2025-2026学年黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学高二（下）期中数学试卷

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1.（y-2x）8的展开式中的第6项的二项式系数是（ ）
A. B. C. D.
2.篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱.据统计，某企业三个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，35%，30%，且这三个部门的员工人数之比为4：4：2，现从这三个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（ ）
A. 0.63B. 0.54C. 0.45D. 0.36
3.现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（ ）
A. 15B. 30C. 31D. 32
4.已知随机变量X的分布列如下，若E（X）=0，则D（3X+1）=（ ）
A. B. 7C. 21D. 22
5.如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论不成立的是（ ）
A. 这5个家庭均有小汽车的概率为
B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为
C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车
D. 这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为
6.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，满足xf′（x）-f（x）＜0，且f（2）=2，则不等式f（2x）-2x＞0的解集是（ ）
A. （-∞，3）B. （-∞，2）C. （-∞，1）D. （-∞，0）
7.下列说法错误的个数为（ ）
①若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则；
②要将4个不同的礼物分给3位同学，每人至少1个，不同分法的种数是36种；
③同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则；
④某人射击1次，未击中目标的概率为0.2，连续射击10次，设击中目标的次数为Z，且每次射击相互没有影响，则Z～B（10，0.8）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.函数f（x）=+lnx+b（a∈R，b∈R）的两个极值点x1，x2满足x1＜x2≤2x1，则x1+2x2的最大值为（ ）
A. 2ln2B. 3ln2C. 4ln2D. 5ln2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知（x-1）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则（ ）
A. a0=1B. a0+a1+a2+…+a9=0
C. a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=-512D. a0+a2+a4+a6+a8=256
10.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（ ）
A. 没有空盒子的方法共有16种
B. 有空盒子的方法共有256种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种
11.已知函数f（x）=lnx-x+1，，则下列选项正确的有（ ）
A. 函数f（x）有唯一零点
B. 若方程g（x）=m有两个实数解，则实数m的取值范围为
C. 若对任意x∈R恒成立，则实数t的取值范围为
D. 记h（x）=g（x）-f（x），，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（1-3x）（x-2y）5的展开式中x4y2的系数为 .
13.现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有 种.
14.有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为X，则X的数学期望为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知3Sn=4an-4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=（n+1）an，求数列{cn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
某中学数学竞赛培训共开设有代数、平面几何、数论、组合四门课程，要求代数、平面几何都要合格，且数论和组合至少有一门合格才能取得参加数学竞赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立.
（1）若已知甲同学取得参加数学竞赛的资格，求甲同学四门课程都合格的概率；
（2）记X表示三位同学中取得参加数学竞赛的资格的人数，求X的分布列及期望E（X）.
17.(本小题15分)
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线的左顶点为A，过点D（2，0）的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限.
（1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；
（2）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的斜率的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.
（3）若，（其中a,b＞0），∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2），证明：ab≥1.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】-120
13.【答案】72
14.【答案】．
15.【答案】
16.【答案】 分布列
数学期望为
17.【答案】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BDC，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（2）解：由（1）得AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意得EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，
分别以EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1，
由图1条件计算得AE=，BC=2，EF=，
则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，），
F（，0，0），C（，2，0），=（），=（0，1，-），
由AE⊥平面BCD，得平面BCD的法向量为=（0，0，），
设平面ADC的一个法向量为=（x，y，z），
则，取z=1，得=（-1，，1），
∴cs＜＞==，
∴二面角A-DC-B的余弦值为．
18.【答案】
19.【答案】当a≤0时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（-∞，-lna）单调递减，在（-lna，+∞）单调递增 [1，+∞） 因为∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2），
所以f（x）min≥g（x）min；因为a＞0，由（1）知，；由，
可得g′（x）=，
在（b，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在（0，b）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减；所以g（x）min=g（b）=-lnb+1-b；注意到，
所以f（x）min≥g（x）min，即，
又因为h（x）单调递增，所以＞0，
即ab≥1 X
-2
0
1
2
P
m
n
课程
代数
平面几何
数论
组合
合格的概率
X
0
1
2
3
P