2026年辽宁省铁岭市部分学校中考一模九年级数学试卷（含解析）

这是一份2026年辽宁省铁岭市部分学校中考一模九年级数学试卷（含解析），共5页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：从几何体的正面看，底层是四个小正方形，上层的左端第二个是一个小正方形．
故选项A符合题意．
2. 敦煌十二生肖祥纹是敦煌艺术与十二生肖的完美结合，展现出别具一格的文化韵味，下列生肖纹样中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后能够和自身完全重合的图形作出判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可知C选项图案不是轴对称图形．
3. 《年辽宁省政府工作报告》指出：年辽宁省粮食总产量亿斤，创历史新高．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. 51.56×10⁹C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，解题关键是正确确定和的值．
【详解】∵原数是11位整数，
∴，
可得．
4. 2025年全球新能源汽车销量出炉，中国品牌霸榜．其中销量排名前20名中，中国新能源品牌就占据了17个席位．若从全球新能源汽车销量排行前20名中随机购买一辆，则是中国新能源品牌的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式，进行计算即可．
【详解】解：∵全球新能源汽车销量排行前20名中中国品牌占17个，总结果数为20，符合条件的结果数为17，
∴随机购买一辆是中国新能源品牌的概率为．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查单项式乘以单项式以及积的乘方、完全平方公式、合并同类项，运用相关运算法则分别计算出各选项的结果再进行判断即可．
【详解】A、单项式相乘，系数与系数相乘，同底数幂的指数相加：，计算错误故此选项不符合题意；
B、积的乘方，每个因式分别乘方：，计算错误故此选项不符合题意；
C、根据完全平方公式展开：，计算错误故此选项不符合题意；
D、合并同类项，只合并系数：，计算正确故此选项符合题意．
6. 已知点A的坐标为，若点A与点 B关于坐标原点O 中心对称，则点 B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：关于坐标原点中心对称的点的坐标特征为横，纵坐标均互为相反数，
∵点A的坐标为，
∴点B的坐标为.
7. 如图，在菱形中，点在边上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到，根据等腰三角形的判定和性质得到，继而得到．
【详解】解：在菱形中，，是等腰三角形，
∵，
∴根据三角形内角和：
∵，
∴也是等腰三角形，
∴，
∴根据三角形内角和： ，
∴由图可知，．
8. 我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何．”其大意为：有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为，而甲把自己三分之二的钱给乙，则乙的钱数也能为．设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意列二元一次方程组，甲得到乙一半的钱后总数为，即①；
乙得到甲三分之二的钱后总数为，即②，
故联立①②可得．
9. 如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】分别过点A，D作轴于点，轴于点，可得四边形是矩形，再根据求解即可．
【详解】解：如图，分别过点A，D作轴于点，轴于点，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
又轴，则
∴四边形是矩形，
同理可得四边形为矩形，
∴
10. 如图，是正方形对角线上一点，点在上，且，连接．若，则的长为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正方形性质证明得到进而得到，证明为等腰直角三角形即可求解．
【详解】解：四边形为正方形，
．
在和中，
，
，．
又，，
，.
，
．
在四边形中，
，
为等腰直角三角形，
．
故选：．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质。掌握三角形全等和通过勾股定理求解是关键．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 在实数范围内，要想使代数式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于，即可求解．
【详解】解：算术平方根的被开方数必须是非负数，且分式的分母不能为，
∴，且，
∴．
12. 老师拿出一个弹簧固定在桌面上，指出弹簧的自然状态（既不拉伸也不压缩）为参考点，若弹簧从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧从自然状态向左压缩，记作______．
【答案】
【解析】
【详解】解：弹簧从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧从自然状态向左压缩，记作.
13. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线，与斜边交于点D，与直角边交于点E；连接．则线段的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可得出答案．
【详解】解：由作图步骤可知，直线是线段的垂直平分线，
∵点D在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
14. 小红参加校园健美操比赛，初赛结束后五名评委对小红的评分如下表所示，比赛规定要去掉一个最高分和最低分为选手的最终得分，则去掉最高分和最低分后，小红成绩的方差________．（填“增大”“减小”或“不变”）
【答案】减小
【解析】
【分析】本题考查了方差的定义，方差代表数据的稳定性，方差越大，数据的稳定性越差，若去掉一个最高分和最低分，数据更加稳定，方差减小．据此即可作答．
【详解】解：依题意，方差代表数据的稳定性，方差越大，数据的稳定性越差，
当去掉最高分和最低分，则数据越稳定性，即方差减小，
∴去掉最高分和最低分后，小红成绩的方差减小，
故答案为：减小
15. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为，折痕与折痕交于点Q，连接．当时， _____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，证明求出．由折叠的性质知，则，进而求出，设，则，，，在中，求出．证明求出，然后代入化简即可．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
由折叠的性质知，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，，
∴在中，．
由折叠的性质知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）实数混合运算，先分别计算乘方、算术平方根、除法和绝对值，再按从左到右顺序依次进行加减运算得出结果；
（）分式混合运算，先对括号：内分式通分相减，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，化简得到最简分式．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 每逢端午佳节，“咸甜之争”都会引发食客热议．某食品厂特别推出了款「蜜意甜心粽」与款「海风咸香粽」两款人气礼盒．已知：
价格差异：款礼盒的单价比款礼盒高元；
批量采购发现：用元购入款的盒数，与用元购入款的盒数完全相同．
请回答以下问题：
（1）定价探秘：分别求出款「蜜意甜心粽」礼盒与款「海风咸香粽」礼盒每盒的售价；
（2）预算规划：某校计划采购两款粽子共盒作为学生福利．实际下单时，款享受折优惠，款则保持原价．若采购总预算不能超过元，则该校最多可以购买多少盒款「蜜意甜心粽」礼盒？
【答案】（1）款礼盒每盒的售价为元，款礼盒每盒的售价为元
（2）最多可以购买盒款「蜜意甜心粽」礼盒
【解析】
【分析】（）设款礼盒每盒元，则款礼盒每盒元，根据两种礼盒购买数量相等列分式方程，求解后检验，算出两款礼盒的单价；
（）设购买款礼盒盒，则购买款礼盒盒，根据总费用不超过元列一元一次不等式，结合为非负整数，求出的最大值．
【小问1详解】
解：设款礼盒每盒元，则款礼盒每盒元，
由题意得：，
解得，
检验：时，，
∴是原分式方程的解，款单价：（元），
答：款礼盒每盒的售价为元，款礼盒每盒的售价为元；
【小问2详解】
解：设购买款礼盒盒，则购买款礼盒盒，
由题意得，
解得，
∵为非负整数，
∴的最大值为．
答：最多可以购买盒款「蜜意甜心粽」礼盒．
18. 为精准匹配学生的阅读偏好，学生发展中心于近日组织了一场“阅读DNA”兴趣图谱调研活动，共设立了以下五个阅读倾向类别供学生选择：
数学建模社团受校方委托，协助完成了前期抽样调研的数据可视化工作，并形成了如下两幅待完善的统计图．
现邀请你作为“校园阅读规划师”，参与以下数据分析与决策环节：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）在条形统计图中______， ______；
（2）若将这50名学生的选择按A，B，C，D，E的顺序排列，求这组分类数据的中位数所在的阅读倾向区；
（3）若阳光中学现有学生总人数为2400人，请基于样本数据，估计全校范围内最喜爱“历史回眸”类书籍的学生人数．
【答案】（1）18，6
（2）这组分类数据的中位数所在的阅读倾向区是B区
（3）全校范围内最喜爱“历史回眸”类书籍的学生约有576人
【解析】
【分析】（1）根据E的人数和占比求得调研总人数，再分别求解即可；
（2）利用中位数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解：调研总人数：（人），
，
；
【小问2详解】
解：总共有50个数据，个数为偶数，中位数是第25和第26个数据的平均值．
按顺序累计人数：第1~18个数据：A区（共18人），
第19~28个数据：B区（共10人），，第25和第26个数据都落在B区，
∴这组分类数据的中位数所在的阅读倾向区是B区；
【小问3详解】
解：（人），
答：全校范围内最喜爱“历史回眸”类书籍的学生约有576人．
19. 二次函数综合实践活动：彩虹拱桥设计项目．
【项目背景与情境】
某市计划在中心公园的人工湖上建造一座具有彩虹造型的景观拱桥．这座桥不仅要美观大方，还要满足游船通航的基本需求．作为市政工程设计小组的成员，请你利用所学知识完成拱桥的数学建模与设计分析．
