高考数学一轮复习考点讲与练专题17 函数中的构造问题同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题17 函数中的构造问题同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了，则不等式的解集为，已知，，则的最大值为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025•鼓楼区模拟）已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则的最大值为
A．B．1C．2D．0
2．（2025•福州模拟）已知函数是定义在，上的奇函数，其导函数为，当，时，，则不等式的解集为
A．，B．，C．，D．，
3．（2025春•四川期中）已知是可导的函数，且对于恒成立，则
A．（1），
B．（1），
C．（1），
D．（1），
4．（2025春•辽宁期中）定义在上的函数满足，且（5），则不等式的解集为
A．B．C．D．
5．（2025春•郑州月考）已知，，则的最大值为
A．B．C．D．
6．（2025•枣庄模拟）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是
A．B．C．D．
7．（2025春•沈阳期中）已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为
A．B．C．D．
8．（2025春•河南期中）定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
9．（2025春•锦江区期中）已知为定义在，，上的奇函数，（1），且当时，有，则使成立的的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10．（2025春•重庆期中）已知函数在上可导，且（1），其导函数满足，则不等式的解集为
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•江北区期中）已知函数的导函数为，若是自然对数的底数），且，则下列结论正确的是
A．在区间上单调递增
B．有最小值
C．有3个零点
D．若关于的不等式恰有3个整数解，则，
（多选）12．（2025•越城区模拟）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则
A．为偶函数B．在上单调递增
C．，D．，
（多选）13．（2025春•哈尔滨期中）已知，函数有两个极值点，，下列说法中正确的是
A．
B．
C．
D．若存在，使得，则
（多选）14．（2025•荆州模拟）已知函数，是其导函数．若存在，，且，满足，则
A．B．
C．D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025•甘肃模拟）已知函数，满足（2），且在上的导数满足，则不等式的解集为 ．
16．（2025•汉川市模拟）已知不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
17．（2024秋•保山期末）已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集是 ．
18．（2025•山西模拟）已知函数在上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025•甘肃模拟）已知函数．
（1）时，求在处的切线．
（2）求函数的极值；
（3）若函数在区间，上恰有两个零点，求的取值范围．
20．（2025春•张掖月考）已知，．
（1）求曲线在点，（e）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）讨论函数在，上的单调性；
（3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（2025•河南二模）已知函数f（x）＝2ax+axcsx﹣sinx（a∈R）．
（1）当a＝1时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若对任意x≥0，都有f（x）≥0，求实数a的取值范围；
（3）证明：．
22．（2025•回忆版）已知函数，其中．
（1）证明：在存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设，为在的极值点和零点，
设，证明：在单调递减；
比较与的大小，并证明你的结论．
23．（2025春•深圳月考）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：且；
（3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
24．（2025•阆中市模拟）已知函数，，；
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若正数使得对，恒成立，求的取值范围；
（3）设函数，，，讨论其在定义域内的零点个数．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】结合单调性定义可得函数单调递增，则恒成立，即恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性从而得其最值即可得解．
【解答】解：不妨设，因为，
所以，
令，
则，所以在上单调递增，
则恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，所以的最大值为1．
故选：．
2．【答案】
【分析】构造函数，结合题意可得是定义在，上的偶函数，且在，上单调递增；不等式，脱“”可得答案．
【解答】解：当，时，，
令，
则当，时，，
在，上单调递增，①
又函数是定义在，上的奇函数，
是定义在，上的偶函数，②
不等式，
，
即，其中，且，即，③
由①②得，
解得，④
联立③④得，
故选：．
3．【答案】
【分析】设，，利用导数判断出的单调性，再利用单调性比较大小可得答案．
【解答】解：设函数，，那么导函数，
可得函数在上单调递减，
因此，（1），所以，
因此（1），．
故选：．
4．【答案】
【分析】令，，对其求导，结合导数与单调性关系进行转化即可求解．
【解答】解：令，，
因为定义在上的函数满足，
则，
所以在上单调递增，
因为（5），
所以（5）（5），
不等式可化为，即，
所以，即．
故选：．
5．【答案】
