辽宁省大连市2025年中考适应性考试数学试题含解析

这是一份辽宁省大连市2025年中考适应性考试数学试题含解析，共6页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下列等式正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2B．3n+3n+3n=3n+1
C．a3+a3=a6D．（ab）2=a
2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=（ ）
A．35°B．60°C．70°D．70°或120°
3．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．15°C．10°D．20°
4．计算1+2+22+23+…+22010的结果是( )
A．22011–1B．22011+1
C．D．
5．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠1=30°，那么∠2的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．下列说法不正确的是（ ）
A．某种彩票中奖的概率是，买1000张该种彩票一定会中奖
B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查
C．若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定
D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件
7．如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( )
A．B．
C．D．
8．如图，BC平分∠ABE，AB∥CD，E是CD上一点，若∠C=35°，则∠BED的度数为（ ）
A．70°B．65°C．62°D．60°
9．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为( )
A．B．C．D．
10．以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥1.25B．b≥1或b≤﹣1C．b≥2D．1≤b≤2
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．已知菱形的周长为10cm，一条对角线长为6cm，则这个菱形的面积是_____cm1．
12．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．
13．某种商品两次降价后，每件售价从原来100元降到81元，平均每次降价的百分率是__________.
14．如图，正方形ABCD边长为3，以直线AB为轴，将正方形旋转一周．所得圆柱的主视图（正视图）的周长是_____．
15．某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）盆花，设这个花坛边上的花盆的总数为S，请观察图中的规律:
按上规律推断，S与n的关系是________________________________．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点P、Q分别在边BC、AC上，PQ∥AB，把△PCQ绕点P旋转得到△PDE（点C、Q分别与点D、E对应），点D落在线段PQ上，若AD平分∠BAC，则CP的长为_________．
17．对于二次函数y＝x2﹣4x+4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为__．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．
（1）求x的取值范围；
（2）若∠CPN=60°，求x的值；
（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留π）．
19．（5分）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数 （x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点．求m的值；若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的表达式．
20．（8分）甲班有45人，乙班有39人．现在需要从甲、乙班各抽调一些同学去参加歌咏比赛．如果从甲班抽调的人数比乙班多1人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍．请问从甲、乙两班各抽调了多少参加歌咏比赛？
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BC＝5，点D是AC的中点，求DE的长．
22．（10分）在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：动点P的坐标满足（m，m﹣1），所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x﹣1的图象．即点P的轨迹就是直线y=x﹣1．
（1）若m、n满足等式mn﹣m=6，则（m，n﹣1）在平面直角坐标系xOy中的轨迹是 ；
（2）若点P（x，y）到点A（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P的轨迹；
（3）若抛物线y=上有两动点M、N满足MN=a（a为常数，且a≥4），设线段MN的中点为Q，求点Q到x轴的最短距离．
23．（12分）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量（升）关于加满油后已行驶的路程（千米）的函数图象.
根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；求关于的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程.
24．（14分）已知函数的图象与函数的图象交于点.
（1）若，求的值和点P的坐标；
（2）当时，结合函数图象，直接写出实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
（1）根据完全平方公式进行解答；
（2）根据合并同类项进行解答；
（3）根据合并同类项进行解答；
（4）根据幂的乘方进行解答.
【详解】
解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
B、3n+3n+3n=3n+1，正确；
C、a3+a3=2a3，故此选项错误；
D、（ab）2=a2b，故此选项错误；
故选B．
本题考查整数指数幂和整式的运算，解题关键是掌握各自性质.
2、D
【解析】
①当点B落在AB边上时，根据DB=DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在RT△DCB2中，根据∠C=90°，DB2=DB=2CD可以判定∠CB2D=30°，由此即可解决问题．
【详解】
①当点B落在AB边上时，
∵DB=DB1，
∴∠B=∠DB1B=55°，
∴m=∠BDB1=180°−2×55°=70°，
②当点B落在AC上时，
在RT△DCB2中,
∵∠C=90°, DB2=DB=2CD，
∴∠CB2D=30°，
∴m=∠C+∠CB2D=120°，
故选D.
本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是考虑多种情况，进行分类讨论.
3、B
【解析】
分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．
详解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；
故选B．
点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．
4、A
【解析】
可设其和为S，则2S=2+22+23+24+…+22010+22011，两式相减可得答案.
【详解】
设S=1+2+22+23+…+22010①
则2S=2+22+23+…+22010+22011②
②-①得S=22011-1．
故选A.
本题考查了因式分解的应用；设出和为S，并求出2S进行做差求解是解题关键．
5、D
【解析】
如图，因为，∠1=30°，∠1+∠3=60°，所以∠3=30°，因为AD∥BC，所以∠3=∠4，所以∠4=30°，所以∠2=180°-90°-30°=60°，故选D.
