．
23. 如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
（1）求的值并求出点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值；
（3）是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，或或或
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标；
（2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离；
（3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解．
【小问1详解】
解：点在直线上，
，
解得，即,
点在双曲线上，
,
直线与双曲线的交点关于原点对称，
点B是点A关于原点的对称点，
；
【小问2详解】
解：设，过点作轴，过点作轴，
则，
作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接
，即，
，
的纵坐标为，
，
解得，即，
，
，
两点之间线段最短，
最小，即最小．
此时的周长最小，
周长的最小值；
【小问3详解】
解：设，
，，
，
，
，
分三种情况：
当时，，即，
，
此时，
当时，，即，
，，
此时或
当时，，即
，
此时，
综上所述，或或或．