湖南省邵阳市2026年九年级中考二模数学试题

这是一份湖南省邵阳市2026年九年级中考二模数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列实数中，是有理数的为( )
A．3B．πC．0D．39
2．2025年12月27日，首届湘超决赛在长沙贺龙体育场举行，本场比赛的现场观众人数约为44000名，将数据44000用科学记数法表示为( )
A．44×103B．4.4×103C．4.4×104D．0.44×105
3．下列运算正确的是( )
A．2x7÷x5=2x2B．2x3⋅3x2=6x6
C．−2x3=−6x3D．2x2+x2=2x4
4．下列几何体的主视图和左视图不同的是( )
A．B．
C．D．
5． 某校九年级(1)班 6名学生的体育中考成绩(单位：分)依次为： 48， 50， 50， 49， 50，47， 则这组数据的众数是( )
A．47B．48C．49D．50
6．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=40°， AD∥BC，则∠CAD的度数为( )
A．70°B．65°C．60°D．55°
7．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1=25°，那么∠2的度数为( )
A．55°B．65°C．75°D．85°
8．某班体育委员的抽屉里有5个乒乓球，其中有三个是白色的，两个是黄色的，上体育课的时候，他随手从抽屉里同时拿了两个乒乓球，则他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的概率为（ ）．
A．35B．25C．15D．16
9． 四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃?”
小张说：“是小强打破的．”
小强说：“是小胖打破的.”
小明说：“我没有打破窗户的玻璃．”
小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他.”
这四个小孩只有一个说了实话.请判断：是谁打破了窗户的玻璃?( )
A．小张B．小强C．小明D．小胖
10． 如图，在直角坐标系中， △OAB的顶点为O(0， 0)， A (4， 3)， B (3， 0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为 13的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．(-1， - 1)B．−43−1
C．−1−43D．(-2， - 1)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共 18分．
11．分解因式：m−ma2= ．
12．使代数式 x−2026有意义的x取值范围是 .
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为 度.
14． 如图，在菱形ABCD中， ∠A=60°， AD=2， P是AB边上的一点， E、F分别是DP，BP的中点，则线段EF 的长为 .
15．在平面直角坐标系中，若点P(2，−1)与点Q(−2，m)关于原点对称，则m的值是 ．
16．如图，矩形ABCD的顶点A， B分别在x轴、y轴上， OB=8， OA=6， AD=20，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标是 .
三、解答题：本题共8小题，共 72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算： ∣−3∣+12−1+π+10−tan60∘.
18．先化简再求值：1−1x−1÷x2−4x+4x2−1，其中x是从0，1，2当中选一个合适的值．
19．如图，在▱ABCD中， AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若∠BAF=90°，AB=6，OE=4 ，求DF的长.
20．“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场.某拉拉队在第一场比赛中用 600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花 1000 元购买同款小喇叭.已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元.
（1）求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个?
（2）若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元?
21．某校在课后服务中，成立了以下社团：A.计算机，B.围棋，C.篮球，D.书法每人只能加入一个社团，为了挈学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图 1 中D所占扇形的圆心角为150°.请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有 1800学生加入了社团，请你估计这 1800 名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率.
22．综合实践
解决问题，完成以下任务：
（1）小颖感觉摩天轮转得比较慢，查阅资料得知，回转速度约为每秒0.22米，这时，她认为自己能够算出摩天轮的直径，你知道她是怎样算的吗?(π取3.14，结果精确到0.1米)
（2）根据操作活动得到的测量数据，估算出地面到摩天轮顶端的完全高度CD.(参考数据：sin31° 0.52， tan31°≈ ≈0.60，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70 ， sin3.83°≈0.07，结果精确到0.1米)
23．如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0的顶点坐标为(2，-1)，并且与y轴交于点C(0， 3)，与x轴交于两点 A， B.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线 BC交于点 D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点 F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由.
24．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
（1）问题发现
如图1， △ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC .点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ=90°，连接CQ，则BP和CQ的数量关系是 ；
（2）变式探究
如图2， △ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC .点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰Rt△CPQ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决
如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ.若正方形DPEF的边长为 58,CQ=22,求正方形ABCD的边长.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】m(1−a)(1+a)
12．【答案】x≥2026
13．【答案】1080
14．【答案】1
15．【答案】1
16．【答案】(12，10)
17．【答案】解：∣−3∣+12−1+π+10−tan60∘
=3+2+1−3
=3.
