2024-2025学年黑龙江省佳木斯市桦南一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省佳木斯市桦南一中高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|1≤x≤5}，B={x|0bC. b>c>aD. c>b>a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设两个随机变量X、Y满足X服从正态分布N(0,1)，Y服从二项分布B(2,12)，则( )
(若随机变量Z～N(μ,σ2)，P(μ−σ≤Z≤μ−σ)≈0.6826)
A. E(X)P(Y≤1)
10.下列说法正确的是( )
A. 决定系数R2越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
B. 经验回归方程y =3x+1相对于点(2,6.5)的残差为−0.5
C. 根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2=7.881>6.635=x0.01，则依据α=0.01的独立性检验，可以认为“x与y没有关联”
D. 样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强
11.已知二项式(x−2y)7，则其展开式中( )
A. x5y−2的系数为84B. 各项系数之和为−1
C. 二项式系数之和为−1D. 二项式系数最大项是第4或5项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列{an}的前n项之和为Sn，若a1>0，S4=S9，则当n=______时，Sn取得最大值．
13.已知函数f(x)=lnxx+a，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行，则实数a的值为______．
14.袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，则E(ξ)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=12，2an+1=an+1．
(1)证明：数列{an−1}是等比数列；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4 2，椭圆E的焦距为4．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点M(M不在x轴上)在椭圆E上，求直线AM，BM的斜率之积．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC= 5，PD=1，求平面PDM和BDM夹角的余弦值．
18.(本小题15分)
某学术平台引入AI智能检测系统对所收到的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收到的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y(分).y与文本长度x(字)可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为y =b x+0.95，且x−=480，y−=0.35.已知该平台中15%的文本由AI生成．
(1)求回归系数b；
(2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率(精确到0.001)；
(3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表(篇数四舍五入取整数)：
依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
提示：χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=12ax2+lnx−(a+1)x，a∈R．
(1)当a>0时，讨论f(x)的单调性；
(2)当a>0时，设g(x)=f(x)x，若g(x)既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.D
5.B
6.A
7.C
8.A
9.ACD
10.BD
11.ABD
12.6或7
13.−12
14.89
15.解：(1)证明：由2an+1=an+1，得2an+1−2=an−1，
又a1−1=−12，所以an−1≠0，故an+1−1an−1=12，
故{an−1}是以−12为首项，以12为公比的等比数列；
(2)由(1)得an−1=−(12)n，得an=1−(12)n，
所以nan=n−n(12)n，设数列bn=n(12)n的前n项和为Pn，
则Pn=1×12+2×(12)2+⋯+n(12)n，①
12Pn=1×(12)2+2×(12)3+⋯+n(12)n+1，②
由①−②，得12Pn=12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−n(12)n+1
=12[1−(12)n]1−12−n(12)n+1=1−(12)n−n(12)n+1，
所以Pn=2−(n+2)(12)n，
故Tn=1+2+3+⋯+n−Pn=n2+n2−Pn=n2+n−42+n+22n．
16.(1)设椭圆半焦距为c，则依题意有2c=4，所以c=2，
因为椭圆左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4 2，所以2a=4 2，则a=2 2，
所以b2=a2−c2=8−4=4，
所以椭圆E的方程为x28+y24=1．
(2)设M(x0,y0)(x0≠±2 2)，为点M在椭圆上，所以x028+y024=1，
由(1)可得A(−2 2,0)，B(2 2,0)，
则kAM⋅kBM=y0x0+2 2⋅y0x0−2 2=y02x02−8=y028−2y02−8=y02−2y02=−12．
即直线AM，BM的斜率之积为−12．
17.解：(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：

∵M为棱PC的中点，
∴MN//CD，MN=12CD，∵AB/​/CD，AB=12CD，
∴AB//MN，AB=MN，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM//AN，
又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴BM//平面PAD；
(2)∵PC= 5，PD=1，CD=2，
∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，
又AD，CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，由AD⊥DC，
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，M(0,1,12)，
∴DA=(1,0,0)，DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)，
设平面BDM的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥DMn⊥DB，∴n⋅DM=0,n⋅DB=0,即y+12z=0,x+y=0.
令y=−1，则x=1，z=2，
∴平面BDM的一个法向量为n=(1,−1,2)，
易知DA为平面PDM的一个法向量，
∴cs=n⋅DA|n||DA|=1 6×1= 66，
∴平面PDM和BDM夹角的余弦值为 66．
18.解：(1)因为y−=b x−+0.95，所以回归系数b =0.35−0.95480=−0.00125；
(2)记A=“由AI生成的文本”，B=“由人类撰写的文本”，
C=“被检测系统识别为人类撰写的文本”，
则由题意知P(A)=0.15，P(B)=0.85，
P(C|A)=1−98%=0.02，P(C|B)=0.965，
由全概率公式知文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率：
P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)=0.15×0.02+0.85×0.965≈0.823，
即文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为0.823；
(3)由题意知，这200篇文本中，真实AI生成的篇数：200×15%=30，
人类撰写的篇数：200−30=170，
真实AI生成且检测系统识别为AI生成的篇数：30×0.98=29.4≈29，
人类撰写且检测系统识别为人类撰写的篇数：170×0.965=164.05≈164，
所以列联表为：
零假设H0：“检测结果”与“文本真实性”无差异，
所以χ2=200×(29×164−1×6)230×170×35×165=2×47502294525
≈153.213>6.635=α0.01，
故依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，零假设H0不成立，
则可以判断“检测结果“与“文本真实性“有差异．
19.解：(1)当a>0时，f(x)的定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=ax+1x−(a+1)=(ax−1)(x−1)x，
当a=1时，f′(x)=(x−1)2x≥0恒成立，f(x)单调递增；
当a>1时，0