【分析】令，求导分析，结合题意可得，再令，利用导数与函数的单调性与极值的关系可求得答案．
【解答】解：令，
则，
当时，，在上单调递增．
，
（b），又，故，
，故，
，
令，
则，
当时，，当时，，
当时，取得极大值，也是最大值（2）的最大值为．
故选：．
6．【答案】
【分析】构造函数，目标即可转化为解不等式（1），再结合可得在上单调递减的性质即可．
【解答】解：令，
因为，
则，所以在上单调递减，
因为，
所以（1）（1），所以不等式可变为，
即（1），所以，即，
所以不等式的解集为．
故选：．
7．【答案】
【分析】令函数，求其导函数，根据导函数的符号与函数单调性的关系判断出的单调性，将已知不等式转化为，利用单调性，可得关于的不等式，求解即可．
【解答】解：令，
则，
恒成立，，
为定义域上的减函数，
由不等式，得，即，
，．
故选：．
8．【答案】
【分析】构造函数，再对其求导，结合条件，判断函数的单调性，比较函数值的大小即可．
【解答】解：设，，
则，
因为恒成立，所以，
因为时，，
所以，
所以函数在上的单调递减，
因为，所以，
所以，即，
对于：因为，选项不一定成立；
对于：因为，选项不一定成立；
对于成立；
对于，选项不成立．
故选：．
9．【答案】
【分析】构造函数，可得当时，进而可得在上为增函数，进而可得当时，，当时，，再由函数为奇函数可得．
【解答】解：令函数，当时，导函数，
因此在上为增函数，且（1）（1），
因此当时，函数，得，
当时，函数，得，
又因为函数为定义在，，上的奇函数，
因此由可解得或．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据题意，设，求导分析的单调性，又，可转化为，即（1），结合函数的单调性，可得，求解即可．
【解答】解：根据题目：已知函数在上可导，且（1），其导函数满足，
设，则，
又，所以，所以在上单调递增．
不等式等价于，
即，
所以，解得，
即不等式的解集为．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】先由求导的逆运算结合复合函数求导规则得到函数的表达式，再求导分析单调性和极值可得、错误，作出函数图象，数形结合可得错误，正确．
【解答】解：由可得，
变形得，即，
所以，
又，代入上式，得，
所以，则，
对于，令可得或1，
当时，，函数在为单调递增函数；
当或时，，函数在，上为单调递减函数，
故错误；
对于，结合可知当时，；当时，；
当时，函数取得极小值，也是最小值，
时，函数取得极大值（1），故正确；
对于，作出函数图象，由图象可得函数有两个零点，故错误；
对于，，，
故关于的不等式恰有3个整数解，
等价于在直线下方的图象有3个横坐标为整数的点，，，
由函数图象可得，即，
所以，，故正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据给定条件，结合复合函数求导及奇偶性定义判断；求出及其导数的解析式依次判断．
【解答】解：对于选项，由是定义在上的奇函数，得，
求导得，
即，因此函数为偶函数，故选项正确；
由，得，
即，
解得，，
对于选项，，因此在上单调递增，故选项正确；
对于选项，，，即，故选项错误；
对于选项，当时，，
求导得，
函数在上单调递增，，
因此，故选项正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】由题设有两个变号的零点，进而得、，依次判断、、；问题化为能成立，应用分类讨论求参数范围判断．
【解答】解：由题意函数有两个极值点，，
对函数进行求导，
故有两个变号的零点，当时不符，
所以，则，，
由，故、异号，故，即，故错误、正确；
，
由，故，故正确；
，
即存在，使得，
即存在，使得且，
由，故必存在使能成立，
对于，有，
解得，即，错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】先求导函数，再根据函数图象，结合单调性判断，
再根据三角函数化简求解得出进而判断，，
结合基本不等式计算求解．
【解答】解：对于选项：因为函数，是其导函数，
所以，
数形结合，得到内的大致图象为如图所示，
故，，，故选项正确；
对于选项：由得，
即，
由题意，则，
因为，，则，故选项正确；
对于选项：又，故选项正确；
对于选项：因为，从而错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．
【分析】根据在上的导数满足即，当时得到函数单调递减，当时，得到（2）即，解得，矛盾；当时得到函数单调递增，当时，得到（2）即，解得，求出解集即可．
【解答】解：根据在上的导数满足即，讨论导函数的正负得到函数的单调区间为：
①当时得到函数单调递减，
即当时，得到（2）即，解得，矛盾；
②当时得到函数单调递增，
即当时，得到（2）即，解得，所以或
综上，不等式的解集为或
故答案为或
16．【答案】，．
【分析】把不等式，转化为，结合，即可得到的取值范围．
【解答】解：设，，则，
令，解得；
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，即，所以．
由不等式，得，所以，
所以，
因为，
当且仅当时等号成立，令，解得，
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
17．【答案】，，．
【分析】首先根据条件构造函数，再由函数的导数倒推函数的解析式，再求解不等式．
【解答】解：令，结合已知得：
，
设，又，，
，
所以，
解得：或，
所以不等式的解集为，，．
故答案为：，，．
18．【答案】．
【分析】构造函数，利用函数的单调性解不等式即可．
【解答】解：设函数，那么导函数，
因此函数在上单调递减，
且，即，
所以，
因此．
因此的解集为．
故答案为：
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）当时，无极值，
当时，的极大值为，无极小值；
（3）．
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）应用分类讨论及导数研究函数的极值即可；
（3）根据（2）易得，进而有求参数范围．
【解答】解：（1），则，
所以，，则在处的切线方程为，可得；
（2）由题意可得，，
当时，恒成立，此时在上单调递增，无极值，
当时，，
由得：，由得：，
此时在单调递增，在单调递减，
的极大值为，无极小值，
综上，当时，无极值，
当时，的极大值为，无极小值；
（3）由（2）可知，当时，在单调递增，
所以在，单调递增，不可能有两个零点，
当时，的极大值为，
因为，所以是的一个零点，
