2026年河北张家口市九年级中考第三次学情自测数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年河北张家口市九年级中考第三次学情自测数学试题（含解析）中考模拟，共10页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，将线段向上平移的过程中，可能会经过点、点、点、点中的（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的定义进行判断即可．
【详解】可通过直尺与三角板相结合画平移线段，确定平移后的线段经过点P．
2. 与相加得的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义进行计算即可．
【详解】解：，
故．
3. 若有平方根，则满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根的定义可得，再解不等式求出解集．
【详解】解：∵有平方根，
∴，
解得．
4. 在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例得，进而得，计算即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
又∵为的中线，
∴，
∴，
∴．
5. 如图是由大、小两个正方体搭成的几何体，关于此几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图和左视图相同B. 主视图和俯视图相同
C. 俯视图和左视图相同D. 三视图都不相同
【答案】D
【解析】
【分析】画出三视图后，结合三视图即可选出正确答案．
【详解】解：三视图如下，
三视图都不相同．
故选D．
6. 若，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
7. 甲、乙两名同学手中分别握有标着数字，，和，，的三张卡片（卡片除数字外其余完全相同），从两人手中各随机抽取一张，则抽到的两个数字之和为偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列表法可得到共有9种等可能的结果，数字之和为偶数的结果有4种，即可得到答案．
【详解】列表如下：
抽到的数字之和共有9种等可能的结果，其中两个数字之和为偶数有4种结果，
∴抽到的两个数字之和为偶数的概率为．
8. 如图，在菱形中，，，相交于点，点为线段上一点（可与点重合，不与点重合），，的平分线交于点，则的度数可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质，得到对角线平分内角、对角线互相垂直，进而求出、的度数；再结合角平分线的定义，用表示出，最后根据的取值范围确定的可能值．
【详解】解：在菱形中，，平分，，
，
，
平分，
，
点为上一点（可与点重合，不与点重合），
，
平分，
，
，
．
故选．
9. 若关于的方程有两个相等的实数根，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ）
A. 与直线没有交点
B. 点可能在双曲线上
C. 可能分别位于第二、四象限
D. 在每一个象限内，随的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式求出或1，得到双曲线与直线有交点，双曲线分别位于第一、三象限，即可得到答案。
【详解】解：有两个相等的实数根，
，解得或1，
双曲线的表达式可能为或，
双曲线与直线有交点，故选项错误；
点在双曲线上，故选项正确；
双曲线分别位于第一、三象限，故选项错误；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项错误．
10. 如图，在中，，点是的平分线上一点（不与点重合），连接，，可得 ♡ ，则♡处应填写的符号是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在上截取，证明，得到，利用三角形三边关系求解即可；
【详解】如图，在上截取，
，点是平分线上的点，
，，
，
∴．
在中，，即．
11. 抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线对称性计算对称轴，分析即可．
【详解】解：∵抛物线：经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点，到对称轴的距离相等，
∴，
∴，
其他选项的值都不确定．
故选B．
12. 如图，以正六边形的顶点为原点，，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，点，点，，，均在轴的上方，点，同时从点出发，在正六边形的边上移动，点沿逆时针方向移动，速度为个单位长度/秒，点沿顺时针方向移动，速度为个单位长度/秒，现有如下结论：
结论一：点的坐标为；
结论二：秒后点的位置是；
结论三：点，在第次相遇与第次相遇时的位置之间的距离为．
则下列判断正确的是（ ）
A. 只有结论一不正确B. 只有结论三正确
C. 只有结论二不正确D. 三个结论都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】过点E向x轴作垂线，垂足为点F．先结合正六边形的性质、已知A点坐标，求出，的长度，验证结论一是否成立．先计算正六边形的周长，再根据P的运动速度和方向，求出P的运动周期，用2026除以周期得到余数，根据余数判断2026秒后P的位置，验证结论二是否成立．分别求出第13次、第14次相遇时的位置，最后用两点间距离公式计算两个位置的距离，验证结论三是否成立．
【详解】如图，过点E向x轴作垂线，垂足为点F．
∵六边形是正六边形，，
∴，，
∴，，
∴点E的坐标为．结论一错误．
∵点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度逆时针移动，，
∴2026秒后点P与原点重合，结论二错误．
点P与点Q第1次在点D处相遇，第2次在点O处相遇，第3次在点B处相遇，第4次在点D处相遇，……第13次在点D处相遇，第14次在点O处相遇．
∵，
∴点P、Q在第13次相遇与第14次相遇时的位置之间的距离为，结论三正确．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 分解因式：______．
