2026届河南省焦作市高考数学二模试卷含解析

这是一份2026届河南省焦作市高考数学二模试卷含解析，共25页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，两圆和相外切，且，则的最大值为， “”是“，”的等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的( )条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
2．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
3．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ）
A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点
C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点
5．两圆和相外切，且，则的最大值为（ ）
A．B．9C．D．1
6．将函数向左平移个单位，得到的图象，则满足（ ）
A．图象关于点对称，在区间上为增函数
B．函数最大值为2，图象关于点对称
C．图象关于直线对称，在上的最小值为1
D．最小正周期为，在有两个根
7．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ）
A．B．C．4D．5
8． “”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
9．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )
A．2B．3C．3.5D．4
10．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（ ）
A．100B．1000C．90D．90
11．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好； ③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“ ，”的充要条件；其中真命题的个数为( )
A．4B．3C．2D．1
12．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中，点P在直线上，过点P作圆C：的一条切线，切点为T.若，则的长是______.
14．已知函数为上的奇函数，满足.则不等式的解集为________.
15．曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为，则实数=____。
16．若奇函数满足，为R上的单调函数，对任意实数都有，当时，，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图.
（1）求抽取的这家店铺，元旦当天销售额的平均值；
（2）估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家；
（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.
18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．
19．（12分）已知在等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项的和.
20．（12分）如图1，四边形是边长为2的菱形，，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
21．（12分）已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足，，，求.
22．（10分）已知抛物线:，点为抛物线的焦点，焦点到直线的距离为，焦点到抛物线的准线的距离为，且.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若轴上存在点，过点的直线与抛物线相交于、两点，且为定值，求点的坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断.
【详解】
对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；
若，则可得，必要性成立.
故选：B
【点睛】
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.
2、A
【解析】
易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.
【详解】
由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，
又所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.
3、C
【解析】
设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值．
【详解】
设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键．
4、A
【解析】
根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.
【详解】
,，
,
又，,
平面,又平面
，
故在以为直径的圆上，
又是内异于的动点，
所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B
故选：A
【点睛】
本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.
5、A
【解析】
由两圆相外切，得出，结合二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】
因为两圆和相外切
所以，即
当时，取最大值
故选：A
【点睛】
本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.
6、C
【解析】
由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.
【详解】
函数，
则，
将向左平移个单位，
可得，
由正弦函数的性质可知，的对称中心满足，解得，所以A、B选项中的对称中心错误；
对于C，的对称轴满足，解得，所以图象关于直线对称；当时，，由正弦函数性质可知，所以在上的最小值为1，所以C正确；
对于D，最小正周期为，当，，由正弦函数的图象与性质可知，时仅有一个解为，所以D错误；
综上可知，正确的为C，
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.
7、D
【解析】
根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．
【详解】
解：复数z＝a+bi，a、b∈R；
∵2z，
∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，
即，
解得a＝3，b＝4，
∴z＝3+4i，
∴|z|．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．
8、B
【解析】
先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．
9、C
【解析】
根据表中数据，即可容易求得中位数.
【详解】
由图表可知，种子发芽天数的中位数为，
故选：C.
【点睛】
本题考查中位数的计算，属基础题.
10、A
【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解
【详解】
由题意，支出在（单位：元）的同学有34人
由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为
．
故选：A
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
11、C
【解析】
①根据线性相关性与r的关系进行判断,
②根据相关指数的值的性质进行判断,
③根据方差关系进行判断,
④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.
【详解】
①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;
②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;
④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点 必满足线性回归方程 ；因此“满足线性回归方程”是“ ，”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③.
故选：C.
【点睛】
本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.
12、C
【解析】
先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.
【详解】
由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，
又有，综上得的取值范围是.
故选：C
【点睛】
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
作出图像，设点，根据已知可得，，且，可解出，计算即得.
【详解】
如图，设，圆心坐标为，可得，
，，
，，解得，，
即的长是.
故答案为：
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想.
