第29讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用2027届高考数学人教A版一轮复习考点突破习题（含答案）

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[例1] 已知函数f(x)=2sin(13x-π6).
(1)用五点作图法作出f(x)在一个周期内的简图;
(2)函数y=f(x)的图象可以由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到?
[解] (1)列表如下
描点、连线得f(x) 的图象如图所示.
(2)将y=sin x 的图象上的所有点向右平移π6 个单位长度,得到函数y=sin(x-π6)的图象,再将y=sin(x-π6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(13x-π6)的图象,再将y=sin(13x-π6)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数f(x)=2sin (13x-π6)的图象.
❙方法总结❙
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象
常用的两种方法
1.五点法:通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,π2,π,3π2,2π求出相应的x,通过列表计算得出五点的坐标,描点后得出图象.
2.图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径,即“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
1.先将函数f(x)=sin(4x+π4)的图象向右平移12个最小正周期,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)=( )
A.sin(2x-3π4) B.sin(8x-3π4)
C.sin(2x+3π4)D.sin(8x+3π4)
答案:A
解析:函数f(x)=sin(4x+π4)的最小正周期为T=2π4=π2,将函数f(x)的图象向右平移12个最小正周期,可得到函数y=sin[4(x-π4)+π4]=sin(4x-3π4)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,
故g(x)=sin(12·4x-3π4)=sin(2x-3π4).
2.(2026·山东济南质检)为了得到函数y=2cs(2x-2π3)的图象,只需将函数y=2sin x( )
A.图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向右平移π12个单位长度
B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移π12个单位长度
C.图象向右平移π3个单位长度,再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
D.图象向左平移π6个单位长度,再将所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变
答案:A
解析:y=2sin x=2cs(x-π2),
将y=2cs(x-π2)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,
得到函数y=2cs(2x-π2)的图象,
再将所得图象向右平移π12个单位长度,
得到函数y=2cs[2(x-π12)-π2]=2cs(2x-2π3)的图象,故A正确,B错误;
将函数y=2cs(x-π2)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=2cs(x-π6-π2)=2cs(x-2π3)的图象,
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=2cs(2x-2π3)的图象,故C,D错误.
考点二 函数y=Asin(ωx+φ)的解析式问题
[例2] (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点.若|AB|=π6,则f(π)= .
[答案] -32
[解析] 对比正弦函数y=sin x 的图象易知,点(2π3,0)为“五点法”中的第五个点,所以2π3ω+φ=2π.
由题知|AB|=xB-xA=π6,ωxA+φ=π6,ωxB+φ=5π6,两式相减,得ω(xB-xA)=4π6,即π6ω=4π6,解得ω=4,
则2π3×4+φ=2π,得φ=-2π3,所以f(x)=sin(4x-2π3),
所以f(π)=sin(4π-2π3)=-sin 2π3=-32.
❙方法总结❙
根据三角函数的图象求解析式,重在对A,ω,φ 的理解,主要从以下三个方面考虑:
1.根据最大值或最小值求出A的值.
2.根据最小正周期求出ω 的值.
3.求φ 的常用方法:(1)代入法；
(2)五点法.
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|