2025-2026学年下学期福建福州市九年级中考二模数学试卷(含解析)

这是一份2025-2026学年下学期福建福州市九年级中考二模数学试卷(含解析)，共6页。试卷主要包含了 下列运算结果一定是的是， 在福州，肉燕等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分．
注意事项：
1.答题前，学生务必在本试卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上答题无效．
3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4.结束时，学生必须将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 我国四个城市某日的某一时刻的气温如下表所示，该时刻温度最高的城市是（ ）．
A. 北京B. 上海C. 哈尔滨D. 福州
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较，只需按有理数大小比较规则比较四个城市的气温，即可得到温度最高的城市．
【详解】四个城市的气温分别为，，，，
有理数大小比较规则为：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小，
可得，
温度最高的城市是福州，故选D．
2. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形.
3. 福州市博物馆馆藏“碗礁一号”沉船出水代表文物——黄釉青花莲花蕉叶纹瓷葫芦瓶（如图1）．该文物兼具艺术价值与历史研究意义，为馆内重要的海上丝绸之路文物之一．图2为其示意图，关于其三视图的描述，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都相同
【答案】A
【解析】
【详解】解：由图形观察可知，这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图不相同．
4. 用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（ ）
A. （x+5）2=16B. （x+5）2=34
C. （x﹣5）2=16D. （x+5）2=25
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】根据题意可以先移项，再配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方），
即x2+10x+9=0，
x2+10x=﹣9，
x2+10x+52=﹣9+52，
（x+5）2=16．
故选A．
考点：解一元二次方程-配方法
5. 下列运算结果一定是的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的运算法则分别计算各选项结果，即可得到答案．
【详解】对各选项逐一计算判断：
A选项：根据幂的乘方法则，幂的乘方底数不变，指数相乘，可得，
∴A选项不符合要求；
B选项：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，
∴B选项符合要求；
C选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，
∴C选项不符合要求；
D选项：与不是同类项，不能合并，结果不是，
∴D选项不符合要求．
6. 光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用对顶角相等的性质得，通过角度差计算出，接着依据 “一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条” 的平行线性质，由 且 推导出 ，得到直角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出角 的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为法线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
7. 若直线经过第一、二、三象限，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性和与y轴的交点与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、三象限，
∴y随x的增大而增大，函数与y轴交于正半轴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数（k为常数，k≠0），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 当，图像与y轴的正半轴相交，当，图像与y轴的负半轴相交．
8. 在福州，肉燕（俗称太平燕）不仅是一道名小吃，更是喜庆习俗中的重要菜品．某传统肉燕店制作肉燕，熟练工每小时比学徒多包300粒，学徒3小时与熟练工2小时制作的肉燕粒数相同．设学徒每小时包x粒肉燕，则下列方程中符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先根据设出的学徒每小时工作量，表示出熟练工每小时工作量，再根据二者总工作量相等的等量关系列方程即可．
【详解】设学徒每小时包粒肉燕，
∵熟练工每小时比学徒多包粒，
∴熟练工每小时包粒，
∵学徒小时制作的总粒数与熟练工小时制作的总粒数相同，
且学徒小时总粒数为，熟练工小时总粒数为，
∴可列方程．
9. 甲，乙，丙，丁四名学生参加“中学生科学素养”选拔赛，图中显示了这四名学生在选拔赛中的方差与平均分数．学校需从中选出一名成绩较好且发挥稳定的学生参加后续比赛，则最合适的学生是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】首先比较平均数，再比较方差即可得出结论．
【详解】解：从平均分数看：，
从方差看：，
所以丙的平均分数最大（成绩最好），且方差最小（发挥最稳定），因此最合适的学生是丙．
10. 实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其相对位置如图所示，若，且，则下列对原点O所在位置的判断正确的是（ ）
A. 在线段的延长线上B. 在线段上
C. 在线段上D. 在线段的延长线上
【答案】B
【解析】
【分析】由得到，再根据， 得到，再根据得到，则，得到，据此即可得到答案．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∴原点O在线段上．
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效．
2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：．
12. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】从中任意摸出1个球共有3种等可能结果，其中摸到红球的有1种结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意知.从中任意摸出1个球共有种等可能结果，其中摸到红球的有种结果，
所以摸到红球的概率为．
13. 如图，菱形ABCD中，．将绕点A顺时针旋转α后恰好与重合，则旋转角α的度数是______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】由旋转的性质及菱形的性质即可得出结论．
【详解】解：因为四边形是菱形，且，
所以对角线平分，，
所以．
所以与是两个大小一样的等边三角形，
又因为将绕点顺时针旋转后与重合，
所以．
综上，旋转角的度数是．
14. 在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是______．
【答案】
2
【解析】
【分析】首先，根据已知条件，得出，得，最后，得．
【详解】解：如图，在的正方形网格中，
∵，
∴，
∵，
∴．
15. 如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______．
【答案】
12
【解析】
【详解】正比例函数与反比例函数的交点、关于原点对称，因此设，则（其中），
由，可知：，
解得，，即点的坐标为，
将代入双曲线：,
故.
