河北唐山市乐亭县2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试卷（含解析）

这是一份河北唐山市乐亭县2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试卷（含解析），共36页。试卷主要包含了回答选择题时，选出每小题答案后， 函数，若，则a的值为等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据虚部定义即可求解.
【详解】由于，故虚部为.
故选：A
2. 某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述错误的是（ ）
A. 5000名学生是总体
B. 抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本
C. 样本量是250名学生的成绩
D. 每一名学生是个体
【答案】CC
【解析】
【分析】根据统计中总体、样本、样本容量、个体的定义逐项判断即可.
【详解】对A，总体指的是5000名参加今年大联考的学生或他们的成绩，所以A正确；
对B，样本指的是抽取的250名学生或他们的成绩，所以B正确；
对C，样本量是250，所以C错误；
对D，个体指的是5000名学生中的每一名学生或其成绩，所以D正确．
故选：C.
3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用斜二测画法的面积性质即可求解.
【详解】由斜二测画法可知。，又因为，
所以直角的面积为，
根据面积关系，可知原图形的面积为，
故选：A.
4. 已知，表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线，线面的位置关系，即可判断选项.
【详解】若，，则，异面或相交，故A错误；
若，，则或相交，故B错误；
若，，则或，故C错误；
若，，则，故D正确.
故选：D
5. 已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质分析判断.
【详解】设，在平面内作，
因为平面平面，所以，
因为，所以∥，
因为，，
所以，

而当平面平面，直线，时，与平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，
所以“”是“”的充分而不必要条件，
故选：A
6. 函数，若，则a的值为（ ）
A. B. C. 1D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】分和代入函数解析式求出即可.
【详解】由已知可得，当时，代入已知函数可得，
解得或（舍去），所以；
当，代入已知函数可得，
解得或（舍去），所以；
综上所述，a的值为.
故选：A
7. 已知向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由投影向量的定义，结合向量数量积和模的坐标运算求解.
【详解】由．
故选：A
8. 如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】为中点，连接，，确定为二面角的平面角，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：为中点，连接，，则，，
平面平面，且平面，平面，
故为二面角的平面角，