18．【答案】解：原式=x−1x−1−1x−1÷x−22x+1x−1
=x−2x−1×x+1x−1x−22
=x+1x−2
∵分式的分母不等于0，
∴x≠2，x≠1
把x=0代入得，原式=−12，
19．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，AD=BC，
∵CF=BE，
∴BE+CE=CE+CF，
∴BC=EF，
∴AD=EF，
∵AD∥EF，AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴OA=OE=OF=OD=4，
∴AF=2OE=8，
∵∠BAF=90°，
∴BF=AB2+AF2=62+82=10,
∵S△ABF=12·AE·BF=12·AB·AF,
∴AE=AB⋅AFBF=6×810=4.8,
∴DF=AE=4.8.
20．【答案】（1）解：设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭2x个，由题意得， 600x−10002x=1,
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴2x=200，
答：第一次购进这款小喇叭 100个，则第二次购进这款小喇叭 200个；
（2）解：设每个小喇叭的进价为m元，
由题意得， 100600100−m+2001000200−m≥400,
解得m≤4，
∴m的最大值为4，
答：每个小喇叭的进价最多为4元.
21．【答案】（1）360
（2）解：补充条形统计图：
（3）解：1800×60360=300(人)，
答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，
（4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∴一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，
∴P一男一女=812=23.
22．【答案】（1）解：设摩天轮的直径为d米，由题意得：
3.14d=0.22×20×60，
解得： d≈84.1；
答：摩天轮的直径为84.1米.
（2）解：连接BB'， CD， BD，B'D，延长BB'交CD于点 H，如图所示：
由题意得：
BB'=AA'=24m，AB=A'B'=CH=1.6m，∠DBH=31°，∠DB'H=35°，设DH= xm，
∴在Rt△DBH中， BH=DHtan31∘≈x0.60=53x,
在Rt△DB'H中， B'H=DHtan35∘≈x0.70=107x,
∵BH-B'H =BB'，
∴53x−107x=24,
解得： x=100.8，
∴CD=DH+CH=100.8+1.6=102.4m；
答：地面到摩天轮顶端的完全高度CD约为102.4米.
23．【答案】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为 y=ax−22−1, 代入C (0， 3)后，得： a0−22−1=3, 解得： a=1，
∴抛物线的解析式： y=x−22−1=x2−4x+3;
（2）解：由(1)知， A (1， 0)、B (3， 0)；
设直线 BC 的解析式为： y=kx+3，代入点 B 的坐标后，得：
3k+3=0， k=-1，
∴直线 BC： y=-x+3；
由(1)知：抛物线的对称轴： x=2，则 D (2， 1)；
∴AD2=2,AC2=10,CD2=8,
即： AC2=AD2+CD2,△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴SACD=12AD⋅CD=12×2×22=2;
（3）解：由题意知： EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB 与△FED 相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点 D 纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
x2−4x+3=1,解得 x=2±2
当 x=2+2时， y=−x+3=1−2;
当 x=2−2时， y=−x+3=1+2;
∴E12+21−2、E22−21+2;
②∠EDF=90°，
易知，直线 AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x2−4x+3=x−1,解得 x1=1,x2=4;
当x=1 时， y=-x+3=2；
当x=4 时， y=-x+3=-1：
∴E3(1,2)、E4(4,−1)；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为： E12+21−2、E22−21+2、E312、E4(4,−1).
24．【答案】（1）BP=CQ
（2）解：BP=2AQ,理由如下：
∵△CPQ 是等腰直角三角形， △ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC，
∴QCPC=ACBC=22,∠ACB=∠QCP=45∘.
∵∠BCP+∠ACP=∠ACQ+∠ACP=45°，
∴∠BCP=∠ACQ，
∴△CBP∽△CAQ，
∴QCPC=ACBC=AQBP=22,
∴BP=2AQ;
（3）解：连接BD，如图所示，
∵四边形ABCD与四边形DPEF 是正方形， DE与PF交于点Q，
∴△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，
∴QDPD=CDBD=22,∠BDC=∠PDQ=45∘.
∵∠BDP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=45°，
∴∠BDP=∠CDQ，
∴△BDP∽△CDQ，
∴QDPD=CDBD=CQBP=22.
∵CQ=22,
∴BP=2CQ=4.
在Rt△PCD中，CD2+CP2=DP2,
设CD=x，则CP=x-4，
又∵正方形DPEF 的边长为 58,
∴DP=58
∴x2+x−42=582
解得x1=-3 (舍去)， x2=7.
∴正方形ABCD的边长为7.课题：估算摩天轮的高度
背景
美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮之一，共有48个轿厢.某学习小组综合实践活动中，决定以估算摩天轮高度作为课题.
实践
体验：该小组成员搭乘一次摩天轮.从入轿厢开始计时，转一圈后出轿厢，测得耗时约为20分钟.
操作：该小组为了测得摩天轮的高度CD，在地面A处用高为1.6米的测角仪AB测得摩天轮顶端D的仰角α=31°，再向摩天轮方向前进24米至A'处，又测得摩天轮顶端D的仰角β=35°.