2025-2026学年广东省惠州市第八中学高一（下）期中数学试卷

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1.若复数z满足z（3+4i）=5（其中i是虚数单位），则|z|=（ ）
A. 1B. 2C. 5D.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若b=3，c=2，，则a=（ ）
A. 2B. 3C. D.
3.已知直线a,b,c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若a∥α，b∥α，则a∥b
B. 若a∥b,a∥α，则b∥α
C. 若a⊂α，b⊂α，且a∥β，b∥β，则α∥β
D. α，β，γ三个平面最多可将空间分割成8个部分
4.已知=（-1，1），||=，|+2|=，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在△ABC中，D为靠近点A的三等分点，E为BC的中点，设，以向量为基底，则向量=（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（ ）
A. AB∥MQ
B. AB∥NQ
C. AB⊥MN
D. AB∥平面MNQ
7.已知向量，，则△ABC的面积为（ ）
A. B. 7C. 10D. 14
8.已知O为△ABC的外接圆圆心，OA=2，∠BAC=45°，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数z=（3+4i）（1+i），则（ ）
A. z的虚部为7B. z在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. z是方程x2+2x+50=0的一个根
10.已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 向量与的夹角的余弦值为
D. 向量在上的投影向量的坐标为（2，1）
11.在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA=l，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为3π，则（ ）
A. 当l=3时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
B. 当r=时，过顶点S和两母线的界面三角形的最大面积为
C. 当l=3时，圆锥SO的外接球表面积为
D. 当l=3时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点A（-3，2），B（1，5），C（m,4），且A，B，C三点共线，则m= .
13.已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为 .
14.已知正八面体A-BCDE-F的中心为点O，各棱长均为，已知，，过点O，P，Q作该正八面体的截面，所得截面面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求A；
（2）若b=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
16.(本小题15分)
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=AD=2，E是侧棱PB的中点.
（1）求证：BC⊥平面PAB.
（2）求异面直线AE与PD所成的角.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=CC1=2，点E为AB的中点.
（1）求证：AC1∥平面B1CE；
（2）若，求三棱锥E-CBB1的体积.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知.
（1）求角A的大小；
（2）若D为边BC上一点，满足BD=2CD，且AD=2，求△ABC的面积最大值；
（3）若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且AD=1，求b+2c的最小值.
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量，.作：，，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.
（1）分别根据下列已知条件求；
①，；
②，；
（2）若向量，求证：；
（3）记，，，且满足，，，求的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】．
13.【答案】
14.【答案】．
15.【答案】
16.【答案】证明：由题意四棱锥P-ABCD的底面是正方形，
PA⊥底面ABCD，AP=AB=AD=2，E是侧棱PB的中点，
可得BC⊥AB，
又BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB 60°
17.【答案】证明：连接BC1，设C1B∩CB1=O，连接OE，

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形，则O为BC1的中点，
又因为E为AB的中点，则OE∥AC1，
又因为AC1⊄平面B1CE，OE⊂平面B1CE，
所以AC1∥平面B1CE
18.【答案】
19.【答案】解：（1）因为①，，
所以，
②因为，，
所以；
（2）因为，，
且，
所以，
​​​​​​​所以，
同理，
所以；
（3）设，
因为，
所以或或或，
当时，
=
，
当，即时，
取得最大值；
当时，
=，
当时，取到最大值；
当时，
，
当时，取到最大值；
当时，
，
当时，取到最大值，
综上可得，的最大值为．