2026届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学高三最后一卷数学试卷含解析，共6页。试卷主要包含了已知，则的大小关系为，“是函数在区间内单调递增”的，设函数，则，的大致图象大致是的，设，随机变量的分布列是等内容，欢迎下载使用。
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2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，若，则等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．“是函数在区间内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．设函数，则，的大致图象大致是的( )
A．B．
C．D．
8．已知P是双曲线渐近线上一点，，是双曲线的左、右焦点，，记，PO，的斜率为，k，，若，-2k，成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．设，随机变量的分布列是
则当在内增大时，（ ）
A．减小，减小B．减小，增大
C．增大，减小D．增大，增大
10．若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ）
A．－1B．2C．0或－1D．2或－1
11．已知 若在定义域上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．(1,2),C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数 满足,且当时,又函数,则函数在上的零点个数为___________.
14．已知实数满足则的最大值为________.
15．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．
16．已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.
（1）求的值及该圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.
18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求直线和圆的普通方程；
（2）已知直线上一点，若直线与圆交于不同两点，求的取值范围.
19．（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为（），直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值.
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.
（1）求A的余弦值；
（2）求△ABC面积的最大值．
21．（12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
22．（10分）已知函数
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
设出A，B的坐标，利用导数求出过A，B的切线的斜率，结合，可得x1x2＝﹣1．再写出OA，OB所在直线的斜率，作积得答案．
【详解】
解：设A（），B（），
由抛物线C：x2＝1y，得，则y′．
∴，，
由，可得，即x1x2＝﹣1．
又，，
∴．
故选：A．
点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A,B,,再求切线PA,PB方程，
求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些.
2、C
【解析】
根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，
由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，
即函数为偶函数，由，得，
函数在区间上单调递增，则，得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.
3、C
【解析】
先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.
【详解】
由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，
又有，综上得的取值范围是.
故选：C
【点睛】
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.
4、C
【解析】
先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.
【详解】
由题可知，
因为，所以有，得，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
5、A
【解析】
根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.
【详解】
由题知，
，则.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..
6、C
【解析】
，令解得
当，的图像如下图
当，的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.
7、B
【解析】
采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.
【详解】
对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，
因为,
所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；
对于选项D:因为,故选项D排除;
对于选项C:因为,故选项C排除;
故选:B
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
8、B
【解析】
求得双曲线的一条渐近线方程，设出的坐标，由题意求得，运用直线的斜率公式可得，，，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
设双曲线的一条渐近线方程为，
且，由，可得以为圆心，为半径的圆与渐近线交于，
可得，可取，则，
设，，则，，，
由，，成等差数列，可得，
化为，即，
可得，
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
9、C
【解析】
，，判断其在内的单调性即可．
【详解】
解：根据题意在内递增，
，
是以为对称轴，开口向下的抛物线，所以在上单调递减，
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．
10、D
【解析】
利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.
【详解】
由于，所以，即，，即，解得或.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.
11、C
【解析】
先解不等式，可得出，求出函数的值域，由题意可知，不等式在定义域上恒成立，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】
，先解不等式.
①当时，由，得，解得，此时；
②当时，由，得.
所以，不等式的解集为.
下面来求函数的值域.
当时，，则，此时；
当时，，此时.
综上所述，函数的值域为，
由于在定义域上恒成立，
则不等式在定义域上恒成立，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
12、A
【解析】
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【详解】
已知双曲线的右焦点为，
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
，离心率，
，
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
判断函数为偶函数，周期为2，判断为偶函数，计算，，画出函数图像，根据图像到答案.
【详解】
知，函数为偶函数，，函数关于对称。
，故函数为周期为2的周期函数，且。
为偶函数，，，
当时，，，函数先增后减。
当时，，，函数先增后减。
在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有1个公共点，
则函数在上的零点个数为1．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键.
14、
【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】
根据柯西不等式：，故，
当，即，时等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.
15、
【解析】
试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．
考点：二项式定理．
16、
【解析】
根据题意设为椭圆上任意一点,表达出,再根据二次函数的对称轴与求解的关系分析最值求解即可.
【详解】
因为椭圆的离心率是,,所以,故椭圆方程为.
因为以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为,所以椭圆上的点到点的距离的最大值为.
设为椭圆上任意一点,则.
所以
因为的对称轴为.
(i)当时,在上单调递增,在上单调递减.
此时,解得.
(ii)当时, 在上单调递减.
此时,解得舍去.
综上,椭圆方程为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆上的点到定点的距离最值问题,需要根据题意设椭圆上的点,再求出距离,根据二次函数的对称轴与区间的关系分析最值的取值点分类讨论求解.属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），圆的方程为：.（2）答案见解析
【解析】
（1）根据题意，可知点的坐标为，即可求出的值，即可求出该圆的方程；
（2）由题易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与抛物线联立方程组，根据，求得，化简解得，进而求得点的坐标为，分别求出，，利用向量的数量积为0，即可证出.
【详解】
解：（1）易知点的坐标为，
所以，解得.
又圆的圆心为，
所以圆的方程为.
（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，
设的方程为，
代入的方程，得.
令，得，
所以，解得.
将代入的方程，得，即点的坐标为.
所以，，
.
故.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.
18、（1），；（2）
【解析】
分析：（1）用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离，因此有，，直接由韦达定理可得，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0，这样可得满足的不等关系，由此可求得的取值范围.
详解：（1）直线的参数方程为，
普通方程为，
将代入圆的极坐标方程中,
可得圆的普通方程为，
（2）解：直线的参数方程为代入圆的方程为 可得：
（*），
且由题意 ，,
.
因为方程（*）有两个不同的实根，所以，
即，
又，
所以.
因为，所以
所以.
点睛：（1）参数方程化为普通方程，一般用消参数法，而消参法有两种选择：一是代入法，二是用公式；
（2）极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式；
（3）过的直线的参数方程为（为参数）中参数具有几何意义：直线上任一点对应参数，则.
19、
【解析】
先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.
【详解】
以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
可得曲线C：（）的直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为r的圆.
由直线l的方程，化简得，
则直线l的直角坐标方程方程为.
记圆心到直线l的距离为d，则，
又，即，所以.
【点睛】
本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案.
（2）计算，再利用面积公式计算得到答案.
【详解】
（1），则，
即，故，，故.
（2），故，故.
当时等号成立.
，故，，故△ABC面积的最大值为.
【点睛】
本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
21、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据菱形性质可知，结合可得，进而可证明，即，即可由线面垂直的判定定理证明平面；
（2）结合（1）可证明两两互相垂直.即以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设，连接，如下图所示：
∵侧面为菱形，
∴，且为及的中点，
又，则为直角三角形，
，
又，
，即，
而为平面内的两条相交直线，
平面.
(2)
平面，
平面，
，即，
从而两两互相垂直.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系
，
为等边三角形，
，
，
，
设平面的法向量为，则，即，
∴可取，
设平面的法向量为，则.
同理可取
，
由图示可知二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题.
22、（1）（2）
【解析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）先由求得，利用正弦定理得到，结合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
（1）函数，
，
由，
得.
所以的单调递增区间为 .
（2）因为且为锐角，所以.
由及正弦定理可得，又，
由余弦定理可得，
解得， .
【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
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