2025-2026学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则i•z=（ ）
A. -1+2iB. 1+2iC. 1-2iD. -1-2i
2.已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A. A，C，D三点共线B. A，B，C三点共线C. A，B，D三点共线D. B，C，D三点共线
3.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（ ）
A. 平面ABCD
B. 平面PBC
C. 平面PAD
D. 平面PCD
4.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若c=acsB，则△ABC的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
5.已知a,b是空间两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ）
A. 若α​​​​​​​β，a⊂α，b⊂β，则a∥b
B. 若a​​​​​​​α，a⊥β，则α⊥β
C. 若α∩β=a，γ∩β=b，ab,则αγ
D. 若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
6.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ）
A. B. C. 28D. 56
7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，F为棱CC1的中点，则异面直线A1E与B1F所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.在△ABC中，内角A，B，C所对应边分别为a,b,c,则下列说法不正确的是（ ）
A. 点G为△ABC的重心，若，则λ+2μ=0
B. 若满足a=t,b=2，A=30°的△ABC有两解，则t的取值范围为（1，2）
C. 若点O为△ABC内一点，且，则S△BOC：S△ABC=1：6
D. 若，则sinC的最大值为
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A. z在复平面内对应的点位于第四象限B. 若复数z1=1+i,则
C. z的共轭复数为1+iD. z的虚部为-1
10.如图，在△ABC中，，若点D为AB的中点，点E在BC上，且，线段AE与CD相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，动点P在线段B1D1上，以下结论正确的为（ ）
A. 三棱锥B-A1DP的体积为定值
B. 过P，B，C1三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形
C. 当点P和B1重合时，三棱锥P-A1BD的外接球体积为
D. 直线PD与平面A1BD所成角的正弦值的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为 .（结果保留π）
13.若=（2，2），=（-2，3）分别表示，，则|+|为 .
14.素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为6的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C出发，沿表面到达点D的最短路线长为 .​
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，，k∈R.
（1）当时，求k的值；
（2）当时，求k的值；
（3）若向量且，求实数x,k的值.
16.(本小题15分)
AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB=2，AC=1，P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O，PB与平面所成角为45°
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）求点A到平面PBC的距离.
17.(本小题15分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+2b）csC+ccsA=0.
（1）求C；
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值.
18.(本小题17分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为DD1的中点.
（1）求证：直线BD1∥平面PAC；
（2）求直线AP与平面BDD1B1所成角的大小.
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19.(本小题17分)
定义：函数f（x）=λsinx+μcsx为向量的和谐函数，向量为和谐函数f（x）=λsinx+μcsx的和谐向量.
（1）求函数的和谐向量；
（2）已知和谐向量的和谐函数为g（x），△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,其中，且g（A）=1.
（i）若点G为△ABC的重心，求的最大值；
（ii）若△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC且与BC交于点D，求AD长度的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BD
10.【答案】AB
11.【答案】ABC
12.【答案】2π
13.【答案】5
14.【答案】4+2
15.【答案】 k=2
16.【答案】（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB是圆O的直径，C是圆上一点，∴BC⊥AC，
又∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
（2）解：如图，过点A作AD⊥PC，于点D，
∵BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC，
∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC，
∴AD即为点A到平面PBC的距离，
依题意知∠PBA是PB与平面ABC所成的角，∴∠PBA=45°，
∴PA=AB=2，AC=1，解得PC=，
∵AD•PC=PA•AC，
∴AD=，
∴点A到平面PBC的距离为．
17.【答案】解：（1）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
因为（a+2b）csC=-ccsA，
由正弦定理=2R得（sinA+2sinB）csC=-sinCcsA，
即sinAcsC+2sinBcsC=-sinCcsA，
所以2sinBcsC=-（sinAcsC+sinCcsA），
根据两角和的正弦公式和诱导公式可得2sinBcsC=-sin（A+C）=-sinB，
因为sinB≠0，所以，
因为0＜C＜π，所以；
（2）根据三角形的面积公式可得，
由余弦定理得，
化简得4=a2+b2+ab,又因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立，
所以4-ab≥2ab,即，
所以，故△ABC的面积最大值为．

18.【答案】解：（1）证明：设AC∩BD=O，连接OP，
因为AB=AD=2，且ABCD-A1B1C1D1为长方体，
则四边形ABCD为正方形，所以O为线段BD中点，又P为DD1的中点，
所以OP∥D1B，又OP⊂平面PAC，D1B⊄平面PAC，
所以D1B∥平面PAC；
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（2）因为DD1⊥平面ABCD，平面ABCD，所以AO⊥DD1，
又AO⊥BD，且BD，DD1⊂平面BDD1B1，,
所以AO⊥平面BDD1B1，
所以∠APO为直线AP与平面BDD1B1所成角，
在Rt△ADP中，，
因为在Rt△APO中，，所以∠APO=30°，
故直线AP与平面BDD1B1所成角为30°．
19.【答案】 （i）；（ii）