2026届河南省郑州一〇六中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届河南省郑州一〇六中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了若的展开式中的系数为150，则，设为等差数列的前项和，若，则，已知复数，满足，则，已知复数z满足等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ）
A．B．2C．D．3
2．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．3C．D．4
4．若的展开式中的系数为150，则（ ）
A．20B．15C．10D．25
5．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
7．设为等差数列的前项和，若，则
A．B．
C．D．
8．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．1B．C．3D．4
9．已知复数，满足，则（ ）
A．1B．C．D．5
10．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
11．若满足约束条件则的最大值为（ ）
A．10B．8C．5D．3
12．关于函数，有下述三个结论：
①函数的一个周期为；
②函数在上单调递增；
③函数的值域为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是同一球面上的四个点，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积为______.
14．设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.
15．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______
16．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
18．（12分）已知向量，函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．
19．（12分）已知曲线的参数方程为为参数， 曲线的参数方程为为参数).
（1）求与的普通方程；
（2）若与相交于，两点，且，求的值.
20．（12分）若不等式在时恒成立，则的取值范围是__________.
21．（12分）已知，其中．
（1）当时，设函数，求函数的极值．
（2）若函数在区间上递增，求的取值范围；
（3）证明：．
22．（10分）已知函数与的图象关于直线对称. （为自然对数的底数）
（1）若的图象在点处的切线经过点，求的值；
（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由和抛物线的定义可求得，利用抛物线的性质可构造方程求得，进而求得结果.
【详解】
过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，
由抛物线解析式知：，准线方程为.
，，，，
由抛物线定义知：，，，
.
由抛物线性质得：，解得：，
.
故选：.
【点睛】
本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.
2、B
【解析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.
【详解】
令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
3、B
【解析】
由正弦定理及条件可得，
即.
，
∴，
由余弦定理得。
∴.选B。
4、C
【解析】
通过二项式展开式的通项分析得到，即得解.
【详解】
由已知得，
故当时，，
于是有，
则.
故选：C
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5、A
【解析】
可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.
【详解】
由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，
丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；
假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，
乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，
所以可以断定值班人是甲.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.
6、B
【解析】
先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可.
【详解】
若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意；
若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意.
对函数求导得，由得，
由图象可知，满足不等式的的取值范围是，
因此，函数的单调递减区间为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.
7、C
【解析】
根据等差数列的性质可得，即，
所以，故选C．
8、A
【解析】
采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.
【详解】
根据三视图可知：该几何体为三棱锥
如图
该几何体为三棱锥，长度如上图
所以
所以
所以
故选：A
【点睛】
本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.
9、A
【解析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出，求出的模即可．
【详解】
解：，
，
故选：A
【点睛】
本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．
10、D
【解析】
根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.
【详解】
因为复数z满足，
所以，
所以z的虚部为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11、D
【解析】
画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.
【详解】
解:由约束条件作出可行域如图,
化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知
当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.
故选:D.
【点睛】
本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为 的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.
12、C
【解析】
①用周期函数的定义验证.②当时，，，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数的值域等价于函数的值域，而，当时，再求值域.
【详解】
因为，故①错误；
当时，，所以，所以在上单调递增，故②正确；
函数的值域等价于函数的值域，易知，故当时，，故③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求得等边三角形的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】
设是等边三角形的外心，则球心在其正上方处.设，由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径，所以外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.
14、
【解析】
根据渐近线得到，，计算得到离心率.
【详解】
，一条渐近线方程为：，故，，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.
15、
【解析】
先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求.
【详解】
解：的渐近线是
因为在渐近线上，所以
，
故答案为：
【点睛】
考查双曲线的离心率的求法，是基础题.
16、
【解析】
先求角，再用余弦定理找到边的关系，再用基本不等式求的范围即可.
【详解】
解：
所以三角形周长
故答案为：
【点睛】
考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，
【解析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，
根据对应关系得到，再计算，，得到答案.
【详解】
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；
当为奇数时，时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使成立的为：或.
【点睛】
本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18、（1），（2）
【解析】
（1）利用向量的数量积和二倍角公式化简得，故可求其周期与单调性；
（2）根据图像过得到，故可求得的大小，再根据数量积得到的乘积，最后结合余弦定理和构建关于的方程即可．
【详解】
（1），
最小正周期：，
由得，
所以的单调递增区间为；
（2）由可得：，
所以．
又因为成等差数列，所以
而，
．
19、（1），（2）0
【解析】
（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；
（2）把直线的参数方程代入的普通方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时的几何意义求解．
【详解】
（1）由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得；
由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得，即．
（2）把为参数）代入，
得．
，．
．
解得：，即，满足△．
．
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用，是中档题．
20、
【解析】
原不等式等价于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范围.
【详解】
因为在时恒成立，故在恒成立.
令，由可得.
令，，则为上的增函数，故.
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，本题属于基础题.
21、（1）极大值，无极小值；（2）．（3）见解析
【解析】
（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；
（2）先求导，再函数在区间上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；
（3）取得到，取，可得
，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.
【详解】
解：（1）当时，设函数，则
令，解得
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
所以当时，函数取得极大值，即极大值为，无极小值；
（2）因为，
所以，
因为在区间上递增，
所以在上恒成立，
所以在区间上恒成立．
当时，在区间上恒成立，
当时，，
设，则在区间上恒成立．
所以在单调递增，则，
所以，即
综上所述．
（3）由（2）可知当时，函数在区间上递增，
所以，即，
取，则
．
所以
所以
【点睛】
此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于较难题.
22、（1）e；（2）2.
【解析】
（1）根据反函数的性质，得出，再利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线为，构造函数，利用导数求出单调性，即可得出的值；
（2）设，求导，求出的单调性，从而得出最大值为，结合恒成立的性质，得出正整数的最小值.
【详解】
（1）根据题意，与的图象关于直线对称，
所以函数的图象与互为反函数，则,，
设点，，又，
当时，，
曲线在点处的切线为，
即，代入点，
得，即，
构造函数，
当时，，
当时，，
且，当时，单调递增，
而， 故存在唯一的实数根.
（2）由于不等式恒成立，
可设，
所以，
令，得.
所以当时，；当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数.
故函数的最大值为 .
令，
因为， ，
又因为在是减函数.
所以当时，.
所以正整数的最小值为2.
【点睛】
本题考查导数的几何意义和利用导数解决恒成立问题，涉及到单调性、构造函数法等，考查函数思想和计算能力.