14、
【解析】
构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形为，利用函数的单调性即可得解.
【详解】
设，则，
设，则.
当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.
所以，函数在处取得极小值，也是最小值，即，
，，，即，
所以，函数在上为增函数，
函数为上的奇函数，则，
，则不等式等价于，
又，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．
15、或1
【解析】
利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与轴和的交点，由三角形的面积公式可得所求值．
【详解】
的导数为，
可得切线的斜率为3，切线方程为，
可得，可得切线与轴的交点为，，切线与的交点为，
可得，解得或。
【点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。
16、
【解析】
根据可得,函数是以为周期的函数，令，可求，从而可得，代入解析式即可求解.
【详解】
令，则，
由，则，
所以，解得，
所以，
由时，，
所以时，；
由，所以，
所以函数是以为周期的函数，
，
又函数为奇函数，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）元；（2）32家；（3）分布列见解析；
【解析】
（1）根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解；
（2）求出的频率即可；
（3）中的个数的所有可能取值为，，，求出可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.
【详解】
（1）频率分布直方图销售额的平均值为
千元，
所以销售额的平均值为元；
（2）不低于元的有家
（3）销售额在的店铺有家，
销售额在的店铺有家.选取两家，
设销售额在的有家.则的所有可能取值为，，.
，，
所以的分布列为
数学期望
【点睛】
本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.
18、（1）,；（2） .
【解析】
（1）先把直线和曲线的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程；
（2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得，再由面积可解得极角，从而可得．
【详解】
（1）直线的参数方程是为参数），
消去参数得直角坐标方程为：．
转换为极坐标方程为：，即．
曲线的参数方程是（为参数），
转换为直角坐标方程为：，
化为一般式得
化为极坐标方程为：．
（2）由于，得，．
所以，
所以，
由于，所以，
所以．
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
19、（1）（2）
【解析】
（1）由基本量法，求出公比后可得通项公式；
（2）求出，用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为
又因为，所以
解得（舍）或
所以，即
（2）据（1）求解知，，
所以
所以
【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握．
20、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由题意可证得，，所以平面，则平面平面可证；
（2）解法一：利用等体积法由可求出点到平面的距离；解法二：由条件知点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作的垂线，垂足，证明平面，计算出即可.
【详解】
解法一：（1）依题意知，因为，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又平面，
所以.
由已知，是等边三角形，且为的中点，所以.
因为，所以.
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）在中，，，所以.
由（1）知，平面，且，
所以三棱锥的体积.
在中，，，得，
由（1）知，平面，所以，
所以，
设点到平面的距离，
则三棱锥的体积，得.
解法二：（1）同解法一；
（2）因为，平面，平面，
所以平面.
所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
过点作的垂线，垂足，即.
由（1）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，即为点到平面的距离.
由（1）知，，
在中，，，得.
又，所以.
所以点到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）化简得到，取，解得答案.
（2），解得，根据余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.
【详解】
（1）.
取，解得.
（2）,
因为， 故，.
根据余弦定理：，.
.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
22、（1）
（2）
【解析】
（1）先分别表示出，然后根据求解出的值，则的标准方程可求；
（2）设出直线的方程并联立抛物线方程得到韦达定理形式，然后根据距离公式表示出并代入韦达定理形式，由此判断出为定值时的坐标.
【详解】
（1）由题意可得，焦点，，则
，，
∴解得.
抛物线的标准方程为
（2）设，设点，，显然直线的斜率不为0.
设直线的方程为
联立方程，整理可得
，，
∴，
∴
要使为定值，必有，解得，
∴为定值时，点的坐标为
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题，难度一般.（1）处理直线与抛物线相交对应的定值问题，联立直线方程借助韦达定理形式是常用方法；（2）直线与圆锥曲线的问题中，直线方程的设法有时能很大程度上起到简化运算的作用。
发芽所需天数
1
2
3
4
5
6
7
种子数
4
3
3
5
2
2
1
0