【基础数据采集】
以左侧桥墩位置为原点，水平向右、竖直向上为正方向，建立了平面直角坐标系．工程队利用软件获得了拱桥轮廓的关键数据．不同宽度位置对应的桥洞高度如下表所示：
【数据说明】
：表示该测量点距离左侧桥墩的水平距离；
：表示该测量点处桥洞底部距离水面的垂直高度；
左侧桥墩位于米处，与水面相接处高度为0米；右侧桥墩位于米处，与水面相接处高度为0米．
【设计任务】
任务一：建立数学模型
（1）作为一名工程师，你首先要将测量数据转化为精确的数学表达式．请根据上表数据，建立描述桥洞轮廓的抛物线表达式；
任务二：通航安全验证
（2）公园管理部门要求验证：当一艘标准游船（高3米，宽4米）从桥洞正中央通过时，能否满足安全要求？请计算船顶与桥洞之间的最小垂直距离是多少？（通过桥洞时，应保留1米以上的空间）
任务三：设计方案优化与比选
在初步设计基础上，设计团队提出了两种优化方案，需要在项目评审会上进行比选：
方案（增高型设计）：保持桥墩位置不变（仍位于和处），但将桥洞最高点提升至8米．这个方案能让桥洞显得更高耸，具有更好的视觉冲击力．
方案（拓宽型设计）：保持桥洞最高点6米不变，但将桥墩向两侧各移动2米（新桥墩位于和处）．这个方案能增加桥洞的宽度，让通航更加宽松．
请你作为技术分析员完成：
（3）分别求出两种新方案的抛物线表达式；
（4）从“桥洞平坦度”这一技术指标出发，对比三个方案（原设计，方案，方案），哪一个的抛物线最“平坦”？并说明理由．（桥洞平坦度：抛物线的开口越大，桥洞越平坦）
【答案】（1）
（2）满足安全要求，1.5米
（3）方案：；方案：；
（4）方案的抛物线最“平坦”，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得抛物线过点，，顶点为，设出顶点式，根据待定系数法求出抛物线表达式即可；
（2）根据游船宽4米，顶点是，计算出当游船从正中央通过时，船两侧水平位置为和，计算出此时桥洞的高，根据船高计算出最小垂直距离，判断是否满足安全要求即可；
（3）根据题意得方案顶点变为，过点，方案顶点为，过点，分别设出抛物线表达式，根据待定系数法求出两种方案的抛物线表达式；
（4）抛物线中，越小，开口越大，根据此比较三个方案中来判断最“平坦”的抛物线．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，，顶点为，
∴设抛物线表达式为，
把代入，得，
解得，
∴描述桥洞轮廓的抛物线表达式为；
【小问2详解】
解：满足安全要求，
游船宽4米，从正中央通过，则两侧水平位置和，
当时，，
最小垂直距离为（米），
，
∴满足游船通航要求，船顶与桥洞之间的最小垂直距离为1.5米；
【小问3详解】
解：方案：设抛物线函数表达式为，
代入得，
∴；
方案：设抛物线函数表达式为，
代入得，
∴；
【小问4详解】
解：方案的抛物线最“平坦”，
理由如下：
在抛物线中，越小，开口越大，桥洞越平坦，
，
∵，
∴方案的抛物线最“平坦”．
20. 年中央广播电视总台马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题并首次使用影视机械臂进行直播，实现了之前少有的一镜到底的炫酷镜头．如图是机械臂在执行直播任务时的状态示意图．机器人基座垂直固定于工作台，和分别为其肩部与肘部的两段刚性机械臂．，，在同一竖直平面内，（，，，，机器人末端执行器点到工作台的垂直距离．（为点在平台上的垂直投影）
（1）求机械臂根部关节点与末端执行器之间的距离；
（2）求基座底部点到投影点的距离（即末端执行器在工作台上的投影与机器人基座底部的水平距离）．
【答案】（1）机械臂根部关节点与末端执行器之间的距离为；
（2）基座底部点到投影点的距离为．
【解析】
【分析】（）过点作交的延长线于点，连接，求得，在中，，，则，然后通过勾股定理即可求解；
（）过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，证明四边形为矩形，所以，，故有，再证明，所以，故．
【小问1详解】
解：如图，过点作交的延长线于点，连接，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴机械臂根部关节点与末端执行器之间的距离为；
【小问2详解】
解：如图，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴基座底部点到投影点的距离为．
21. 如图，在 中，以线段为直径作，交线段于点D，过点D作的切线，交线段于点E，连接．
（1）求证：点E是线段的中点；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明，得到，再利用等边对等角以及等角的余角相等即可证明；
（2）利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的切线，是半径，
∴，即，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即点E是的中点；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
22. 解答以下问题
（1）如图1，已知在中，，，，点M 为 内部任意一点，连接，，．如何求的最小值呢？
某同学想到，如图2，可以将绕点 B 顺时针旋转60°，得到新的，连接，由旋转可知，，，．将问题中的转化为，即当A，M，D，E共线时，线段和取得最小值．
