2026年山东省济南市章丘区九年级中考二模数学试题（含答案+解析）

这是一份2026年山东省济南市章丘区九年级中考二模数学试题（含答案+解析），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，绝对值最大的数是( )
A. πB. 2C. −3D. 0
2.在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是( )
A. B.
C. D.
3.国家纳米中心DNA折纸肿瘤纳米机器人由国家纳米科学中心团队研发，是全球首款医用DNA结构纳米手术机器人．2023年3月该款机器人完成新一代升级，尺寸仅有60∼100纳米(1纳米=1×10−9m)，其中60纳米用科学记数法可表示为( )
A. 6×10−10米B. 60×10−9米C. 6×10−8米D. 0.6×10−7米
4.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.下列运算结果正确的是( )
A. x3⋅x3=x9B. 2x3+3x3=5x6
C. (2x2)3=6x6D. (2+3x)(2−3x)=4−9x2
6.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列结论一定正确的是( )
A. ac>bcB. 2a>a+bC. 1−a>1−bD. a>b
7.计算3x−2−12x2−4的结果等于( )
A. 3B. 3x−2C. −3D. 3x+2
8.通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学课上，老师让学生用酚酞溶液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四瓶溶液分别是纯水(呈中性)、稀硫酸(呈酸性)、碳酸钠溶液(呈碱性)、氢氧化钠溶液(呈碱性).小东和淇淇随机各选1瓶，将酚酞溶液分别滴入其中进行检测，选到的2瓶溶液都变成红色的概率为( )
A. 14B. 16C. 13D. 23
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90 ∘, AB>BC.按以下步骤作图：
①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AC于点D；
②分别以点D, C为圆心，大于12CD长为半径画弧，两条弧交于点Q，连接BQ交线段CD于点H；
③以点A为圆心，AD长为半径画弧，与边AB相交于点E；
④分别以点D，点E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两条弧交于点F，连接AF并延长，交线段BC于点P.若AD=73, BH=4，则CP长为( )
A. 203B. 3C. 259D. 5
10.若函数y1的图象上存在点M，函数y2的图象上存在点N，且M、N关于原点成中心对称，则称函数y1和y2存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论：
①函数y1=x+2与函数y2=3x−1存在奇对称点；
②函数y1=2x+2与函数y2=12x的“奇对称值”为2或5；
③若 2是函数y1=2x+3与函数y2=kx的“奇对称值”，则k=−1或−725；
④若函数y1=−x2+2x(0≤x≤2)与函数y2=x+t(x0的图象上，连接AO并延长，交函数y2=kxx2(x−1)①x+22−2x−13⩾1②，并求出它的所有整数解之和．
四、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题3分)
如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD=AF，求证：四边形ABFC是矩形．
19.(本小题9分)
平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
把上述实物图抽象成如示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OE=8cm，DE=16cm，BC=17cm.窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角∠COB.出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30 ∘以内(即∠COB≤30 ∘).
(1)求滑动轨道AB的长度．
(2)为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器 P，控制平开窗的开启角度，当点 O滑动到点 P时∠COB=30 ∘，则限位器 P应装在离点 A多远的位置？(结果保留根号)
20.(本小题9分)
如图，CA是⊙O的切线，点A为切点，点F为⊙O上一点，射线CF，AO交于点B，连接AF，点E在AF上，过点E作ED⊥AF，交CA于点D，作EG⊥CF，垂足为点G.AE=GF，AD=EF.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若AC=6，sinB=23，求⊙O的半径．
21.(本小题9分)
为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，对他们每天的阅读时间(阅读时间取整数，不足一分钟按一分钟算)的情况进行了调研．
【确立样本】
(1)已知学校七年级共6个班，决定共抽取60名学生进行调查，下列选取样本的方法中最合理的一种是 .(只需填上正确答案的序号)
①在每班抽取10个成绩较好的学生．
②在每班按照学号随机抽取10名学生．
③在前3个班每班随机抽取20人进行调查．
(2)【收集数据】
利用EXCEL等软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下：
，39，39，41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59，61，62，72，
【整理数据】
按照每天阅读的总时长分为A，B，C，D，E五组，相关信息如下：
(每天阅读的总时长)各组人数分布扇形统计图
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
a= ；b= ；本次问卷调查中阅读总时长的中位数为 分钟．
(3)C组数据的众数是 分钟；小明根据以上数据绘制了扇形统计图，其中C组对应扇形的圆心角为 度．
(4)已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数．
22.(本小题9分)