6、A
【解析】
试题分析：根据抽样调查适用的条件、方差的定义及意义和可能性的大小找到正确答案即可．
试题解析：A、某种彩票中奖的概率是，只是一种可能性，买1000张该种彩票不一定会中奖，故错误；
B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机，有破坏性，适合用抽样调查，故正确；
C、标准差反映了一组数据的波动情况，标准差越小，数据越稳定，故正确；
D、袋中没有黑球，摸出黑球是不可能事件，故正确．
故选A．
考点：1.概率公式；2.全面调查与抽样调查；3.标准差；4.随机事件．
7、C
【解析】
根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴＝，BD≠BC，
∴≠，选项A不正确；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝，EF=BD，＝，
∵≠，
∴≠，选项B不正确；
∵EF∥AB，
∴＝，选项C正确；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝，=，CE≠AE，
∴≠，选项D不正确；
故选C．
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关健．
8、A
【解析】
由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE的度数，继而求得答案．
【详解】
∵AB∥CD,∠C=35°，
∴∠ABC=∠C=35°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE=2∠ABC=70°，
∵AB∥CD，
∴∠BED=∠ABE=70°.
故选：A.
本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质进行解答.
9、D
【解析】
先求出点M到x轴、y轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．
【详解】
解：∵点M的坐标是（4，3），
∴点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∵点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，
∴r的取值范围是3＜r＜4，
故选：D．
本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
10、A
【解析】
∵二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，a＝1>0，∴Δ≤0或抛物线与x轴的交点的横坐标均大于等于0.
当Δ≤0时，[－2(b－2)]2－4(b2－1)≤0，
解得b≥.
当抛物线与x轴的交点的横坐标均大于等于0时，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
则x1＋x2＝2(b－2)>0，Δ＝[－2(b－2)]2－4(b2－1)>0，无解，
∴此种情况不存在．
∴b≥.
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、14
【解析】
根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
【详解】
解：如图，在菱形ABCD中，BD＝2．
∵菱形的周长为10，BD＝2，
∴AB＝5，BO＝3，
∴ AC＝3．
∴面积
故答案为 14．
此题考查了菱形的性质及面积求法，难度不大．
12、1
【解析】
分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
详解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°-∠COD=1°，
故答案为：1．
点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13、10%
【解析】
设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1−x），第二次降价后的单价是原来的（1−x）2，根据题意列方程解答即可．
【详解】
解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得：
100×（1−x）2＝81
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
所以降价的百分率为0.1，即10%．
故答案为：10%.
本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
14、1．
【解析】
分析：所得圆柱的主视图是一个矩形，矩形的宽是3，长是2．
详解：矩形的周长=3+3+2+2=1.
点睛：本题比较容易，考查三视图和学生的空间想象能力以及计算矩形的周长．
15、S=1n-1
【解析】
观察可得，n=2时，S=1；
n=3时，S=1+（3-2）×1=12；
n=4时，S=1+（4-2）×1=18；
…；
所以，S与n的关系是：S=1+（n-2）×1=1n-1．
故答案为S=1n-1．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
16、1
【解析】
连接AD，根据PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=11-4x，故可得出x的值，进而得出结论.
【详解】
连接AD，
∵PQ∥AB，
∴∠ADQ=∠DAB，
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ=∠DAB，
∴∠ADQ=∠DAQ，
∴AQ=DQ，
在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CBA，
∴CP：CQ=BC：AC=3：4，设PC=3x，CQ=4x，
在Rt△CPQ中，PQ=5x，
∵PD=PC=3x，
∴DQ=1x，
∵AQ=4-4x，
∴4-4x=1x，解得x=，
∴CP=3x=1；
故答案为：1．
本题考查平行线的性质、旋转变换、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
17、1≤a≤1
【解析】
根据y的取值范围可以求得相应的x的取值范围．
【详解】
解：∵二次函数y＝x1﹣4x+4＝（x﹣1）1，
∴该函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为：x＝﹣，
把y＝0代入解析式可得：x＝1，
把y＝1代入解析式可得：x1＝3，x1＝1，
所以函数值y的取值范围为0≤y≤1时，自变量x的范围为1≤x≤3，
故可得：1≤a≤1，
故答案为：1≤a≤1．
此题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）0≤x≤10；（1）x=6；（3）y=﹣πx1+54πx．
