福建省福州市台江区九校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

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1．已知平面向量? = (2,?−1)，? = (6,2−?)，若向量→与→共线，则? = （ ）
??
A．−2B．2C．5D．5
4
2．复数?满足(? + 1) ⋅ i = 1−2i（i为虚数单位），则?的共轭复数的虚部是（ ）
A．−3B．−3iC．1D．i 3．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的 3 倍，母线长为 15，圆台的侧面积为420π，则圆台较小底面圆的半径为（ ）
A．7B．6C．5D．3
在△ ???中，D 为??的中点，E 为??上一点，则?? + ??−2?? = （ ）
A．0B．??C．??D．2??
如图， △ ?′?′?′是一个平面图形的直观图，其中△ ?′?′?′是直角三角形，∠?′?′?′ = 90∘,?′?′ = 2，则原图形的面积是（ ）
2
2
A．4B．4C．8D．8
6．已知向量? = (?,1)，? = (4,?)，则“? > 0”是“向量?与?的夹角为锐角”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4
已知△ ???的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且面积为?．若? = 1，? = π且4? = ?cs? + ?cs
?，则? = （ ）
．
5πB．7π
C．π
D．π
６1263
8．平行四边形????中，?? = 4，?? = 2，?? ⋅ ?? = 4 2，点?在边??上，则?? ⋅ ??的取值范围是（ ）
A．[−1,8]B．[−1,4 + 2]C．[−2,4 + 4 2]D．[−2,0]
?
?
多选题
9．已知向量? = (1,3)，? = (2,?)， +⊥ ?，则（ ）
A．? = (2,−3)B．向量?,?的夹角为3π
4
2
C．|? + 1 ?| = 1D．?在?方向上的投影向量是−1，2
下列说法正确的是（ ）
A．? ⋅ ? = |?|2,? ∈ ?
B．i2025 = i
C．若|?| = 1,? ∈ ?，则|?−2|的最小值为 2
D．若−4 + 3i是关于?的方程?2 +?? + ? = 0(?,? ∈ ?)的根，则? = 8
对于 △ ???有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若sin2? + sin2? + cs2? < 1，则△ ???为钝角三角形
π
．若? = 3,? = 2 3，且△ ???有两解，则?的取值范围是( 3,2 3)
C．在△ ???中，若? > ?，则不等式sin? > sin?恒成立
D．在△ ???中，若? = 60°,?2 = ??，则△ ???必是等边三角形
填空题
一个底面半径为 2cm 的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为 1cm 的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了cm．
海上一观测站?测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船?，在商船?的正东方有一艘海盗船?
7
正向它靠近，速度为每小时 90 海里，此时海盗船?距观测站10海里，20 分钟后测得海盗船?位于距观测站 20 海里的?处，再经分钟海盗船?到达商船?处．
如图，在 △ ???中，?? = 3??,?是??上的一点，若?? = ? +
3
1 ??
+ 1??，则实数?的值为 9
解答题
15．已知复数? = (1 + i)?2−(2 + i)?−2i(? ∈ ?)．
若?是纯虚数，求?的值；
若?在复平面内所对应的点在第四象限，求?的取值范围． 16．如图，在平行四边形????中，E 为??的中点，设?? = ?,?? = ?.
用?,?表示??,??,??；
(2)若?? = 2,?? = 6，且∠??? = 120°，求?? ⋅ ??.
如图，在 △ ???中，?? = 2，cs? = 1，点 D 在线段 BC 上.
3
若∠ADC=3π，求 AD 的长；
4
若 BD=2DC，△ADC 的面积为4 2，求 AC 的长.
