2025-2026学年北京市顺义区第一中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市顺义区第一中学高一（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A（1，-2），B（2，3），则向量=（ ）
A. B. （1，5）C. （3，1）D. （-1，-5）
2.在复平面内表示复数（3+4i）i的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在直角△ABC中，斜边AC=3，直角边BC=1.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4.已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A. 若l∥α，l⊥m，则m⊥αB. 若α∥β，m∥α，则m∥β
C. 若l⊥α，l∥β，则α⊥βD. 若l∥α，m∥α，则l∥m
5.在△ABC中，，则∠B=（ ）
A. B. C. D.
6.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶.单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体FE-ABCD的形状（如图②），若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，且AB=CD=2EF=2BC=8，EA=ED=FB=FC=3，则五面体FE-ABCD的表面积为（ ）
A. 48B. C. D.
7.设为非零向量，则“”是“存在正数λ，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面DEC1交棱BB1于点G，则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线A1F与直线C1E异面
B. 平面AB1D1∥平面DEC1
C. 截面DEGC1是梯形
D. 直线C1F⊥平面DEC1
9.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D为BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A. [-5，0]B. [-3，0]C. [0，3]D. [0，5]
二、多项选择题：本大题共1小题，共4分。
10.已知向量，则下列向量与平行的是（ ）
A. （0，2）B. （-1，3）C. D. （6，2）
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，则= .
12.如图，△A′O′B′为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且O′A′=2，O′B′=3，则△AOB的周长为 .
13.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为______．
14.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45°，则棱AA1的长为 ，二面角B-DD1-C的大小为 .
15.乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列命题：
①；
②；
③在上的投影向量为；
④若点P为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.
其中正确命题的序号是 .
四、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知，求：
（1）；
（2）；
（3）与的夹角θ的余弦值.
17.(本小题14分)
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1​​​​​​​棱长为2.
（1）证明：B1C∥平面A1BD；
（2）证明：BD⊥A1C；
（3）求三棱锥B-A1B1C的体积.
18.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若B=2A，a=3，.
（1）求csA的值；
（2）求c边及△ABC的面积.
19.(本小题14分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=a,AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD.
（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）设平面PBC∩平面PAD于直线l,证明：BC∥l；
（3）若在线段BC上是否存在点F，使得EF∥平面PAB，若存在点F，则a为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为45°.
20.(本小题14分)
已知在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a,b,c,.
（1）求A的大小；
（2）若c=8，判断下列三个条件是否能使△ABC存在且唯一，并对满足条件的求出△ABC的周长.
①AB边上的高线CD长为，②，③
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
21.(本小题15分)
如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表，其中aij表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{-1，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n）.
记向量，若，则称与为正交向量.若对任意不同的i,j∈{1，2，…，n}，都有与为正交向量，则称A为正交数表.
（1）直接判断，是否为正交数表（不需要说明理由）；
（2）当n=6时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量；
（3）求证：对任意k∈N*，当n=4k+2时，A不是正交数表.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】CD
11.【答案】-1-i
12.【答案】12
13.【答案】3
14.【答案】
45°

15.【答案】②③④
16.【答案】5 35
17.【答案】证明：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AB1，交BA1于E，连接AC交BD于O，连接OE，
则OE∥CB1，
因为CB1⊄平面A1BD，OE⊂平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD；
证明：（2）因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以AA1⊥BD，
因为BD⊥AC，AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACA1，
所以BD⊥平面ACA1，又A1C⊂平面ACA1，
所以BD⊥A1C；
解：（3）因为====．
18.【答案】解：（1）因为，∠B=2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得，
所以，
故；
（2）方法一：
由（1）知，所以，
所以，
又因为∠B=2∠A，所以，可得，
所以，
在△ABC中，，
所以，；
方法二：由余弦定理a2=b2+c2-2bc•csA，
，c2-8c+15=0，c=3或c=5，
当c=3时，即B为钝角，
因为B=2A，所以，与B为钝角矛盾，
所以c=3舍，即c=5，
因为，所以，可得，
所以．
19.【答案】证明：在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，
又因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
又因为PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
又因为BD⊂平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC 证明：在正方形ABCD中，则BC∥AD，
因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，
又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，
所以BC∥l 存在，a=3
20.【答案】 选择条件①，△ABC的周长为；选择条件②，△ABC的周长为；选择条件③，不符合要求
21.【答案】A1是正交数表，A2不是正交数表；
证明见解析；
证明见解析．