【解析】
（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；
（1）根据等边三角形的判定和性质即可求解；
（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MB的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径即可．
【详解】
（1）∵BC=1分米，AC=CN+PN=11分米，
∴AB=AC﹣BC=10分米，
∴x的取值范围是：0≤x≤10；
（1）∵CN=PN，∠CPN=60°，
∴△PCN是等边三角形，
∴CP=6分米，
∴AP=AC﹣PC=6分米，
即当∠CPN=60°时，x=6；
（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H，
∵PM=PN=CM=CN，
∴四边形PNCM是菱形，
∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，
PB==6-，
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB1=PM1﹣PB1=61﹣（6﹣x）1=6x﹣x1．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，
∴EH=HF，EF⊥AC，
∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH，
∴=，
∴，
∴EH1=9•MB1=9•（6x﹣x1），
∴y=π•EH1=9π（6x﹣x1），
即y=﹣πx1+54πx．
此题主要考查了相似三角形的应用以及菱形的性质和二次函数的应用，难点是第（3）问，熟练运用菱形的性质、相似三角形的性质和二次函数的实际应用．
19、（1）-6；（2）．
【解析】
（1）由点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数（x＜0）的图象上可得﹣2n=3﹣3n，即可得出答案；
（2）由（1）得出B、D的坐标，作DE⊥BC．延长DE交AB于点F，证△DBE≌△FBE得DE=FE=4，即可知点F（2，1），再利用待定系数法求解可得．
【详解】
解：（1）∵点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数（x＜0）的图象上，
∴，解得：；
（2）由（1）知反比例函数解析式为，∵n=3，∴点B（﹣2，3）、D（﹣6，1），
如图，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE交AB于点F，
在△DBE和△FBE中，∵∠DBE=∠FBE，BE=BE，∠BED=∠BEF=90°，
∴△DBE≌△FBE（ASA），∴DE=FE=4，
∴点F（2，1），将点B（﹣2，3）、F（2，1）代入y=kx+b，
∴，解得：，
∴．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是能借助全等三角形确定一些相关线段的长．
20、从甲班抽调了35人，从乙班抽调了1人
【解析】
分析：首先设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了（x﹣1）人，根据题意列出一元一次方程，从而得出答案．
详解：设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了（x﹣1）人，
由题意得，45﹣x=2[39﹣（x﹣1）]， 解得：x=35， 则x﹣1=35﹣1=1．
答：从甲班抽调了35人，从乙班抽调了1人．
点睛：本题主要考查的是一元一次方程的应用，属于基础题型．理解题目的含义，找出等量关系是解题的关键．
21、（1）作图见解析；（2）
【解析】
（1）根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；
（2）由作法可得DE∥BC，又因为D是AC的中点，可证DE为△ABC的中位线，从而运用三角形中位线的性质求解．
【详解】
解：（1）如图，∠ADE为所作；
（2）∵∠ADE=∠ACB，
∴DE∥BC，
∵点D是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=．
22、（1）；（2）y=x2；（3）点Q到x轴的最短距离为1．
【解析】
（1）先判断出m（n﹣1）=6，进而得出结论；
（2）先求出点P到点A的距离和点P到直线y=﹣1的距离建立方程即可得出结论；
（3）设出点M，N的坐标，进而得出点Q的坐标，利用MN=a，得出，即可得出结论．
【详解】
（1）设m=x，n﹣1=y，
∵mn﹣m=6，
∴m（n﹣1）=6，
∴xy=6，
∴
∴（m，n﹣1）在平面直角坐标系xOy中的轨迹是
故答案为：；
（2）∴点P（x，y）到点A（0，1），
∴点P（x，y）到点A（0，1）的距离的平方为x2+（y﹣1）2，
∵点P（x，y）到直线y=﹣1的距离的平方为（y+1）2，
∵点P（x，y）到点A（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，
∴x2+（y﹣1）2=（y+1）2，
∴
（3）设直线MN的解析式为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴线段MN的中点为Q的纵坐标为
∴
∴x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
∴
∴
∴
∴点Q到x轴的最短距离为1．
此题是二次函数综合题，主要考查了点的轨迹的定义，两点间的距离公式，中点坐标公式公式，根与系数的关系，确定出是解本题的关键．
23、（1）汽车行驶400千米，剩余油量30升，加满油时，油量为70升；（2）已行驶的路程为650千米.
【解析】
（1）观察图象，即可得到油箱内的剩余油量,根据耗油量计算出加满油时油箱的油量；
用待定系数法求出一次函数解析式，再代入进行运算即可.
【详解】
（1）汽车行驶400千米，剩余油量30升，

即加满油时，油量为70升.
（2）设，把点，坐标分别代入得，，
∴，当时，，即已行驶的路程为650千米.
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征等，关键是掌握待定系数法求函数解析式.
24、（1），，或;(2) .
【解析】
【分析】（1）将P（m，n）代入y=kx，再结合m=2n即可求得k的值，联立y=与y=kx组成方程组，解方程组即可求得点P的坐标；
（2）画出两个函数的图象，观察函数的图象即可得.
【详解】（1）∵函数的图象交于点，
∴n=mk，
∵m=2n，∴n=2nk，
∴k=，
∴直线解析式为：y=x，
解方程组，得，，
∴交点P的坐标为：（，）或（-，-）；
（2）由题意画出函数的图象与函数的图象如图所示，
∵函数的图象与函数的交点P的坐标为（m，n），
∴当k=1时，P的坐标为（1，1）或（-1，-1），此时|m|=|n|，
当k>1时，结合图象可知此时|m|