16. 如图，三角形ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，且，，若，则的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，圆周角定理，求出的度数，等边对等角，求出，平行线的性质，结合等边对等角，结合角的和差关系进行求解即可.
【详解】解：连接，
则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】解：
．
18. 如图，点D，A，E，B在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据等式的性质得出，利用证明与全等，进而解答即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
19. 某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数．
【答案】4台
【解析】
【分析】设采购B型机器人x台，则采购A型机器人台，根据“付款总额不超过15万元”，列出一元一次不等式求解即可．
【详解】解：设采购B型机器人x台，则采购A型机器人台，
根据题意得，
解得，
∵x为整数，
∴该学校最多能采购B型机器人4台．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先对括号里的进行通分合并，将其化为最简分式，然后把原式中的除法转化为乘法，同时对分母利用平方差公式进行因式分解，再对转化后的式子进行约分，得到最简形式，最后将​代入最简分式，计算出结果．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
21. 下表是某公司所有员工月收入的资料：
（1）由上表可知，该公司所有员工月收入的平均数是6640，中位数是______，众数是______；
（2）若要反映该公司员工月收入水平的情况，（1）中的三个统计量（平均数，中位数，众数）中，不合适的是______；
（3）该公司因工作需要，将一名员工由原岗位调整至另一岗位，该员工的月收入也随岗位发生相应变化，其他员工的月收入保持不变．调整完成后，公司所有员工的平均月收入比原来增加了20元．请判断该员工是从哪个岗位调整至哪个岗位，并说明理由．
【答案】（1）3900，3600
（2）平均数 （3）该员工从E岗位调整到D岗位，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据员工总人数，找到排序后中间位置的数即为中位数；出现次数最多的数即为众数；
（2）平均数受极端值影响大，无法反映大多数员工的实际收入水平，因此不合适；
（3）根据平均收入增加20元，可算出总收入增加了元，因此该员工收入需增加 500元，据此判断岗位调整情况．
【小问1详解】
解：员工总人数：（人），
将 25 名员工的月收入从小到大排列，第 13 个数为中位数，
岗位H、G，累计人，第13个数是岗位F收入3900，故中位数为 3900；
月收入为3600的员工人数最多（11人），故众数为3600．
【小问2详解】
解：平均数受岗位 A 的高收入（45000元）极端值影响，被拉高至6640元，远高于大多数员工的实际收入水平，因此平均数不适合反映该公司员工月收入水平的情况．
【小问3详解】
解：调整后平均月收入增加20元，因此总收入增加：（元），该员工调整后的月收入比原来增加了500元，
观察表格，只有岗位D（5500元）与岗位E（5000元）的收入差为500元，因此该员工是从岗位E调整至岗位D．
22. 如图，已知，，，是中线．
（1）尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由题目的作图步骤进行作图即可；
（2）由等腰三角形的性质可得，再求出，再由等腰三角形性质可得，再求出，最后可得结论．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
证明：是中线，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）若，．
（i）判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由；
（ii）已知为该二次函数图象上的一点，求证：．
【答案】（1）
（2）（i）抛物线的开口向上，理由见解析；②见解析
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出的关系，对称轴公式求出对称轴即可；
（2）（i）根据条件式，分和两种情况进行讨论即可得出结果；（ii）把点代入解析式，得到，进而得到，根据条件式，得到即可．
【小问1详解】
解：把，代入，得：
，解得，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：（i）抛物线的开口向上，理由如下：
∵，，
∴异号，
当时，时，则，
∴，与题意不符合，
∴，，且，
∴抛物线的开口向上；
（ii）∵，为该二次函数图象上的一点，且由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
由（i）可知：，，即，
∴，，
∴．
24. 阅读材料，回答问题：
请将①②③④⑤⑥所缺的内容或证明过程补充完整．
第阶段
