甘肃省靖远县第一中学等校2026届高三全真模拟预测数学试题（含解析）高考模拟

这是一份甘肃省靖远县第一中学等校2026届高三全真模拟预测数学试题（含解析）高考模拟，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由并集的概念求解即可.
【详解】由题意得.
2. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由，得z=3+ii−2=3i−6+i2−2i=−7+i ，
所以z=−72+12=52.
3. 已知单位向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】已知单位向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为：a→·b→a→2·a→=1×1×1212a→=12a→.
4. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】函数f(x)=|x+k|=−x−k,xfx2，故C正确；
对于D：函数的定义域为，
令g(x)=fx−2=−x3+3x ，则函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又g−x=−−x3+3−x=x3−3x=−gx，
所以函数是奇函数，即函数fx−2 为奇函数，
所以函数fx−2 的图象关于原点对称，
故函数的图象关于中心对称，
故点是函数图象的对称中心，D正确.
11. 已知点，，动点满足直线的斜率与直线的斜率的差为1．设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 的最小值为1
C. 点在曲线上，
D. 圆与曲线有4个交点
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据已知条件，求出曲线的方程，再根据曲线方程逐一分析选项即可.
【详解】设，则，，
又kBP−kAP=1 ，即yx−1−yx+1=1 ，化简得，
所以点的轨迹为开口向上的二次函数，去掉的两个点，
根据二次函数的图象性质，可得其对称轴为，即轴，故A选项正确；
由，得，
所以OP=x2+y2=2y+1+y2=y+12=y+1，
因为，所以，
所以OP=y+1≥−12+1=12，即的最小值为，故B错误；
又点在曲线上，所以x02=2y0+1 ，
所以OM=x02+y02=2y0+1+y02=y0+12=y0+1，
又y0≥−12，所以y0+1≥12，所以OM=y0+1 ，故C正确；
将圆与曲线联立，即x2+(y−2)2=4x2=2y+1，
化简得，解得，代入，解得，
即圆与曲线有两个交点，故D错误.
综上所述，选项AC正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式的常数项为____________．
【答案】135
【解析】
【分析】首先写出二项式展开式的通项，令6−32r=0 ，即可求出，再代入计算可得；
【详解】解：二项式x−3x6的展开式的通项公式为，
令，求得，
所以展开式中常数项为C64−34=135 .
13. 已知函数，当时，的图象与直线的所有交点的横坐标的和为____________．
【答案】
【解析】
【详解】令fx=sinπx−π3=−12，则或，，
所以或，，而，
所以x∈16,96,136,216,256,336,376,456,496,576，
故所有交点的横坐标的和为16+96+136+216+256+336+376+456+496+576=1453.
14. 将某菌株接种于边长为的正方形培养基（厚度忽略不计，置于无阻挡空间），假设菌株向空间各向均匀生长，记菌株最终所占空间区域为．定义为所有到该正方形（含边界与内部）的空间最短距离不超过的空间点构成的集合，则的体积为___________（单位：，结果保留）．
【答案】16+136π
【解析】
【分析】到该正方形（含边界与内部）的空间最短距离不超过的空间点所构成的几何体，是由一个棱长分别为4，4，1的长方体和四个高为4，底面半径为0.5的半圆柱以及四个半径为0.5的四分之一球组合而成的，根据公式计算可得答案.
【详解】空间区域是一个棱长分别为4，4，1的长方体和四个高为4，底面半径为0.5的半圆柱以及四个半径为0.5的四分之一球所组成的几何体，
则的体积为V=4×4×1+4×12×4×π×0.52+4×14×43π×0.53=16+2π+π6=16+136π .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，三角形的面积．
（1）求；
（2）若，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形面积与题干已知建立等量关系，直接求解即可；
（2）先由正弦定理得，代入求出；再由余弦定理结合，即可求出.
【小问1详解】
解：由三角形的面积，又，
所以，则，所以，
因为，则，所以，解得，
因此，即；
【小问2详解】
由正弦定理知，由（1）知，
，所以，
因为，所以，又，所以，
由余弦定理得，则，
又因为，则，所以，
化简整理得，即，
解得或（舍），
因此.
16. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，，其左、右焦点和上顶点构成直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点，椭圆上的，两点满足，求（为坐标原点）面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由可求a的值；因为左、右焦点和上顶点构成的三角形为直角三角形，判断椭圆上顶点为直角顶点，结合椭圆的关系，可联立求解b，得到椭圆标准方程；
（2）由MP=λMQλ∈R可知三点共线，所以可设过点M的直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根和、两根积，结合三角形面积公式表示出面积，对面积表达式通过换元、基本不等式求解最大值.
【小问1详解】
由题意，椭圆左右顶点距离，得，,
左、右焦点和上顶点构成直角三角形，直角顶点只能在椭圆上顶点处，
由勾股定理得：b2+c2+b2+c2=2c2，化简得，
又椭圆满足，得，
因此椭圆E的标准方程为；
【小问2详解】
由MP=λMQλ∈R得三点共线，
由题意可设直线，，
联立直线与椭圆方程x=my+4x2+2y2=4，可得，
由得，由韦达定理得：，
的面积：S=12⋅|OM|⋅|y1−y2|=2y1+y22−4y1y2=8m2−6m2+2，
令t=m2−6t>0，则，代入得，
由，当且仅当，即时取等号，
因此，
即面积的最大值为：.
17. 如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，与相交于点，．
（1）证明：；
（2）设，且，若点到底面距离为2，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点为，建立空间直角坐标系，不妨设，AA1=a,b,c，根据可得，利用空间向量证明线线垂直；
（2）根据题意结合（1）中坐标可得，，求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【小问1详解】
取的中点为，连接，则，
以为坐标原点，分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
可得，，
设AA1=a,b,c，，
则BC1=BB1+B1C1=AA1+BC=a−2,b+23,c，
因为，则BC1⋅AB=4a−2=0 ，可得，
即AA1=2,b,c，则A1C=AC−AA1=0,23−b,−c，
可得，所以.
【小问2详解】
若点到底面距离为2，则，即AA1=2,b,4，
则BC1=0,b+23,4，A1B=AB−AA1=2,−b,−4，
因为，即BC1=A1B，则0+b+232+16=4+b2+16，解得，
则A1C=0,833,−4，，，
设平面的法向量为，则n1⋅A1C=833y1−4z1=0n1⋅A1B1=4x1=0，
令，则，，可得n1=0,3,2；
设平面的法向量为，则n2⋅A1C=833y2−4z2=0n2⋅BC=−2x2+23y2=0，
令，则，，可得n2=3,3,2；
设二面角的平面角为，
则csθ=csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=77×4=74，可得，
所以二面角的正弦值为.
18. 某太空探测器配备两套通信系统：激光通信模组与射频通信模组．每次向地球发送数据包时，若当前使用的模组发送成功，则下一次继续使用该模组，若发送失败，则下一次自动切换至另一模组，每个模组的工作相互独立．已知激光模组发送成功的概率为，射频模组发送成功的概率为．发送成功记1分，失败记0分，第1次发送使用激光模组．
（1）记为前2次发送的总得分，求．
（2）设为第次发送使用激光模组的概率．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合题意求相应的概率和期望；
（2）（ⅰ）根据题意可得，整理可得，结合等比数列求数列的通项公式；（ⅱ）可得，根据分组求和法结合裂项相消法运算求解.
【小问1详解】
由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以.
【小问2详解】
（ⅰ）由题意可知：，且，
可得，且，
可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，所以；
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，
则
，
所以.
19. 已知函数，．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设是函数在上的一个零点，判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）极大值为，极小值为0
（2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）求导计算的极值；
（2）由可得，令，求导得到，分和进行讨论可得结果；
（3）利用放缩法证明，再结合导数计算单调性得到，从而得到.
【小问1详解】
当时，，，
令，可得或，
当时，或，当时，，
所以当时，取得极大值，极大值为，
当时，取得极小值，极小值为.
综上，的极大值为，极小值为0.
【小问2详解】
当时，，即，
令，求导得，
当时，，则，又，则，满足题意；
当时，令，设，
令，可得，令，可得，所以在上单调递减，上单调递增，
故，不满足题意.
综上，的取值范围是.
【小问3详解】
，
由是函数在上的一个零点，则gx0=x02−alnx0+1=0 ，即，，
令，则，所以在上单调递减，
则，即，，
则，代入，可得，即，则，
再令pa=ea−1−a ，则p'a=ea−1−1 ，
令p'a>0 ，则；令p'a