请你按照以上思路，计算当A，M，D，E共线时，求的面积；
（2）在（1）的条件下，计算的最小值；
（3）如图3，已知四边形为矩形，，，点N为四边形内部任意一点，连接，，．求的最小值．
【答案】（1）9 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到线段长和角度，利用锐角三角函数解直角三角形，根据三角形面积公式求解；
（2），将绕点B顺时针旋转90°，得到，根据旋转性质和勾股定理，将转化为，当A，M，P，Q共线时，取得最小值，根据勾股定理进行求解；
（3）将绕点D逆时针旋转120°，得到顶角为的等腰三角形，底角都是，根据锐角三角函数将转化为，当点B，N，I，J共线时，取得最小值，通过构造直角三角形根据勾股定理求出最小值．
【小问1详解】
解：如图1，过点E作的垂线交的延长线于点F，
由题可知，，，
，
由旋转知，
，，
；
【小问2详解】
解：如图2，将绕点B顺时针旋转90°，得到，
连接，过点Q作延长线的垂线，垂足为H，
由旋转的性质可知，，，，
为等腰直角三角形，即，
，即当A，M，P，Q共线时，取得最小值，
，，
，
∵在中，，，，
，，
，
，
在中，由勾股定理得，
的最小值为；
【小问3详解】
解：如图3，将绕点D逆时针旋转120°，得到，连接，
过点D作于点L，过点J作线段的垂线交的延长线于点K，
延长线段交线段的延长线于点O，
由旋转的性质可知，，，，
是顶角为的等腰三角形，
，
，
，即当点B，N，I，J共线时，取得最小值，
∵四边形为矩形，
，，
，
又，
，
∵在中，，，，
∴，
易证得四边形为矩形，
，，
，，
在中，由勾股定理，得，
的最小值为．
本题考查解直角三角形、线段转化、等边三角形性质、直角三角形性质、矩形性质、旋转性质、勾股定理、两点之间线段最短，解题关键是线段转化和构造直角三角形利用勾股定理求线段长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数 的图象经过两点．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）如图，在直线下方的抛物线上有一点 ，以为邻边构造平行四边形．
当平行四边形的面积最大时，求点的坐标；
如图，在的条件下，过点作轴的平行线，在直线上有一点，射线与二次函数的图象交于点，当时，求点的横坐标；
（3）设二次函数图象在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数，若新函数的最大值与最小值的差不大, 于，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②点的横坐标为或
（3）
【解析】
【分析】（）先求出一次函数与坐标轴交点的坐标，再将两点代入二次函数解析式，列方程组求解系数，得到二次函数表达式；
（）①设抛物线上点的横坐标为参数，作垂线得到点，求出线段长度，将平行四边形面积转化为三角形面积构建二次函数，利用二次函数性质求面积最大值，进而确定点坐标；②先证明三角形相似，由线段比例得到对应高的比值，设点坐标，表达出两条垂线段长度，结合比例式列方程求解，得到点的横坐标；
（）先求出原二次函数在指定区间的最值与取值范围，明确沿直线翻折后的坐标变换规律，再对的取值分类讨论，分别计算翻折后函数的最值，通过最值之差判断是否满足条件．
【小问1详解】
解：令一次函数，解得，
∴，
令，得，
∴，
将代入中，
得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：①如图，过点作轴的垂线交于点，
设点，且，
∵直线的表达式为，
∴点H的坐标为，
∴，
∴（将平行四边形面积转化为两个三角形面积，并将三角形分割计算），
∵，
∴当时，平行四边形面积最大，
把代入二次函数的表达式中得，
∴点的坐标为；
②如图，与轴交于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
解得，
∴点的横坐标为或；
【小问3详解】
解：二次函数，
∴当时，二次函数取得最小值，最小值为，
当时，二次函数取得最大值，最大值为，
∴当时，二次函数的取值范围为，
将的部分沿翻折，翻折后点变为，
分情况讨论的取值（根据翻折位置不同，得到的表达式不同，需根据位置分类讨论）：
①如图，当时，函数全部在下方，全部翻折为，
∴当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为，
∴最大值与最小值的差为，不满足条件；
②如图，当时，函数部分在下方（翻折），部分在上方（保留），
当时，翻折部分后的最大值为，最小值为，
∴最大值与最小值的差为，解得，
∴满足条件的的取值范围为；
③如图，当时，函数部分在下方（翻折），部分在上方（保留），
翻折部分后的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为，解得，
∴满足条件的的取值范围为；
④当时，函数全部在上方，无翻折，不满足条件．
综上所述，满足“最大值与最小值的差不大于”的的取值范围是评委
1
2
3
4
5
小红得分
97
98
95
95
92
A
思维跃迁（前沿科技、逻辑思维与未来探索）
B
情感共鸣（经典文学、小说散文与诗歌创作）
C
历史回眸（政治演进、历史叙事与社会观察）
D
美学感知（视觉艺术、音乐人文与设计思维）
E
跨界融合（其他跨领域综合性读物）
水平位置x（米）
0
2
4
6
8
桥洞高度y（米）
0
4.5
6
4.5
0