广东省珠海实验中学2025-2026学年高一下学期5月学情调研数学试卷含解析（word版）

这是一份广东省珠海实验中学2025-2026学年高一下学期5月学情调研数学试卷含解析（word版），共86页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知平面向量 a=1,x,b=3,−1 ，若 a⊥b ，则 x= ()
A. -3 B. 3C. −13 D. 13
2. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，若 a=2,b=23,sinB=32 ，则 A= ()
A. π6 B. π3 C. π3 或 2π3 D. π6 或 5π6
3. 已知 a,b 是单位向量,且满足 a⊥a+2b ,则 a 与 b 的夹角为( )
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
4. 设 m,n 表示两条不重合的直线， α,β 表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若 m//α,n⊂α ,则 m//n
B. 若 m⊂α,n⊂α,m//β,n//β ,则 α//β
C. 若 m//n,n⊂α ,则 m//α
D. 若 m//α,m//β,α∩β=n ,则 m//n
5. 若复数 z=5+10i3−4i ,则复数 z 的共轭复数 z= ( )
A. 1+2i B. −1+2i C. −1−2i D. 1−2i
6. 已知正四棱台上、下底面的边长分别是 2,8,体积为 287 ,则其表面积为 ( )
A. 80 B. 148 C. 168 D. 68+207
7. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为( )
A. 3+12 B. 3+1C. 5+12 D. 5+1
8. 如图所示,已知 △ABC ，点 M ， N 满足 AM=12AB ， AN=13AC ， BN 与 CM 交于点 P ， AP 交 BC 于点 D,AP=tAD ,则()
A. AP=15AB+25AC B. BP=25BN C. t=25 D. CP=25CA+25CB
二、多项选择题(共有 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，根据选对的选项个数给分，只要有错 误选项则该题为 0 分。)
9. 已知复数 z=−1−2i ，则下列结论正确的是( )
A. z=1+2i
B. 复数 z 在复平面内对应的的向量 a 与向量 b=2,−1 垂直
C. 若复数 z 是关于 x 的方程 x2+ax+b=0 (其中 a,b∈R ) 的一个根,则 a+b=7
D. 若复数 ω 满足 ω−z=1 ,则 ω 的最小值为 5−1
10. 如图,在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AC=BC=CC1=6,AC⊥BC,E、F 分别为 BB1,A1C1 的中点, 过点 A、E、F 作三棱柱的截面 α ,则下列结论中正确的是 ( )
A. 三棱柱 ABC−A1B1C1 的体积为 36
B. BC1//α
C. 若 α 交 B1C1 于 M ,则 FM 与 AB 是异面直线
D. 若 α 交 B1C1 于 M ,则 EM=13
11. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 A>B ,则 sinA>sinB
B. 已知 b=3,B=π4 ，若 △ABC 有两解，则 a 的取值范围是 3,32
C. 若 ABAB+ACAC⋅BC=0 ,且 ABAB⋅ACAC=12 ,则 △ABC 为等边三角形
D. 若 tanA+tanB+tanC>0 ,则 △ABC 可以是钝角三角形
三、填空题(共有 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。)
12. 已知 i 为虚数单位,若 z=a−2ia+3i−25+i 是纯虚数,则实数 a= _____.
13. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，已知 b=2 ， AB⋅AC=6,△ABC 的面积为 3 ，则 a= _____.
14. 一圆台的上底面半径为 5 , 下底面半径为 12 , 母线长为 14 , 在圆台内放置的一个半径最大的球体, 则该球体的表面积为_____.
四、解答题(共有 5 小题，共 77 分。)
15. (满分 13 分) 已知平面向量 a,b,c ,且 a=−2,1,b=3,−4
(1)求 a 在 b 方向的投影向量的坐标；
(2)若 c//a ，且 c=35 ，求向量 c 的坐标；
(3)若 ka+b 与 a+b 的夹角为锐角，求实数 k 的取值范围.
16. (满分 15 分) 为测量某景区内一座古塔 AB 的高度,由于塔底 B 无法直接到达,测量小组在河对岸选取了两个观测点 C,D 进行测量. 首先在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 45∘ ，然后沿河岸步行 20 m 到达点 D 处， 在点 D 处测得塔顶 A 的仰角为 30∘ . 已知 ∠BCD=120∘ ，且观测点与塔底都在同一水平面内.
(1)求古塔 AB 的高度；
(2)求三棱锥 A−BCD 的体积；
(3)若从观测点 C 沿 BC 的延长线向后退行 20m 到达点 E ，求三棱锥 A−BDE 的外接球的体积.
17. (满分 15 分) 如图所示,在四棱锥 P−ABCD 中, BC// 平面 PAD,BC=12AD,E 是 PD 的中点.
(1)求证: BC//AD ；
(2)求证: CE// 平面 PAB ；
(3)若 M 是线段 CE 上一动点，则线段 AD 上是否存在点 N ，使 MN// 平面 PAB ？说明理由.
18. (满分 17 分) 在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ， 2b−ccsA=acsC .
(1)求角 A ；
(2)若 a=2,△ABC 为锐角三角形，求 △ABC 的周长的取值范围；
(3)若 a=2,△ABC 为锐角三角形,且 O 为 △ABC 的外心,满足 AO=mAB+nACm,n∈R , 求 mn 的取值范围;
19. (满分 17 分)如图， △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， D 为边 AB 上的中点， b=2 ， CD=22 且 sinA=2sinB ,
(1) 求 cs∠ACB 以及 AB 的边长 c ；
(2)设 M,N 分别为边 CA,CB 上的动点，线段 MN 交 CD 于 P ，设 CP=kCDk≠0 ， CM=λCA ， CN=μCBλ,μ∈0,1,
① 求证: k=2λμλ+μ
②四边形 ABNM 的面积为 △CAB 面积的 23 ，求 CP⋅MN 的取值范围.