3
如图，在高为 2 的正三棱柱???−?1?1?1中，?? = 2,?是棱??的中点．
求该正三棱柱的体积；
求三棱锥?−?1?1?的体积；
(3)设?为棱?1?1的中点，?为棱??1上一点，求?? + ??的最小值．
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 △ ???的三个内角均 小于 120°时，使得∠??? = ∠??? = ∠??? = 120°的点 O 即为费马点；当 △ ???有一个内角大于或等于 120° 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ ???的内角 A，B，C 所对的边分别为
a，b，c，且设点 P 为△ ???的费马点．
若2sin?sin? +
求角 B；
= 3sin?，且 △ ???面积为3 3．
π
3
4

求?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ??；
(2)若cs2? = ?+?， △ ???， △ ???， △ ???的面积为? ，? ，? ，求?1+?2的最小值．
22?
123
?3
1．D
直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
【详解】因为向量?与?共线，所以6(?−1)−2(2−?) = 0，
解得? = 5．
4
故选：D．
2．C
【详解】由题意可得：? = 1−2i−1 = (1−2i)i−1 = −3−i，所以? = −3 + i，所以复数?的共轭复数的虚部为 1.
i−1
3．A
设圆台的上下底面圆的半径分别为?,?，根据题意，求得? = 3?，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解.
【详解】设圆台较小底面圆的半径为?，较大的底面圆的半径为?，因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的 3 倍，
可得2π? = 3 × 2π?，所以? = 3?，
又因为圆台的侧面积为420π，可得?侧 = π(? + ?) ⋅ ? = 4π? × 15 = 420π，解得? = 7.
故选：A.
4．D
由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解.
【详解】由已知，D 为??的中点，所以?? + ?? = 2??，所以?? + ??−2?? = 2??−2?? = 2??.
故选：D.
5．B
还原△ ???，求出其边长即可求解直角三角形的面积.
【详解】如图， △ ???的直观图是?′?′?′，则?? = ?′?′ = 2,?? = 2?′?′ = 4 2，
2
则△ ???的面积为1?? ⋅ ?? = 4.
2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
D
B
C
C
C
BD
ABD
题号
11
答案
ACD
故选：B 6．C
由充分条件和必要条件的概念以及向量数量积的应用，进行判断即可.
【详解】若?//?，则?2 = 4，解得? =± 2．
若向量?与?的夹角为锐角，则? ⋅ ? > 0且cs⟨?,?⟩ ≠ 1，所以4? + ? > 0且? ≠ 2，解得? ∈ (0,2) ∪ (2, + ∞)．故“? > 0”是“向量?与?的夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选：C.
7．C
利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解．
【详解】在△ABC 中，?cs? + ?cs? = ? ⋅ ?2+?2−?2 +? ⋅ ?2+?2−?2 = ?，而? = 1??sin?，
2??2??2
π
由4? = ?cs? + ?cs?，得2??sin? = ?，又? = 1，? = 4，则? = 2?，由正弦定理得 2sin? = sin? = sinπ，解得sin? = 1，由? < ?，得? < ?，
42
π
所以? = 6．
8．C
建立平面直角坐标系，设?(?, 2),(0 ≤ ? ≤ 4)，把?? ⋅ ??的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.
【详解】作?? ⊥ ??，垂足为?，以点?为原点，??,??所在直线为?轴，?轴建立如下图的平面直角坐标系.
因为cs∠??? = ??⋅?? = 4 2 = 2，而0 < ∠??? < π,所以∠??? = π，
|??|⋅|??|4×224
π
在直角△ ???中，因为∠??? = 4，?? = 2，所以?? = ?? = 2，?? = 4− 2，则?(− 2,0),?(4− 2,0)，设?(?, 2),(0 ≤ ? ≤ 4)，
所以?? = (− 2−?,− 2),?? = (4− 2−?,− 2)，
所以?? ⋅ ??=(− 2−?)(4− 2−?)+(− 2) × (− 2)=?2 + (2 2−4)? + 4−4 2，
因为二次函数开口向上，对称轴为? = 2− 2，且0 ≤ ? ≤ 4，
所以当? = 2− 2时，?? ⋅ ??取最小值−2，当? = 4时，?? ⋅ ??取最大值4 + 4 2，所以?? ⋅ ??的取值范围是[−2,4 + 4 2].