在中，，，
在中，.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则
D. 若，，且，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A,垂直于同一平面的两个平面有可能相交或平行，据此可以判断A；对于B,由面面平行的性质定理可以判断B；对于C,由线面平行的判定定理可知，若，则m不在平面，但题目所给条件没说，据此可以判断C；对于D,由线面垂直的判定定理可以判断D.
【详解】对于A，若，则与相交或，所以A不正确;
对于B，若，由面面平行的性质定理可得，所以B正确;
对于C，若，且，则或，所以B不正确;
对于D，若，且，由线面垂直的判定定理可得，所以B正确.
故选:BD.
10. 在棱长为的正方体中，均为所在棱的中点，则下列论述正确的有（ ）
A. 经过直线与点的平面与正方体的截面是一个正六边形
B. 与直线、、都相交的直线有三条
C. 在侧面内（包含边界），若//面，则点轨迹的长度为
D. 过的平面截正方体内切球的截面面积的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，设分别为的中点，根据空间中的平行关系可得六点共面，再计算可得各边相等且各角相等，故可判断A的正误，对于B，利用构造法可得与直线、、都相交的直线有无数条，故可判断B的正误，对于C，根据面面平行可判断的轨迹，计算其长度后可判断C的正误，对于D，求出内切球的半径后可判断D的正误.
【详解】
对于A，设分别为的中点，连接，
由正方体的性质可得，因此，故四点共面，
同理四点共面， 故五点共面，
而也四点共面，故六点共面，
设正方体的棱长为，则，
而，为正三角形，故所成的角即为，
故为或，但为钝角，故，
同理，
故六边形为正六边形，故A正确.
对于B，由正方体的性质可得为异面直线，
故过且与平行的平面有且只有一个即为平面，
若在存在相异点，在直线上存在一点，
满足，，则，当，矛盾；
若在存在相异点，在直线上存在相异点，
满足，，则，故共面，
故，共面，矛盾.
故，上至多各存在一点，过它们的直线与平行，
现在上任意取一点（若存在，则异于），则不在平面中，
因为直线与确定一个平面，这个平面与有且仅有个交点，
此时与必定相交，当取不同的位置就确定不同的平面，
从而与有不同的交点，故有无数条直线与都相交，故B错误.
对于C，取的中点为，为的四等分点且，为的中点，
连接，则，，故四边形为平行四边形，
故，而，故，
而平面，平面，故平面，
由正方形的性质可得，而，故，同理可得平面，
而，平面，故平面平面，
而平面，故平面，故的轨迹为，
而，故C正确.
对于D，过的平面截正方体内切球的截面面积的面积取最大值时该截面过球心，
而内切球的半径为1，故截面面积的最大值为，故D错误.
故选：AC.
思维点睛：空间几何体的截面问题，可利用基本性质构建截面，也可以利用空间点线面位置关系的性质来处理，而空间中的动点的轨迹问题，往往转化为不同几何对象的交来处理.
11. 有一组互不相等的数组成的样本数据、、、，其平均数为（，、、、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（ ）
A. 两组样本数据的平均数相同
B. 两组样本数据的中位数相同
C. 两组样本数据的方差相同
D. 两组样本数据的极差相同
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用极差的定义可判断D选项.
【详解】由已知可得.
对于A选项，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，A对；
对于B选项，不妨设，则原数据的中位数为，
若，则中位数为，
若，则中位数为，B错；
对于C选项，新数据的方差为
，C错；
对于D选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，D对.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的数量积和向量的投影向量的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由向量，可得，
则向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：
13. 已知向量的夹角为，且，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算，得到，进而求得向量的大小，得到答案．
【详解】因为，可得，
又因为且向量的夹角为，所以，
可得，解得或，
因为，所以（舍去），所以．
故答案为：．
14. 已知在四面体中，，，则该四面体外接球的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，取的中点，连接、，即可得到，，从而得到平面，四面体外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的体积.
【详解】因为，所以，
则，所以，
因为，取的中点，连接、，
则，，且，
所以，则，所以，
，平面，所以平面，
的外接圆圆心即为斜边的中点，
所以四面体外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，
则，即，解得，
所以外接球的体积.

故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗､去皮､去核､冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.
（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：，求这10个数据的第70百分位数与方差；
（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照分组，得到频率分布直方图.估计这600名中国果切消费者年龄的中位数及平均数（结果保留整数）.
【答案】（1）第70百分位数为6.5；方差
（2）；
【解析】
【分析】(1)百分位数先排序，再利用分位数公式求解即可.
(2)根据频率直方图结合中位数和平均数的求法计算求解.
【小问1详解】
按从小到大顺序：1，3，4，4，5，6，6，7，7，7，
由于，故第70百分位数为；
平均数，
【小问2详解】
由可得，
所以，解得，
所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24.
其平均数
16. 在中，内角所对的边分别是，已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得.
（2）利用同角公式、二倍角公式及差角的正弦公式计算即得.
【小问1详解】
在中，由，令，
由余弦定理得.
【小问2详解】
在中，由及，得，
则， ，
所以.
17. 在中，内角所对的边分别是，已知, ，.
（1）求：的值；
（2）求：的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理求得.
（2）先求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.
【小问1详解】
已知，由正弦定理得，
由于，所以，
因为，
所以；
【小问2详解】
由于，所以是锐角，
所以，
则.
18. 如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1） 根据空间向量法结合线面平行判定定理证明；
（2）应用空间向量法求出线面角正弦值.
【小问1详解】

依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，，.
因为，，，
设为平面的法向量，
则即，
不妨令，可得为平面的一个法向量，
，则，又平面，
则平面；
【小问2详解】
因为，，，
设为平面的法向量，
则即，
不妨令，可得为平面的一个法向量，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
（3）设为线段上的点，，，，，，求出，由平面的法向量，且直线和平面所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果．
【详解】解：（1）证明：∵在四棱锥中，平面ABCD，
，，，，，.
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
∴，∴.
（2）由（1）知，，
设平面APC的法向量，则，
取，得，
设平面PCD的法向量，则，
令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：设Q为线段PD上的点，，
，
则，
解得，，，
∴，，
∵平面PAC的法向量，
且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，
∴，
解得或（舍），
∴.
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．