【答案】##
【解析】
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14. 小明用若干张图1中的长方形和正方形卡片，拼成了如图2所示的长方形图案，已知拼成的长方形周长为，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】观察拼成的大长方形，可知该长方形的长为，宽为，通过周长为可列方程，利用上排3个小长方形的长等于下排2个小长方形的长加上2个小正方形的边长可列方程，联立方程，解方程组即可．
【详解】解：由题意得，
解方程组得：，
∴．
15. 如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______．
【答案】
【解析】
【分析】由角平分线的定义得，，设 ， ，作，根据平行线的判定与性质，求出 ，同理求出，即可得答案．
【详解】解：分别平分，，
，，
设 ， ，
如下图，过点M作，则，
，
，
如上图，过点N作，则，
，
，
，即．
16. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，连接，满足，，点在线段上，过点作直线，若直线上存在个点，使为直角三角形，设，则的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，直角三角形的判定，直径与圆周角的关系，直线与圆的位置关系等知识，利用分类讨论思想求解是解题的关键．分情况讨论：若为直角三角形，当l与圆相切时；当直线l过点Q时；当过点Q时；分别得出，即可得到t的取值范围．
【详解】解：过点作，垂足为，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴ ， ，
在中， ，
以为直径作，当与相切时，过作，连接，
∴， ，
在 中，，
∴ ， ，
∴ ；
①若为直角三角形，如图（1），当直线与圆相切时，，
使为直角三角形的点有，，3个，继续向右运动，直线与圆有2个交点，此时点有4个；
②当直线l过点Q时，如图（2），
，
∴，
使为直角三角形的点有，2个，
继续向右运动，此时点有4个；
③当直线经过点时，如图（3），
，
∴，
使为直角三角形的点有，2个，
∴由图可知，满足条件的的取值范围是或．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算的值，其中“★”表示一个有理数．
（1）若“★”表示的数为，求的值；
（2）若算式的值为，求“★”所表示的数．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设“★”所表示的数为，由题意得，，解一元一次方程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：设“★”所表示的数为，
由题意得，
，
，
，
；
答：“★”所表示的数为6．
18. 已知关于的不等式．
（1）求这个不等式的正整数解；
（2）将关于的不等式与构成一个不等式组，已知它只有个整数解，求这三个整数解，并直接写出的取值范围．
【答案】（1）1 （2）三个整数解，0，1，
【解析】
【分析】（1）解不等式得到，即可得到答案；
（2）解不等式组得，得，根据不等式组只有3个整数解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：解不等式，
，
，
这个不等式的正整数解为1；
【小问2详解】
解：解不等式组，
得，
不等式组只有3个整数解，
这三个整数解为，0，1，
此时a的取值范围为．
19. 如图，，点在的延长线上，射线平分．
（1）尺规作图：在射线上求作点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的性质，先作线段的垂直平分线，该垂直平分线与射线的交点即为所求的点，此时点到、两点的距离相等，满足的条件；
（2）先利用等腰三角形等边对等角的性质，由推出；再根据角平分线的定义得到；接着利用三角形外角的性质，得出是的外角，因此∠，结合角平分线的结论进一步推出；然后结合作图得到的，再次利用等边对等角得到，从而推导出且；最后根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，证明．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
又∵为的外角，
∴，
∴，
由作图可知，
∴，
∴，
∴．
20. 小丽、小华、小静三人进行定点投镖训练，每人投镖次，统计投镖投中得分的情况，绘制成如图1、图2所示的统计图．
（1）直接写出小华定点投镖成绩的中位数和众数；
（2）从平均数的角度判断小丽和小华的定点投镖成绩中，谁的成绩要好一些；
（3）若小华又多投掷了一次镖，命中了7分，其中会改变的统计量为______；（填序号）
①平均数 ②众数 ③中位数 ④方差
（4）若小静的定点投镖成绩的众数、中位数、平均数均大于小华的定点投镖成绩的众数、中位数、平均数，在图2中补全小静的投镖成绩（画出一种即可）．
【答案】（1）中位数为7分，众数为6分
（2）小丽的成绩要好一些
（3）①④ （4）见解析
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的定义计算即可得解；（3）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可．
（2）求出小华、小丽定点投镖成绩的平均数，比较即可得解；
（3）根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算方法分析即可；
（4）根据题意小静的定点投镖成绩的众数、中位数、平均数均大于小华的，设置出满足以上条件的7分和8分的成绩总次数为5次即可．
【小问1详解】
解：小华定点投镖成绩根据折线统计图，从低到高排列为：，
中位数为分，众数为6分；
【小问2详解】
解：小华定点投镖成绩的平均数为（分）．
小丽定点投镖成绩的平均数为（分）．
∵，
∴从平均数的角度判断小丽和小华的定点投镖成绩中，小丽的成绩要好一些；
【小问3详解】
解：若小华又多投掷了一次镖，命中了7分，
则小华的定点投镖成绩从低到高排列为：，
可得众数为：6分，中位数为：7分，均不变，
平均数：，已改变，
小华的定点投镖成绩原方差：，
现方差：，方差结果改变，
故答案为：①④；
【小问4详解】