（1）如图，若点的坐标是，沿直线将矩形分割成两个矩形，则原矩形的重心位置点的坐标是①______，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别是②______和③______．
第阶段
一般地，如图，沿直线将矩形分割成两个矩形，则它们重心位置的坐标分别为，，记直线与轴交于点，则，，发现：，．
猜想：将矩形按某一水平（或竖直）方向分割成两个矩形（如图所示），原矩形的一边被分成长度为和的两段，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别为，，则原矩形重心位置的坐标满足：
，．
如图所示，若将矩形沿对角线分割成两个三角形，则上述猜想不再适用，此时，可以将原猜想中的“边长的关系”推广为“面积的关系”，从而得到：，．
第阶段
如图，若将矩形沿直线与直线分割得到三个矩形，它们的重心位置分别为，面积分别为，根据第阶段的探究结论，猜想原矩形重心位置的横坐标满足．
（2）请通过计算说明这个猜想成立：④______；类比的表达式，写出的表达式：⑤______．
结论应用
根据探究发现，对于平面组合图形，其重心位置的横，纵坐标分别等于将其分割后的各个简单平面图形重心位置的横，纵坐标按各自面积加权所得的平均数．
（3）如图，平面直角坐标系中，若，，，，则五边形重心位置的坐标是⑥______．
【答案】（1），，
（2）说明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（）根据题意解答即可求解；
（）由题意可得，，，即得，，，进而得到，即可求证，同理可得，即可求解；
（）连接，利用勾股定理可证四边形是平行四边形，设的重心为，面积为，四边形的重心为，面积为，可得，，，，进而根据题意即可求解；
本题考查了坐标与图形，图形的重心，矩形的性质等，理解题意是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得，原矩形的重心位置点的坐标是，即，
分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别是和，即和，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：由题意可得，，，，
∴，，，
∴
，
∵，
∴；
同理可得，，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图，连接，
∵，，，，
∴由勾股定理可得，，
∴四边形是平行四边形，
设的重心为，面积为，四边形的重心为，面积为，
则，，即，，
，，
∴五边形重心位置的坐标是，即，
故答案为：．
25. 如图，是半圆O的直径，C为的中点，D为上一点，交于点E，交于点F，交于点G．点O，P关于对称，交于点H，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）因为点 关于对称，所以；又因为，所以根据平行线的传递性，可推出．
（2）连接，，延长并交于点M，延长交于点N，可先利用全等判定方法证明 ，则有 ，进而得到 ，同理可证得 ，则有 ，可得到是等腰直角三角形，，最后可根据 ，得到的度数．
（3）设半圆O的半径为R，则，要找的最小值，即找的最小值；将绕点逆时针旋转得到，连接，以为邻边作正方形．可证得，所以当O、C、Q共线时可求出的最小值，最终可获解．
【小问1详解】
证明：∵点 关于对称，
∴；
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，，延长并交于点M，延长交于点N，
由（1）知，，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵，
∴，
∴ ，
∵，，
∴ ，即 ，
同理可证 ，
∴ ，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：设半圆O的半径为R，
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，以为邻边作正方形．
∴在上，，，且，．
∵，，
∴且．
∴四边形是平行四边形．
∵正方形，
∴，，且．
在平行四边形中，且．
在正方形中，且．
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∴在以为圆心、为半径的圆弧上运动，
当共线且在之间，此时．
∴的最小值为，而，
∴的最小值为．
城市
北京
上海
哈尔滨
福州
气温
℃
0℃
℃
10℃
岗位类别
A
B
C
D
E
F
G
H
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
月收入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3900
3600
3000
问题提出
探究平面组合图形的重心位置
在学习中，我们已经知道简单平面图形的重心位置，如三角形的重心位于三条中线的交点处，平行四边形的重心位于两条对角线的交点处等．平面组合图形由简单平面图形组成，其重心位置如何确定？
探究分析
为更好地探究，我们可以将平面图形放置于平面直角坐标系中，将平面图形的重心位置记为点，分割得到的若干个图形的重心位置记为点（为正整数）．
如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴与轴的正半轴上，若点的坐标是，则点的坐标为．