2026届河南省罗山县高级中学高考仿真卷数学试卷含解析

这是一份2026届河南省罗山县高级中学高考仿真卷数学试卷含解析，共14页。试卷主要包含了设，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（ ）
A．B．-2C．D．2
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．2
4．一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）
A．72种B．144种C．288种D．360种
9．设，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（ ）
A．3B．C．D．
11．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
12．已知，若，则等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数的图像上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为__________．
14．数列的前项和为 ，则数列的前项和_____．
15．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为______.
16．已知数列与均为等差数列（），且，则______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：
假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.
（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；
（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；
（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（）.写出方差，，，，，的大小关系.
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，∠，是边长为2的正三角形，，为线段的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．
19．（12分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，，，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，，其中栈道，，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.
用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；
求当为何值时，栈道总长度最短.
20．（12分）的内角，，的对边分别为，，，其面积记为，满足.
（1）求；
（2）若，求的值.
21．（12分）已知，函数.
（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；
（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.
22．（10分）已知函数(mR)的导函数为．
（1）若函数存在极值，求m的取值范围；
（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mR，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.
【详解】
因为，由诱导公式得，所以 .
故选B
【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.
2、A
【解析】
设，用表示出，求出的值即可得出答案.
【详解】
设
由
，
，
.
故选：A
【点睛】
本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.
3、B
【解析】
结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.
【详解】
由，以及，解得.
.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.
4、B
【解析】
根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心.
【详解】
如图所示：
因为正四棱锥底边边长为，高为，
所以 ，
到 的距离为，
同理到 的距离为1，
所以为球的球心，
所以球的半径为：1，
所以球的表面积为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.
5、B
【解析】
根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】
将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
设，
则当时，，，
即，
要使在区间上单调递减，
则得，得，
即实数的最大值为，
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
6、A
【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出，结合，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
解：由双曲线可知，焦点在轴上，
则双曲线的渐近线方程为：，
由于焦距是虚轴长的2倍，可得：，
∴，
即：，，
所以双曲线的渐近线方程为：.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.
7、B
【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.
【详解】
抛物线，则焦点，准线方程为，
根据抛物线定义可得，
圆，圆心为，半径为，
点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.
点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，
则的周长为，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.
8、B
【解析】
利用分步计数原理结合排列求解即可
【详解】
第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.
选.
【点睛】
本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题
9、D
【解析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.
【详解】
由,即,
又,即,
,即,
所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.
10、D
【解析】
由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.
【详解】
由双曲线方程可知：，渐近线方程为：，
一条渐近线的倾斜角为，，解得：.
故选：.
【点睛】
本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.
11、C
【解析】
由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角．
【详解】
连接，，如图：
又，则为异面直线与所成的角.
因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面，
∴，
又，，∴，
∴，解得.
故选C
【点睛】
考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
12、C
【解析】
先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.
【详解】
由题可知，
因为，所以有，得，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
由题知x>0，且满足约束条件的图象为
由图可知当与交于点B(2,1)，当直线过B点时，m取得最大值为1.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
14、
【解析】
解： 两式作差，得 ，经过检验得出数列的通项公式，进而求得 的通项公式， 裂项相消求和即可．
【详解】
解：
两式作差，得
化简得 ，
检验：当n=1时， ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列； ，，
令

故填： ．
【点睛】
本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．
15、
【解析】
由三角函数图象相位变换后表达函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
则
所以，当函数最大，最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.
16、20
【解析】
设等差数列的公差为,由数列为等差数列,且,根据等差中项的性质可得,
,解方程求出公差,代入等差数列的通项公式即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为,
由数列为等差数列知,,
因为,所以,
解得,所以数列的通项公式为
，
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）（3）
【解析】
（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，根据古典概型求出即可；
（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，，，设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则（E），求出即可；
（3）根据题意，写出即可．
【详解】
（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，
有效问卷共有（份，
其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是人，
故（A）；
（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，，，
根据题意，可知（A），（B），（C），
设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“
则
.
所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.
（3）．
【点睛】
本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题．
18、（1）见解析； （2）.
【解析】
（1）先证明，可证平面，再由可证平面，即得证；
（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值为，可求解，转化即得解.
【详解】
（1）证明：因为是正三角形，为线段的中点，
所以．
因为是菱形，所以．
因为，所以是正三角形，
所以，所以平面．
又，所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（2）由（1）知平面，
所以，．
而，
所以，．
又，
所以平面．
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
则．
于是，，．
设面的一个法向量，
由得
令，则，
即．
设，
易得，．
设面的一个法向量，
由得
令，则，，
即．
依题意，
即，
令，则，
即，即．
所以．
【点睛】
本题考查了空间向量和立体几何综合，考查了面面垂直的判断，二面角的向量求解，三棱锥的体积等知识点，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
19、，；当时，栈道总长度最短.
【解析】
连，，由切线长定理知：，，，，即，，
则，，进而确定的取值范围；
根据求导得，利用增减性算出，进而求得取值.
【详解】
解：连，，由切线长定理知：，，
，又，，故，
则劣弧的长为，因此，优弧的长为，
又，故，，即，，
所以，，，则；
，，其中，，
故时，
所以当时，栈道总长度最短.
【点睛】
本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得，进而求得的值；
（2）根据正弦定理将边化为角，结合（1）中的值，即可将表达式化为的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得和，进而由正弦定理确定，代入整式即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得
，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，
所以由正弦定理代入化简可得，
由（1），代入可得，
展开化简可得，
根据辅助角公式化简可得.
因为，所以，所以，
所以为等腰三角形，且，
所以.
【点睛】
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.
21、（1）（2）见解析
【解析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；
（2）不妨设，，，
利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；
【详解】
解：（1）∵
∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，
∴在上恒成立.设，
∵函数在上单调递增，∴，
∴，∴实数的取值范围为.
（2）不妨设，，，
则，
∴.
∵，∴，
又，令，∴，
∴在上为减函数，∴，
∴，即，
∴在上是减函数，∴，即，
∴，
∴当时，.
∵，∴.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22、（1）（2）{1，2}．
【解析】
（1）求解导数，表示出，再利用的导数可求m的取值范围；
（2）表示出，结合二次函数知识求出的最小值，再结合导数及基本不等式求出的最值，从而可求正整数k的取值集合．
【详解】
（1）因为，所以，
所以，
则，
由题意可知，解得；
（2）由（1）可知，，
所以
因为
整理得，
设，则，所以单调递增，
又因为，
所以存在，使得，
设，是关于开口向上的二次函数，
则，
设，则，令，则，
所以单调递增，因为，
所以存在，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
又由题意可知，所以，
解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}．
【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题，恒成立问题要逐步消去参数，转化为最值问题求解，适当构造函数是转化的关键，本题综合性较强，难度较大，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
卫生习惯状况类
垃圾处理状况类
体育锻炼状况类
心理健康状况类
膳食合理状况类
作息规律状况类
有效答卷份数
380
550
330
410
400
430
习惯良好频率
0.6
0.9
0.8
0.7
0.65
0.6
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增