2026届黑龙江省大庆市一中高三第三次测评数学试卷含解析

这是一份2026届黑龙江省大庆市一中高三第三次测评数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知函数，设复数z＝，则|z|＝，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
2．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（ ）
A．300，B．300，C．60，D．60，
4．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于；④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )
A．①③B．②④C．①②③D．②③④
5．抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.
A．B．9C．5D．
7．已知函数（，）的一个零点是，函数图象的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
8．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A．B． C．D．
9．已知函数，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
12．设为虚数单位，复数，则实数的值是（ ）
A．1B．-1C．0D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_____．
14．请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数：___________．
15．已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为________.
16．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知集合，.
（1）若，则；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（12分）若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
19．（12分）在△ABC中，角所对的边分别为向量，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值.
20．（12分）已知函数，且．
（1）若，求的最小值，并求此时的值；
（2）若，求证:．
21．（12分）为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.
（1）求的值；
（2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
22．（10分）已知在中，内角所对的边分别为，若，，且.
（1）求的值；
（2）求的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
2、C
【解析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】
A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
B. ，值域为，奇函数，排除；
C. ，值域为，奇函数，满足；
D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
故选：.
【点睛】
本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
3、B
【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．
【详解】
由频率分布直方图得：
在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，
∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，
行驶速度超过的频率为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4、B
【解析】
利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④.
【详解】
，
解得（当且仅当时取等号），则②正确；
将和联立，解得，
即圆与曲线C相切于点，，，，
则①和③都错误；由，得④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
5、A
【解析】
设，，利用点差法得到，所以直线的斜率为2，又过点，再利用点斜式即可得到直线的方程.
【详解】
解：设，∴，
又，两式相减得：，
∴，
∴，
∴直线的斜率为2，又∴过点，
∴直线的方程为：，即，
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．
6、A
【解析】
根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.
【详解】
定点为,
，
当且仅当时等号成立，
即时取得最小值.
故选：A
【点睛】
本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.
7、B
【解析】
根据函数的一个零点是，得出，再根据是对称轴，得出，求出的最小值与对应的，写出即可求出其单调增区间.
【详解】
依题意得，，即，
解得或（其中，）.①
又，
即（其中）.②
由①②得或，
即或（其中，，），因此的最小值为.
因为，所以（）.
又，所以，所以，
令（），则（）.
因此，当取得最小值时，的单调递增区间是（）.
故选：B
【点睛】
此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.
8、D
【解析】
先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.
【详解】
解：z＝＝＝＝﹣﹣,
则|z|＝＝＝＝.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.
9、A
【解析】
根据分段函数直接计算得到答案.
【详解】
因为所以.
故选：.
【点睛】
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
10、C
【解析】
由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可.
【详解】
当时，则，，
所以，，显然当时，
，故，，若对于任意正整数不等式
恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任
意正整数恒成立，设，，令，解得，
令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，
当时，有单调递减，故数列的最大值为，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.
11、A
【解析】
计算，再计算交集得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
12、A
【解析】
根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得的值.
【详解】
复数，
由复数乘法运算化简可得，
所以由复数定义可知，
解得，
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据函数图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得满足的方程,结合题中的范围即可求解.
【详解】
由函数图象的平移变换公式可得,
函数的图象向右平移个单位后,
得到的函数解析式为,
因为函数，
所以函数与函数的图象重合,
所以,即,
因为,所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.
14、231,321,301,1
【解析】
分个位数字是1、3两种情况讨论，即得解
【详解】
0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字比210大的所有三位奇数有：
（1）当个位数字是1时，数字可以是231,321,301；
（2）当个位数字是3时数字可以是1．
故答案为：231,321,301，1
【点睛】
本题考查了分类计数法的应用，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
15、
【解析】
由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.
【详解】
由题设双曲线的左、右焦点分别为,,
因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,
当时,,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；
当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,
故答案为:
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.
16、
【解析】
构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果.
【详解】
依题意，，
令，则，故函数为奇函数
，故函数在上单调递减，
则
，即，故，则x的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）将代入可得集合B，解对数不等式可得集合A，由并集运算即可得解.
（2）由可知B为A的子集，即；当符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得的取值范围.
【详解】
（1）若，则，
依题意，
故；
（2）因为，故；
若，即时，，符合题意；
若，即时，，
解得；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.
18、（1）；（2）不存在.
【解析】
（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．
【详解】
（1）由，得，且当时取等号．
故，且当时取等号．
所以的最小值为；
（2）由（1）知，．
由于，从而不存在，使得成立．
【考点定位】
基本不等式．
19、（1）（2）2
【解析】
（1）转化条件得，进而可得，即可得解；
（2）由化简可得，由结合三角函数的性质即可得解.
【详解】
（1），，
由正弦定理得，
即，
又 ，，
又 ，，，
由可得.
（2）由（1）可得，，
，
，，，
的最大值为2.
【点睛】
本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.
20、（1）最小值为，此时；（2）见解析
【解析】
（1）由已知得，
法一:，，根据二次函数的最值可求得；
法二:运用基本不等式构造，可得最值；
法三：运用柯西不等式得：，可得最值；
（2）由绝对值不等式得，，又，可得证.
【详解】
（1），
法一:，，
的最小值为，此时；
法二:，
，即的最小值为，此时；
法三：由柯西不等式得：
，
,即的最小值为，此时；
（2），，
又，
.
【点睛】
本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.
21、（1），，.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析
【解析】
（1）根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列，即可得解；
（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表，再用的计算公式运算即可；
（3）获奖的概率为，随机变量，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可知，，
因为构成以2为公比的等比数列，所以，解得，
所以，.
故，，.
（2）获奖的人数为人，
因为参考的文科生与理科生人数之比为，所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为.
由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人.
于是可以得到列联表如下：
所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.
（3）由（2）可知，获奖的概率为，
的可能取值为0，1，2，
，
，
，
分布列如下：
数学期望为.
【点睛】
本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题．
22、（1）；（2）
【解析】
（1）将代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将及代入，即可求得的值；
（2）根据（1）中的值可求得和，进而可得，由三角形面积公式即可求解.
【详解】
（1）由，得，
由正弦定理将边化为角可得，
∵，
∴，
∴，化简可得，
∴解得.
（2）∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了正弦定理在边角转化中的应用，正弦差角公式的应用，三角形面积公式求法，属于基础题.
文科生
理科生
合计
获奖
6
不获奖
合计
400
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400
0
1
2