若函数在区间，上恰有两个零点，则，
即，可得：，
所以的取值范围为．
20．【答案】（1）；
（2）当时，在上单调递减；
当时，在单调递减，单调递增；
（3），．
【分析】（1）求出曲线在点，（e）处的切线方程，进而求出切线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式即可求解；
（2）利用导数的正负研究原函数的单调性，分与两种情况讨论即可；
（3）分离参数得到，构造函数，利用导数求最大值即可．
【解答】解：（1）由题意，对函数求导可得，所以（e），（e），
所以曲线在点，（e）处的切线方程为（e）（e），
即，，
与两坐标轴的交点分别为，
故围成的三角形的面积为；
（2）因为，故，
令，
当，则，故在上单调递减；
当，则时，，所以在单调递增；
时，，所以在单调递减；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在单调递减，单调递增．
（3）即，
即对一切实数恒成立，
令，
当时，，单调减，
当时，，单调增；故最大值为（1），
则，，
故实数的取值范围是，．
21．【答案】（1）2x﹣y＝0；
（2）；
（3）证明见解析．
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）对函数求导，根据恒成立有，构造，利用导数研究单调性，进而确定函数符号，即可得；
（3）应用分析法转化为证明，构造并用导数研究函数值符号，即可证．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2x+xcsx﹣sinx，则f′（x）＝2﹣xsinx，f′（0）＝2，
又f（0）＝0，所以当a＝1时，f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y＝0；
（2）因为f（0）＝0，f′（x）＝2a+acsx﹣axsinx﹣csx，
要使f（x）≥0对任意x≥0恒成立，必有f′（0）≥0，即，
令，则，
故h（x）在[0，+∞）内单调递减，所以h（x）≤h（0）＝0，即，即，
此时，f（x）＝ax（2+csx）﹣sinx≥，符合题意，
当时，f′（0）＜0，必存在x0＞0，使得当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，x0）上单调递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，
所以实数a的取值范围为；
（3）证明：由（2）知，当x＞0时，，所以，
＝＝，
要证ln（n+1），需证，需证，
令，＝，
所以F（x）在（1，+∞）上单调递增，F（x）＞F（1）＝0，所以，
令，代入得成立，
所以，证毕．
22．【答案】（1）证明见解答．
（2）证明见解答．
，证明见解答．
【分析】（1）对原函数求导，结合导函数取值不同分类讨论判断即可．
（2）求导化简函数，结合已知判断单调性即可．
结合中在上单调递减，得到，进而结合已知推导出是的零点，所以得出，结合和函数的单调性判断即可．
【解答】证明：（1）因为，，
所以
，当时，令，解得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以是在上唯一的极值点，是极大值点．
又因为，，
所以，，
即是在上唯一的零点；
（2）因为，
所以
（注意到，代入）
，
其中，为正数，为正数，显然成立，因此，
所以，即在上单调递减；
，证明如下：
由得，在上单调递减，所以，
即，，
因为是的零点，所以，
所以，
又因为，，且在，上单调递减，所以．
23．【答案】（1）当时，在上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在上单调递增．
（2）证明见解析．
（3），．
【分析】（1）首先求函数的导数，讨论的取值范围，求函数的单调区间；
（2）首先时，函数为，根据（1）的结论，得时，，再赋值且，代入不等式，利用累加法，即可证明；
（3）由所证明的不等式，构造函数，，再讨论得到取值，通过放缩法得到，构造函数，利用导数，即可证明．
【解答】解：（1）函数的定义域为，因此导函数，
当时，导函数，函数在区间上单调递增，
当时，令导函数，得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
综上可得，当时，在上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在上单调递增．
（2）证明：当时，函数，
根据第一问可知，函数在上单调递减，在，上单调递增，
因此（2），即在上恒成立，
因此当时，，
令且，那么，
即，，，
累加得，
因此当且时，．
（3）根据题对任意，都有恒成立，
所以不等式在上恒成立，
令函数，，即函数在上恒成立，
①当时，由于在上单调递增且（2），（4），
故存在唯一，使得，即，即，即，
此时这与在上恒成立不符；
②当时，由于，，
则有，
令，所以，
令，得，
所以当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以当时，（1），
令，则，，令，所以，
令，得，
所以当，时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增，
所以当，时，，
即在上恒成立，符合题意．
综上，实数得到取值范围是，
24．【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
（2）设，求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定的范围即可；
（3）求出的解析式，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值，从而确定零点的个数即可．
【解答】解：（1）时，，
故，，
故函数在，处的切线方程是：，
即；
（2）设，
，
时，，，
故对，恒成立，
当时，由得：，
故在，递增，
又，
故对，恒成立，
当时，由得：，
在，递减，
，
故对，恒成立，
综上，的范围是，；
（3），
，
当时，，无零点，
当则，，
故在，递减，
由，，
故函数有且只有1个零点，
若，令，解得：，
故，，递增，
，时，，递减，
故，
又，，
故函数在，上有唯一零点，
综上，时，无零点，
时，个零点．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
B
C
D
A
C
B
B
题号
11
12
13
14
答案
BD
ABD
BC
ABD