解：补全条形统计图如下：
21. 如图1，在菱形中，，，连接，过点作交于点，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．

（1）求证：；
（2）求的长；
（3）如图2，将绕点逆时针旋转得到，直接写出当的边所在直线平分时，点经过的路径长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先根据菱形的性质和旋转的性质得，，再说明 ，然后根据“边角边”证明，则答案可得；
（2）作，先求出，再解直角三角形求出，然后说明，并解直角三角形求出，则此题可解；
（3）有如下两种情况：当边所在直线平分时，求出旋转角，再根据弧长公式解答；当边DQ所在直线平分时，边DQ所在直线交MN于点E，然后求出，并根据弧长公式解答即可．
【小问1详解】
证明：在菱形中，，
由旋转可得，，
∴，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图（1），过点D作于点G．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：有如下两种情况：
情况一：如图（2），当边所在直线平分时，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴点M经过的路径长为；
情况二：如图（3），当边DQ所在直线平分时，边DQ所在直线交MN于点E．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴点M经过的路径长为．
所以点M经过的路径的长为或．
22. 如图，矩形的顶点（，），（，），（，），其中＞，直线：与轴交于点（，）．
（1）当直线经过点（，）时，求直线的解析式；
（2）当时，若直线经过的中点，求的值；
（3）当时，若直线将矩形分为两部分，且这两部分内部（不包含边界）的整点（横、纵坐标都为整数的点）个数的比为∶，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）因为直线过点和点，代入解析式求解出k，b的值即可得到解析式．
（2）先根据矩形顶点的坐标，推出点的坐标，再求出中点的坐标；因为直线的且过，写出直线表达式，将中点坐标代入表达式求解．
（3）先代入，确定矩形各顶点坐标，统计矩形内部不含边界的整点总数；根据整点个数比为，确定两部分分别的整点个数；找到直线经过矩形边上关键点时的值，结合整点分布确定的范围．
【详解】解：（1）∵直线l：与y轴交于点，过点，
代入得
解得
∴直线l的解析式为．
（2）如图，设点G为的中点，
由矩形性质得点坐标为，
∴的中点坐标为，
∴即．
∵直线l：与y轴交于点，，
∴直线l：．
将点代入直线l：中，得，
解得．
（3）当时，矩形的各顶点坐标为，，，，矩形内部的整点有，，，，，．
∵直线l：与y轴交于点，
∴直线l：．
当直线l将矩形分为两部分，且这两部分内部（不包含边界）的整点个数的比为时，
情况一：直线左侧2个整点，右侧4个整点时，
将代入，得，
∴．
将代入，得，
∴，
∴．
情况二；直线左侧4个整点，右侧2个整点时，
将代入．得，
∴，
∴，
∴k的取值范围为或．
23. 如图，抛物线：经过点，，将抛物线绕点旋转得到抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）若，
①求抛物线的解析式；
②点是抛物线上一点，当点到轴的距离为时，求点的横坐标．
（3）点，是抛物线上的两个点，对于，，总有，直接写出的取值范围（用含的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）①；②或
（3）或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得答案；
（2）①先求出抛物线G的顶点坐标，旋转后，即可得答案；②令，解方程即可；
（3）先求出抛物线G的对称轴，求出时，k的取值范围，即可得时，k的取值范围．
【小问1详解】
解：抛物线L经过点，，
所以将点，代入，得：，
解得：，
，
抛物线L的顶点坐标为；
【小问2详解】
①设抛物线G的顶点坐标为，
点，
，，
，，
抛物线G的顶点坐标为，
旋转后抛物线开口向下，
抛物线，
抛物线G的解析式为；
②当点N到x轴的距离为2时，y只能为，
令，则，
，，
点N的横坐标为或；
【小问3详解】
设抛物线G的顶点坐标为，
抛物线L的顶点坐标为，两个顶点关于点中心对称，
，
，
抛物线G的对称轴为直线，
若，则和关于对称轴对称，即，
，
，，
，即，
，
解得：和
，
和．
24. 如图1，在矩形中，，，于点，点是线段上一点，以点为圆心，的长为半径作，交线段于另一点，交于点，连接，连接并延长交于点，设的半径为．

（1）当与直线相切时，
①求的值；
②求边落在圆内部分（包括边界）的长度．
（2）当时，如图2，求的面积．
（3）若，直接写出的长．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①先根据勾股定理计算的长，再证明，得，计算的直径的长，从而求得的值；
②过点作于点，得，根据平行线分线段成比例得，计算的长，根据垂径定理得，边落在圆内部分（包括边界）的长度为，计算即可；
（2）过点作于点，作于点，对于根据等面积法计算的长，根据勾股定理计算的长，证明，根据角平分线性质定理得，根据得，进而得，根据垂直于同一条直线的两条直线平行得，得，计算，最后根据计算即可；
（3）连接，过点作于点，由（2）可计算，根据可计算，在中，可得的长，进而得的长，由得，得，计算得，，进而得，根据勾股定理得，计算即可．
【小问1详解】
解：①在矩形中，，，，，
∴，，
∵与直线相切，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
②如图（1），过点作于点，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴边落在圆内部分（包括边界）的长度为；
【小问2详解】
解：如图（2），过点作于点，作于点，
∵在矩形中，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图（3），连接，过点作于点，
由（2）可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴． 甲
乙
1
3
4
5
6
8
9
6
7
9
10
8
9
11
12