北京市顺义区第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义即可得解.
【详解】因为复数z对应的点的坐标是，
所以.
故选：D.
2. 在平面直角坐标系中，，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用起点和终点坐标求向量坐标.
【详解】依题意，，.
故选：B
3. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得.
【详解】对A：，又是偶函数，故A正确；
对B：为奇函数，故B错误；
对C：周期为，故C错误；
对D：为奇函数，故D错误.
故选：A.
4. 在中，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理求得.
【详解】由正弦定理得.
故选：C
5. 在，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.
【详解】当，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件；
当时，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的必要条件.
故选：C
【点睛】本题主要考查充分条件必要条件的判断，考查余弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6. 将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合函数图象平移的规律及诱导公式即可得解.
【详解】由题意.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角函数的图象变换与诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
7. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两点间的距离公式求出，再由余弦定理求解即可.
【详解】因为O为坐标原点，，，
所以，，
，
所以.
故选：D.
8. 已知函数，则（ ）
A. 的最小值为0
B. 的最小正周期为
C. 将向右平移个单位所得图象关于原点中心对称
D. 函数在区间上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】借助辅助角公式、三角函数的值域、周期、三角函数的平移变换与单调性逐项判断即可得.
【详解】对A：，
故的最小值为，故A错误；
对B：，故的最小正周期为，故B错误；
对C：将向右平移个单位可得，
由的图象关于原点中心对称，故的图象关于原点中心对称，故C正确；
对D：当，有，由在不是单调递增，
故函数在区间上不是单调递增，故D错误.
故选：C.
9. 已知的内角所对的边分别为，面积为，若，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】分别从两个条件计算出的正切值，再计算出各个角的角度，即可判断三角形的形状.
【详解】由及正弦定理知，故.
由，知.
从而，，这说明是等腰三角形，不是直角三角形，不是正三角形，故选项A正确，选项B，C，D错误.
故选：A.
10. 已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（ ）
A. B. 3C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果.
【详解】设的中点为，因为，，
所以，，
则
，
因为，所以，
即的最大值是.

故选：A.
【点睛】关键点点睛：设的中点为，将化为，是解决本题的关键.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 已知向量，.若，则______；若，则______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平面向量共线的坐标表示结合垂直的坐标表示计算即可.
【详解】利用平面向量共线的坐标表示可知，若，则；
若，则.
故答案为：，
12. 复数的模等于______；虚部等于______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】直接求出复数的模和虚部即可.
【详解】由题意知：，
复数的虚部为.
故答案为：；.
13. 已知向量，，在正方形网格中的位置，如图所示.则______.
【答案】6
【解析】
【分析】将，，平移至同一个起点并构建直角坐标系，令单元格长度为1，标出相关向量的坐标，再应用向量数量积的坐标表示求.
【详解】将，，平移至同一个起点位置，如下图点位置，并构建直角坐标系，
若每个单元格长度为1，又，则，，
所以.
故答案为：6.
14. 已知圆柱的底面半径为3，体积为的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为______，圆柱的体积为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根据球的体积公式求出球的半径，根据相切得圆柱的高，根据圆柱的体积公式可得结果.
【详解】设球的半径为，则，得，
则圆柱的高为，
所以圆柱的体积为.
故答案为：；.
15. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②棱始终与水面平行；
③水面四边形面积不改变；
④当，且时，是定值.
其中所有正确的命题的序号是______.（请在横线上写出所有正确答案的序号，错选不得分）
【答案】①②④
【解析】
【分析】从棱柱的特征平面可判断①；由，水面，水面，可判断②；由水面四边形的面积是改变的可判断③；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断④.
【详解】根据面面平行性质定理，可得BC固定时，
在倾斜的过程中，始终有，
且平面平面，
故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故①正确；
因为平面，平面，则，
且，则，即为矩形，
又因为水面所在四边形的面积，
从图中可以发现，边长不变，而另外一条长随着倾斜程度变化而变化，
所以所在四边形的面积是变化的，故③错误；
因为，水面，水面，
所以水面正确，故②正确；
若，，由于水的形状成棱柱，
且水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，
又在矩形中，四边形的面积为是定值，
因为为定值，所以是定值，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：
（1）通过面面平行得到线面平行；
（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.
三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 已知向量．
（1）求；
（2）求与夹角的大小；
（3）求．
【答案】（1）5，（2），（3）5
【解析】
【分析】（1）直接利用坐标求解即可；
（2）利用向量的夹角公式求解；
（3）先求出的坐标，再求其模
【详解】解：（1）因为，
所以，
（2）设与夹角为，则
，
因为，所以，
所以与夹角的大小为，
（3）因为，
所以，
所以
17. 如图，四棱锥中，底面为矩形，与平面垂直，E为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中位线的性质得线线平行，再证线面平行即可；
（2）利用棱锥的体积公式计算即可.
【小问1详解】
连接交于F，由底面为矩形可知F为中点，
又E为的中点，利用三角形中位线的性质得，
因为平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
由，，，及棱锥体积公式可知：
.
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间上的最大值为1，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、差角公式及辅助角公式先化简函数时，直接代入计算函数值即可；
（2）利用正弦函数的单调性计算即可；
（3）利用正弦函数的图象与性质计算即可.
【小问1详解】
因为，
所以；
【小问2详解】
令，解之得，
所以函数的单调递增区间为；
【小问3详解】
由，
结合题意可知，
即m的取值范围为.
19. 如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面与平面的交线为m，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，利用中位线的性质先证明四边形为平行四边形，由线线平行证线面平行即可；
（2）利用线线平行先证线面平行，再由线面平行的性质证线线平行即可.
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为分别为的中点，底面为平行四边形，
则，且，
所以四边形为平行四边形，即，
显然平面，平面，
则平面；
【小问2详解】
易知，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面与平面的交线为m，
所以.
20. ①；②；③向量与平行，在这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.
已知内角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①：借助正弦定理与余弦定理计算即可得；若选②：借助正弦定理将边化为角后借助两角和的正弦定理计算即可得；若选③：借助向量平行计算即可得；
（2）借助余弦定理与基本不等式计算即可得.
【小问1详解】
若选①：：
借助正弦定理可得，即，
即，又，故，故；
若选②：：
借助正弦定理可得，
即有，
即，
又，故，故，故；
若选③：向量与平行：
由题意可得，即，
又，故，故，故；
【小问2详解】
由（1）知：，又，
又，即有，
即，当且仅当时，等号成立，
故，
即面积的最大值为.
21. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，
（1）若，
①求；
②若，设点为的费马点，求；
（2）若，设点为费马点，，求实数的最小值．
【答案】（1）①；②
（2）.
【解析】
【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
（2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
①由正弦定理得，即，
所以，又，
所以；
②由①，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
；
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，即，
所以或，
当时，，为直角三角形，
当，
则，
得，在三角形中不可能成立，
所以为的直角三角形，
因为点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.
【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.