为按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买10个篮球和15个足球共需2400元，购买3个篮球和2个足球共需520元．
(1)求每个篮球、足球的售价；
(2)如果学校计划购买这两种球共100个，足球个数不超过篮球个数的4倍，请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用．
23.(本小题9分)
如图1，在平面直角坐标系中，点A−2,0，点B0,2，直线AB与反比例函数y=kxk≠0的图象在第一象限相交于点Ca,4.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点D4,0，连接CD，点 E是反比例函数y=kxk≠0图象第一象限内一点，且点 E在点 C的右侧，连接AE，CE，若△ACE的面积与且△ACD的面积相等，求点 E的坐标；
(3)在(2)的条件下，若点 M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接MD，并在MD左侧作正方形MDNF，当顶点 F或顶点 N恰好落在直线AB上，直接写出点 M的坐标．
24.(本小题9分)
如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为1,0，与y轴交于点C0,−3.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标；
(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
25.(本小题12分)
皮埃尔⋅德⋅费马是17世纪法国著名的数学家，1643年，他在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到过这样一个问题：“能否在平面内找到三角形三个顶点距离之和最小的点？”这就是著名的费马点问题．如图1，P为△ABC内一点，连接PA, PB, PC，是否存在一点P，使PA+PB+PC最小，最小值为多少？
对于三个内角均小于120 ∘的三角形，托里拆利提出了自己的研究思路：
如图2，将△BPC绕点B顺时针旋转60 ∘得△BP′C′，则PC=P′C′，连接PP′，易证△BPP′是等边三角形，则PP′=BP，因此PA+PB+PC=PA+PP′+P′C，如图3，当A, P, P′, C′共线时，PA+PP′+P′C最小，即PA+PB+PC最小．
(1)当PA+PB+PC最小时，∠APC= ∘，若∠ABC=75 ∘, AB=7, BC=8 2，则PA+PB+PC的最小值为 ；
(2)如图4，P是锐角△ABC内部一点，D是线段AC上一动点，连接PB, PC, PD，若BC=4, ∠ACB=45 ∘，求PD+ 3PB+PC的最小值；
(3)如图5，P是等边△ABC内部一点，连接PA, PB, PC，若等边△ABC边长为4，直接写出PA+12PB+ 32PC的最小值，并在备用图中作出点P的位置(简要说明作法).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】先根据绝对值的性质求出各数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得出结果．
【详解】解：∵π=π≈3.14， 2= 2≈1.414，−3=3，0=0，
∴3.14>3>1.414>0，即π>−3> 2>0.
∴绝对值最大的数是π.
2.【答案】C
【解析】根据俯视图的定义(从上面观察物体所得到的视图是俯视图)即可得．
【详解】
解：卯的俯视图是 ，
故选：C.
3.【答案】C
【解析】【详解】解：∵1纳米=1×10−9m
∴60纳米=60×10−9m=6×10−8m
4.【答案】A
【解析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B.该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误；
C.该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，平方差公式的有关知识，直接利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，平方差公式的计算法则进行逐一分析即可.
【解答】
解：x3⋅x3=x6，故A错误；
2x3+3x3=5x3，故B错误；
(2x2)3=8x6，故C错误；
(2+3x)(2−3x)=4−9x2，故D正确
6.【答案】B
【解析】观察数轴得：a>b，然后根据不等式的性质，绝对值的意义，逐项判断，即可．
【详解】解：观察数轴得：a>b，
A、无法确定c的大小，则ac与bc的大小关系无法确定，故本选项错误，不符合题意；
B、∵a>b，
∴2a>a+b，故本选项正确，符合题意；
C、∵a>b，
∴−a0，则AH=AD+DH=73+x，
∴73+x4=4x，
整理得，3x2+7x−48=0，
∴x=−7± 49−4×3×−486=−7±256，
解得，x1=3，x2=−163(舍去)，
∴CH=DH=3，AH=73+3=163，AC=AD+2DH=73+2×3=253，
在Rt△BCH中，BC= BH2+CH2= 42+32=5，
在Rt△ABH中，AB= AH2+BH2= 1632+42=203，
如图所示，过点P作PQ⊥CH于点Q，
∵BP⊥AB,PQ⊥AC，AP平分∠BAC，
∴BP=QP，且AP=AP，
∴Rt△ABP≌Rt△AQPHL，
∴AB=AQ=203，
∴CQ=AC−AQ=253−203=53，
设BP=QP=y，则CP=BC−BP=5−y，
在Rt△CPQ中，PC2=PQ2+CQ2，
∴5−y2=y2+532，
∴y=209，
∴BP=QP=209，
∴CP=5−209=259，
故选：C.
10.【答案】B
【解析】解：设Ma,b在y1上，由M,N关于原点对称得N−a,−b在y2上，
①对y1=x+2，y2=3x−1，代入得：
a+2=−3×−a−1，
解得a=12，方程有解，存在奇对称点，①正确．
②对y1=2x+2，y2=12x，
代入得：2a+2=−12−a，
整理得a2+a−6=0，
解得a=2或a=−3.
当a=2时，b=6，奇对称值为 22+62=2 10；
当a=−3时，b=−4，奇对称值为 −32+−42=5，
因此奇对称值为2 10或5，②错误．
③奇对称值为 2，因此a2+b2= 22=2，
y1=2x+3，得b=2a+3，
代入得：a2+2a+32=2，
整理得5a2+12a+7=0，
解得a=−1或a=−75.
由b=−k−a=ka，得k=ab，
当a=−1时b=1，k=−1；
当a=−75时b=15，k=−725，
因此k=−1或−725，③正确．
④y1=−x2+2x0≤x≤2，y2=x+t(x