故选：C
BD
根据向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A， ∵ ? = (1,3)，? = (2,?)， ∴ ? + ? = 3，3 + ? ，
?
∵
+
⊥ ?，
?
∴ 3 × 1 + 3 × (3 + ?) = 0，? = −4，? = (2,−4)，故 A 错误；
10⋅ 20
对于 B，cs〈?,?〉 = ?⋅? = 1×2−3×4 = − 2，
|?|⋅|?|2
4
由于⟨?,?⟩ ∈ [0,π]，则向量?，?的夹角为3π，故 B 正确；
对于 C， ∵ ? + 1? = (1,3) + (1,−2) = (2,1)，
2
2
∴ |? + 1 ?| = 5，故 C 错误；
对于 D，?在?方向上的投影向量为 ?⋅? ⋅? = −1? = (−1,2)，故 D 正确．
|?2|2
故选：BD．
ABD
设? = ? + ?i，?,? ∈ ?，计算出|?|2 = ? ⋅ ?判断 A；利用复数单位的幂运算判断 B；设? = ? + ?i，?,? ∈ ?，得到?2 + ?2 = 1，|?−2| = −4? + 5，根据−1 ≤ ? ≤ 1，得到|?−2|的最小值为 1 判断 C，先求出二次方程的另一个根，然后利用韦达定理求得? = 8判断 D．
【详解】设? = ? + ?i，?,? ∈ ?，则? = ?−?i，
?2 + ?2
又|?|2 =
2 = ?2 + ?2，? ⋅ ? = (? + ?i)(?−?i) = ?2 + ?2，
所以? ⋅ ? = |?|2,? ∈ ?成立，所以 A 正确．
i2025 = i2024+1 = i，所以 B 正确．
?2 + ?2
设? = ? + ?i，?,? ∈ ?，由于|?| = 1，则= 1，即?2 + ?2 = 1，
(?−2)2 + ?2
故|?−2| =
=
= −4? + 5，
(?−2)2 + 1−?2
由?2 + ?2 = 1，得−1 ≤ ? ≤ 1，则−4? + 5 ≥ 1， 故当? = 1时，|?−2|的最小值为 1，所以 C 不正确．
因为−4 + 3i是关于?的方程?2 +?? + ? = 0(?,? ∈ ?)的根，所以−4−3i也是关于?的方程?2 +?? + ? = 0(?,? ∈ ?)的根，则−? = −4−3i−4 + 3i = −8，则? = 8，所以 D 正确．
故选：ABD．
ACD
由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得cs? < 0，判断出角?为钝角，判断 A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得?的范围，判断 B；由正弦定理判断 C；由余弦定理可得? = ?，判断出△ABC 的形状，判断 D．
【详解】A 中，sin2? + sin2? + cs2? < 1，即sin2? + sin2? < sin2?，
由正弦定理可得?2 + ?2 < ?2，由余弦定理可得cs? = ?2+?2−?2 < 0，
2??
因为? ∈ (0,π)，所以? ∈ π ,π ，即?为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故 A 正确；
2
3
B 中，若? = π,? = 2 3，且△ABC 有两解，则?sin? < ? < ?，即2
即?的范围为(3,2 3)，所以 B 错误；
× 3 < ? < 2 3，
3
2
C 中，在△ABC 中，? > ?，由大角对大边得? > ?，由正弦定理可得sin? > sin?成立，所以 C 正确；
D 中，若? = 60°,?2 = ??，由余弦定理可得?2 = ?2 + ?2−2??cs? = ?2 + ?2−??，
即?? = ?2 + ?2−??，即(?−?)2 = 0，所以? = ?，所以△ABC 必是等边三角形，故 D 正确．
12．1
3
利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得.
【详解】设水面升高了?cm，由题意知π ⋅ 22
13．40
3
⋅ ? =
4π ⋅ 1
3
3，解得：? = 1.
