2025-2026学年辽宁省鞍山市第十三中学等校高一（下）期中数学试卷

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1.已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4，则扇形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知|1-i|2z=-4+4i,则z的虚部为（ ）
A. -2B. -2iC. 2D. 2i
3.下列各式中，值为的是（ ）
A. sin15°cs15°B.
C. D.
4.已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数f（x）的一个零点是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数的图象如图所示，则f（0）=（ ）
A.
B.
C.
D. 0
6.在△ABC中，a-b=c（csB-csA），则这个三角形一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
7.若，则=（ ）
A. 或2B. -2或C. 2D.
8.如图，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD=2，BD=1，点M为线段CE上的动点，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列有关复数z的叙述正确的是（ ）
A. 若z=i3，则B. 若，则z的虚部为-i
C. 若|z|=1，则D. 若|z-i|=1，则0≤|z|≤2
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. f（x）的值域是R
B. f（x）在定义域内是增函数
C. f（x）的最小正周期是
D. f（x）＞1的解集是
11.已知函数f（x）=|cs2x|+cs|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A. f（x）在区间上单调递增
B. π不是f（x）的一个周期
C. 当时，f（x）的值域为
D. f（x）的图象关于y轴对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则= ．
13.若x∈（0，），sin（x+）=，则sin（2x+）=______．
14.已知函数f（x）=cs（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），当x=-时函数f（x）能取得最小值，当x=时函数y=f（x）能取得最大值，且f（x）在区间（，）上单调．则当ω取最大值时φ的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥．
（1）求与的夹角；
（2）若|+|=，求||．
16.(本小题15分)
若，且．
（1）求cs2α的值；
（2）求α+β．
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）化简f（α）；
（2）求函数在的值域.
18.(本小题17分)
在面积为S的△ABC中，内角A，B，C，所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求角C；
（2）若，求△ABC的周长；
（3）若△ABC为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求△ABC面积的取值范围.
19.(本小题17分)
三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（以下简称“T点”）.通过研究发现三角形中的“T点”满足到三角形三个顶点的距离和TA+TB+TC最小.当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为“T点”；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为“T点”.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.
（1）若，求A的大小；
（2）在（1）的条件下，若bc=4，设点P为△ABC的“T点”，求；
（3）若acsB-bcsA=c,设P点为△ABC的“T点”，，求实数t的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】-
15.【答案】解：（1）∵（-）⊥，∴（-）•=0，
∴•-=0，
∴||•||•cs＜，＞-=0，
∵||=2||，∴2cs＜，＞-=0，
∴cs＜，＞=，
∵向量夹角θ∈[0，π]，∴与的夹角为．
（2）∵|+|=，∴+2+=14，
∵||=2||，又由（1）知cs＜，＞=，
∴7=14，∴||=．
16.【答案】解：（1）∵α∈[，π]，∴2α∈[，2π]，
又∵sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，
∴cs2α=-=-；
（2）由（1）知α∈[，]，∴-α∈[-，-]，
∴β-α∈[，]，又sin（β-α）=>0，
∴β-α∈[，]，∴cs（β-α）=-=-，
∵α+β=2α+（β-α）∈[，2]，
∴cs（α+β）=cs[2α+（β-α）]
=cs2αcs（β-α）-sin2αsin（β-α）
=×(-)-×
=,
则α+β=．
17.【答案】解：（1）；
（2）由（1）可得，
令t=sinx,
∵，
∴t∈[0，1]，
∴h（t）=g（x）=-2t2+t+4，t∈[0，1]，
对称轴为，
当时，，
当t=1时，h（t）min=h（1）=-2+1+4=3，
故函数g（x）的值域为．
18.【答案】；
；
．
19.【答案】；
-2；
．