3
根据图示：在△ ???中，利用余弦定理求得∠???，从而得到∠???，然后在 △ ???中，利用正弦定理求得
??，然后再根据速度求出时间.
【详解】如图所示：
在△ ???中，?? = 10 7,?? = 20,?? = 30，由余弦定理得：cs∠??? = ??2+??2−??2 = 1，
2??⋅??2
所以∠??? = 60∘，则∠??? = 120∘，
在△ ???中，∠??? = 30∘,∠??? = 30∘，
∴ ?? = ?? = 20
所以? = 20 × 60 = 40，
903
即再经40分钟海盗船?到达商船?处．
3
故答案为：40
3
14．1
3
3
1 ??
利用平面向量共线的推论直接计算即可．
【详解】因为?? = 3??，?? = ? +
+ 1??， 9
所以?? = ? +
3
1 ??
+ 1??． 3
1
3
因为? ? ?三点共线，所以 ? +
+ 1 = 1，解得? = 1．
､
15．(1)0
､33
(2)(−1,0)
【详解】（1）由复数? = (1 + i)?2−(2 + i)?−2i = (?2−2?) + (?2−?−2)i，
?2−?−2 ≠ 0
因为复数?是纯虚数，则满足 ?2−2? = 0
，解得? = 0或? = 2（舍去），
所以实数?的值为0.
（2）由复数? = (?2−2?) + (?2−?−2)i，
?2−?−2 < 0
若?在复平面内所对应的点在第四象限，则满足 ?2−2? > 0
，解得−1 < ? < 0，
所以实数?的取值范围为(−1,0).
16．(1)?? = ? + ?，?? = −1?，?? = ?−1?
22
−17
由向量对应线段的数量、位置关系用??,??表示出??,??,??即可；
由（1）及向量数量积的运算律可得?? ⋅ ?? = ??2 + 1?? ⋅ ??−1??2，结合已知即可求值.
22
【详解】（1）由?? = ?? + ?? = ?? + ?? = ? + ?，?? = 1?? = 1?? = −1?? = −1?，?? = ?? + ?? = ??
−1?? = ?−1?，
2222
22
所以?? = ? + ?，?? = −1?，?? = ?−1?.
22
（2）由（1）知：?? ⋅ ?? = (?? + ??) ⋅ (??−1??) = ??2 + 1?? ⋅ ??−1??2，
222
又?? = 2,?? = 6，且∠??? = 120°，则?? ⋅ ?? = 4 + 1 × 12 × (−1)−18 = −17.
22
17．(1)8
3
2
(2)4
在△ ???中，由正弦定理即可求解；
（2）由?△???，得到?△???，结合三角形面积公式求得?? = 6，再由余弦定理即可求解.
【详解】（1）在 △ ???中， ∵ cs? = 1, ∴ sin? = 2 2.
33
在△ ???中，由正弦定理得 ?? = ?? ，
sin∠???sin?
2 2
3
π
又∵ ?? = 2,∠??? = 4,sin? =，
∴ ?? =
?? ⋅ sin? sin∠???
2 2
2 ×
= 3 = 8 .
23
2
∵ ?? = 2??, ∴ ?△??? = 2?△???,?△??? = 3?△???.
又∵ ?△??? = 4 2, ∴ ?△??? = 4 2.
3
∵ ?
= 1 ⋅ ?? ⋅ ?? ⋅ sin? = 1 × 2 × ?? × 2 2，
△???223
解得：?? = 6
在△ ???中，由余弦定理得??2 = ??2 +??2−2?? ⋅ ?? ⋅ cs? = 4 + 36−24 × 1 = 32，
3
所以?? = 4 2. 18．(1)2 3；
(2)2 3；
3
(3) 13．
由正三棱柱的体积公式求解即可；
由?−?1?1?的体积等于??1?1?1−???−??1−???−??1−???−??−?1?1?1 ，分别求出??1−???,??1−???,
??−?1?1?1 的体积代入即可得出答案.
（3）将侧面???1?1绕??1旋转至与侧面???1?1共面，如图所示,当?,?,?三点共线时，?? + ??取得最小值，求解即可.
【详解】（1）因为?△??? = 3 × 2 × 2 = 3，
4
3
所以??1?1?1−??? = ?△??? ⋅ ??1 =× 2 = 2 3．
因为?
?1−???
= ?
?1−???
= 1 × 1?⋅ ?? = 3，
△???1
323
??−?1?1?1
= 1 × ?
3
△???
⋅ ??1
= 2 3，
3
2 3
3
所以??−?1?1? = ??1?1?1−???−??1−???−??1−???−??−?1?1?1 =
将侧面???1?1绕??1旋转至与侧面???1?1共面，如图所示．
当?,?,?三点共线时，?? + ??取得最小值，
22 + (2 + 1)2
且最小值为
= 13．
19．(1)（i）? = π；（ii）?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? = −3
32
(2) 3−1．
（1）（i）利用两角和的正弦公式和sin? = sin(? + ?)即可求解；
（ii）由（i）得 P 为△ ???内的费马点，即∠??? = ∠??? = ∠??? = 2π，利用△ ???面积为3 3得
34
?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? = 3，即可求解；
（2）由cs2? = ?+?利用二倍角的余弦公式有1+cs? = ?+?，即?cs? = ?，利用正弦定理有sin?cs? = sin?，
22?22?
?1+?2
??
??
??
sin π −?
??
即sin?cs? = 0，从而求出角?，利用面积公式得 ?
=+，再由正弦定理即可得= 3， =
??????
3sin?
??
sin ?− π
6 ，最后利用均值不等式即可求解.
sin π −?
2
π
3
【详解】（1）（i）∵2sin?sin ? += 3sin?，sin? = sin π−(? + ?) = sin(? + ?)，
∴2sin? 1 sin? + 3 cs? = 3sin(? + ?) = 3(sin?cs? + cs?sin?)，
22
∴sin?sin? = 3cs?sin?，
π
在△ ???中，sin? ≠ 0，∴sin? = 3cs?，∴tan? = 3，又? ∈ (0,π)，∴? = 3．
3
（ii）∵? = π，∴ △ ???不存在大于等于 120°的角，∴P 为△ ???内的费马点．
所以∠??? = ∠??? = ∠??? = 2π，
3
∵? = 1?? ⋅ ??sin2π + 1?? ⋅ ??sin2π + 1?? ⋅ ??sin2π = 3 3，
2323234
∴?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? = 3，
∴?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? = |??||??|cs2π + |??||??|cs2π + |??||??|cs2π
333
=−1 |??||??|+ |??||??|+ |??||??| = −3．
22
（2）∵cs2? = ?+?，∴1+cs? = ?+?，即?cs? = ?，
22?22?
在△ ???中有正弦定理得sin?cs? = sin?，sin? = sin π−(? + ?) = sin(? + ?)，
π
∴sin?cs? = sin(? + ?) = sin?cs? + cs?sin?，∴sin?cs? = 0，在△ ???中，sin? ≠ 0，∴cs? = 0，
又? ∈ (0,π)，∴? = 2．
? +?
1 ??⋅??sin 2π+1 ??⋅??sin 2π
??
??
∴ 12 = 23 23 =+，
?3
1 ??⋅??sin 2π
??
??
23
π
2
设∠??? = ?，? ∈ 0,，则在△ ???由正弦定理得，
??
sin π −?
=，
3
在△ ???由正弦定理得，
??
sin ?− π
= 6 ，
??
sin?
?1+?2
sin
π −?
??
sin ?− π
6
sin π −?
3
2
1
tan?
2
3
∴ ?
= 3 +
sin?
sin
π −?
π
2
=
tan? +
−1 ≥ 3−1，
π
2
当且仅当tan? = 1，? ∈ 0,
，? = 4时等号成立．
?1+?2
3
∴ ?
的最小值为 3−1．